小学数学常识总汇 2

小学数学常识总汇 2 六年级数学总复习提纲 专题一 数的认识 一、整数和小数 (一)、整数可分为: :0、1、2、3、4„„。(最小的自然数是,，没有最大的自然数) ,、自然数 ,、负数:小于,的整数。(如,1、,4、,13、,100„„) 理解:(1)0既不是正数，也不是负数。 (2)自然数的计数单位是1。 (3)所有的自然数都是整数，但所有的整数不一定都是自然数。 (二)、小数实际上就是十分之几、有限小数 百分之几、千分之几„„的分数， 混循环小数 小数可分为 无限循环小数 无限小数 纯循环小数 无限不循环小数(如?) 小数的性质:在小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。 (三)、数位顺序表 小 整数部分 数 点 小数部分 „ 亿级(级名:亿) 万级(级名:万) 个级 千百十千百十十百千数亿万千百十个„ 亿亿亿万万万分分分„ 位 位 位 位 位 位 位 。 位 位 位 位 位 位 位 位 位 计十百千一 数千百十千百十分分分„ 亿 万 千 百 十 或„ 单亿 亿 亿 万 万 万 之之之个 位 一 一 一 理解: 1、像个、十、百、千、万„„及十分之一(0.1)、百分之一(0.01)、千分之一(0.001)„„都是计数单位;而每个计数单位所占的位置叫数位。 2、在数位顺序表中每相邻的两个计数单位间的进率都是10，所以也叫“十进制”计数法。 3、表中整数部分可分为3级，每4位为一级(详见表)。 4、整数部分中没有最大的数位，只有最小的数位(个位);而小数部分没有最小数位，只有最大数位(十分位)。 (四)、整数的读写法 1、读法:(1)先分级。(2)从高位读起，读出每一级上的数并加上级名(除个级外)。 (3)每一级末尾的0不读，其余位上无论有几个0都只读一个0。 2、写法:(1)先找出级名。(2)从高位写起，依次写出级名前的数，除最高级以外，其余各级应满足4位一级。(3)如果位数不够或中途缺少级名就用0来占位。 (五)、数的改写和省略 1、方法:改写成用“万”或“亿”作单位时，分别把原数的小数点向左移动4位或8位，再在后面加上“万”或“亿”;省略时小数点移动的方法与改写一样，不过要运用四舍五入法省略后面的尾数，最后再在后面加上“万”或“亿”。 - 1 - 2、两者区别:改写只改变数的形式而不改变数的大小，所以用“,”号;而省略改变了数的大小，所以用“?”号。 (六)、求近似值 1、求近似值的方法大致有以下三种: (2)进一法 (3)去尾法 (1)四舍五入法 备注:一般情况下用“四舍五入法”，但在涉及到实际问题时才选择用“进一法”或“去尾法”。 2、关于求近似数的几种说法: (1)保留一位小数、两位小数、三位小数„„ (2)精确到十分位、百分位、千分位„„ (3)精确到0.1、0.01、0.001 (4)百分号前保留一位小数。 (七)、数的整除 1、整除是指整数a除以整数b(b?0)，商是整数而且没有余数即a?b,c，我们就说a能被b整除;b能整除a;a是b的倍数;b是a的因数。所以倍数和因数不能独立存在，它们是相互依存的。(一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身;一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。) 2、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫最大公因数。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫最小公倍数。 3、求最大公因数和最小公倍数的方法: (1)两个数是一般关系的，我们一般用短除法。 (2)两个数是倍数关系的，其中小数是它们的最大公因数，大数是它们的最小公倍数。 (3)两个数是互质关系的，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。 4、能被2、3、5整除数的特征 (1)能被2整除的特征:个位上是0、2、4、6、8的数。(2)能被3整除的特征:各个数位上数字的和能被3整除。(3)能被5整除的特征:个位上是0或5的数。 5、奇数和偶数 能被2整除的数叫偶数;不能被2整除的数叫奇数。 6、素数和合数 只有1和它本身两个因数的数叫做素数(或质数); 除了1和它本身两个因数外，还有其他因数的数叫做合数。 7、拓展与延伸 (1) ? Y?x=k(y、x、k都是整数 ? 且x?0) ? ? 要求:能够根据一道整除算式说出4句话，反过来根据4句话能写出一道整除算式。 (2)了解自然数的分类。 (3)最小公倍数=公有的因数×独有的因数 独有的因数=最小公倍数?公有的因数 (4)能同时被2、5整除的数个位上只有是0。 (5)注意以下几个数:?0既是最小的自然数又是最小的偶数;?1既不是素数也不是合数，它是最小的奇数;?2是最小的素数，也是唯一的偶素数;?4是最小的合数;?在20以内的数中:9、15既是奇数又是合数。 (6)数的奇偶性 偶数?偶数=偶数 奇数?奇数=偶数 奇数?偶数=奇数 偶数×奇数=偶数 偶数×偶数=偶数 奇数×奇数=奇数 - 2 - 二、分数和百分数 (一)、分数和百分数的意义 1、对于分数的意义有两种解释: 第一种:把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。从这个意义上讲分数后可带单位表示具体的数量。 第二种:表示一个数是另一个数几分之几的数叫做分数。从这个意义上讲分数后不可带单位，只能表示分率。 2、百分数:表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分比或百分率(求什么率用“名称?总数”)。从这个意义上讲百分数只能表示分率不可带单位。 但其中主要区别是百分数后不可带单位，而分数后可带(二)、知道分数和百分数的区别有5个， 单位也可不带单位。 (三)、 真分数:分子小于分母的分数。(真分数都小于1，所以它的倒数必定大于1)。 分数 假分数:分子大于或等于分母的分数。(假分数大于或等于1，所以它的倒数有等于1 可分为: 或小于1两种)。 带分数 判断:所有真分数的倒数必定大于1，所以所有假分数的倒数必定小于1。( ) (四)、分数和除法的关系:a?b=a/b(b?0) 说明:具体的关系详见以后的比、分数、除法的三者关系中。 (五)、分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。应用分数的基本性质可以约分和通分。 (六)、判断一个分数能否化成有限小数的方法:1、看是否是最简分数(最简分数就是分数的分子和分母的公因数只有1);,、看分母中是否只含有素数,或,。 (七)、倒数 1、意义:乘积是1的两个数互为倒数。(1的倒数是1，0没有倒数) 2、求倒数的方法:如果原数本身就是分数，就直接将分子和分母调换位置;如果原数不是分数，必须先将原数改写成分数，再将分子和分母调换位置。 (八)、分数、小数与百分数的互化 (1)小数与分数的互化:小数化成分数，先把小数改写成分母是10、100、1000„„的分数，再约分;分数化成小数，直接用分子除以分母。 (2)小数与百分数的互化:小数化成百分数，先把小数的小数点向右移动两位，在添上%;百分数化成小数，先去掉%，在把小数点向左移动两位。 (3)分数与百分数的互化:分数化成百分数，先将分数化成小数，再化成百分数;百分数化成分数，先将百分数改写成分数的形式再约分。 备注:在以上转化的过程中，如遇除不尽是一般保留三位小数(百分号前保留一位小数)。 这里要记住常用的小数和分数的互化: 0.5=1/2 0.25=1/4 0.75=3/4 0.2=1/5 0.4=2/5 0.6=3/5 0.8=4/5 0.125=1/8 0.375=3/8 0.625=5/8 0.875=7/8 (九)、知道成数、折数与百分数的互化 如:八成=80% 七成四=74% 十二成=120% 六折=60% 九五折=95% (十)、数的大小比较:一般情况下整数、小数、分数混合比较大小时，都化成小数比，但在最后书写结果时要写原数。 (十一)、掌握纳税和银行存款的有关知识。 - 3 - 专题二 数的运算 一、四则运算的意义: 加法:把两个数合并成一个数的运算。 减法:已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 1)表示求几个相同加数的和的简便运算。 ( 乘法 (2)表示求一个数的几分之几是多少。 除法:已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 备注:分数加、减、除法的意义与整数完全相同;分数乘法与整数乘法稍有不同，整数乘法只表 示求几个相同的和的简便运算，而分数乘法既可以表示求几个相同的和的简便运算(如5×3/8)，也可 以表示求一个数的几分之几是多少(如3/42/5)。 二、四则运算的法则(计算方法) 理解并掌握整数、小数、分数加、减、乘、除的计算方法。 三、知道四则混合运算的运算顺序(略) 备注:在计算四则混合运算时要做到四点: 1、审题——审查题目要求，弄清先算哪一步，后算哪一步。 2、选择——全面观察题目结构，数字特征，选择正确、合理、灵活、简便的运算方法。 3、计算——认真仔细的进行计算 4、检验——每做一步都要核对数字、符合，进行逐个检查、验算。 四、运算定律和运算性质 1、运算定律: (1)加法交换律: a，b,b，a (2)加法结合律:(a，b)，c=a，(b，c) (3)乘法交换律:a×b,b×a (4)乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c) ?(5)乘法分配律:(a?b)×c a×c?b×c 说明:合并时把相同的那个数写到括 号的外面，不同的数相加减。 例如: 101×739,739 78×2/5，22?2.5 4/13×8/9，4/9×1/13 (1/4,1/3，5/6)×24 2、运算性质: (1)减法运算性质:a,b,c,a,(b，c)或a,(b，c),a,b,c (2)商不变的性质:a?b,(a×c)?(b×c)或a?b,(a?c)?(b?c) (3)除法运算性质:a?b?c,a?(b×c)或a?(b×c),a?b?c 备注:在以上中乘法分配律和各运算性质在实际解题时运用较多，需牢固掌握。 五、加减乘除法各部分之间的关系: 1、加法:加数，加数,和 一个加数,和,另一个加数 被减数,差，减数 作用: 2、减法:被减数,减数,差 (1)解方程 减数,被减数,差 (2)验算 3、乘法:因数×因数,积 一个因数,积?另一个因数 (3)解答一些典型 被除数,商×除数 题目用。 4、除法:被除数?除数,商 除数,被除数?商 如果是有余数的除法，要牢记余数总比除数小，具体关系如下: 被除数,商×除数，余数 被除数?除数,商„„余数 除数,(被除数,余数)?商 - 4 - 专题三 式与方程 一、用字母表示数 1、用字母表示数的意义与作用:既简洁明了，又能概括数量关系的一般规律。 )字母与字母之间可省略乘号 2、用字母表示数的写法:(1 (2)字母与数字之间也可省略乘号，但数字要写在字母的前面。 二、用字母表示数的四种形式: 1、用字母表示数量关系。如:小明a岁，小华的岁数是小明的b倍。两人平均多少岁, 2、用字母表示各种运算定律。如乘法分配律(略)，这里需要提醒的是没有除法分配律。 3、用字母表示各图形的计算公式。 4、用字母表示普遍的规律。(常用于探索实践题) 三、区别a的平方与2a的含义:a的平方表示2个a相乘，即a×a;而2a表示2个a相加即 a，a(当且仅当a,2时，a的平方等于2a) 四、方程 1、意义:含有未知数的等式叫方程。所以方程必须具备2个条件:一要含有未知数;二要是等式 (这里要强调的是未知数不一定就是x，未知数的个数也不一定只有一个)。如: 3a，4b,8y,10，也是方程。 2、求方程中未知数的过程叫解方程;使方程左右两边相等的数字叫方程的解。 3、解方程的依据: (1)应用加、减、乘、除各部分之间的关系来解方程。 (2)利用等式的性质来解方程。 五、列方程解应用题 1、关于倍数应用题，首先要判断一倍数是已知还是未知，如果一倍数已知就直接用算书法做，如 果一倍数未知最好用方程做。 2、列方程解应用题的 步骤 新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤 :(1)审题并理解题意。(2)抓住题中的已知量找出等量关系。 (3)设(一般分为直接设和间接设)。 (4)列方程解答。 备注:对于解答稍复杂的方程，要学会设其中一个未知量为x，并利用这个量表示出另一个的未知 量。 专题四 量的计量 一、各种单位及进率 1、长度单位: (1)常用的长度单位有:千米(公里)、米、分米、厘米、毫米 (2)进率:除千米与米的进率是1000以外，其余相邻单位间的进率都是10。 2、:面积单位 (1)常用的面积单位有:平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米 (2)进率:除公顷与平方米的进率是10000以外，其余相邻单位间的进率都是100。 3、体积(容积)单位: (1)常用的体积(容积)单位有:立方米、立方分米(升)、立方厘米(毫升) (2)进率:相邻单位间的进率都是1000。(注:1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升) - 5 - 4、质量单位: (1)常用的质量单位有:吨、千克、克 (2)进率:相邻单位间的进率都是1000。 5、人民币单位: (1)常用的人民币单位有:元、角、分 (2)进率:相邻单位间的进率都是10。 6、时间单位: (1)常用的时间单位有:世纪、年、月、日、星期、季度、时、分、秒„ )、(2)时间单位的进率比较特殊，有这么几个数需了解一下，分别是:100、12、31、30、29(2824、60、7、4 另外要记住一个口诀:一、三、五、七、八、十、腊(十二) ，三十一天用不差。 二、单位换算的方法: ×进率 高级单位 低级单位 ?进率 三、判断闰年的方法:公历年份是4的倍数的一般是闰年;但公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年。如1900年。 四、关于记时法 1、我国常用的记时法分普通记时法和24时记时法。 2、两种记时法的区别:普通记时法是以数字1,12为一个循环，一天有24小时，所以就有两个循环，为了分清这两个同样的循环，故而在普通记时法的前面要加上午别(如:早晨、上午、中午、下午、晚上、夜里等);24时记时法是按数字1,24的顺序来记时的，而一天正好是24小时，所以24时记时法前不需加午别。 3、两种记时法的转化: ?把24时记时法转化成普通记时法，以12时为界，12时以前直接加上午别，12时以后不但要加上午别而且要减12。 ?把普通记时法转化成24时记时法，以12时为界，12时以前直接去掉午别，12时以后不但要去掉午别而且要加12。 4、关于时间的求法 (1)计算经过整月时某一段时间内的天数。 先找有几个大月，再找有几个小月，最后考虑二月;知道平年二月有28天，闰年二月有29天，所以在计算天数时凡涉及到二月，必定要先判断这年是平年还是闰年，否则二月份的天数无法确定，而其它的月不问。 (2)求经过多少小时(分钟)的数量关系:经过时间,结束时间,开始时间 说明:?此公式只适用于当天。?此公式中计算的时间一律都是24时记时法。?如果计算隔天经过时间，一定要先算出当天的经过时间，再加上第二天的时间。 (3)求经过多少天常用的数量关系:经过时间,结束时间,开始时间，1 说明:?此公式只适用于当月。?如果计算隔月经过时间，一定要先算出当月的经过时间，再加上下个月的时间。 - 6 - 专题五 比和比例 一、关于比和比例的一些概念 (一)比 1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。 2、比值:比的前项除以后项所得的商叫做比值。(根据这个意义可以求比值) 说明:如果两个比的比值相等，说明这两个比也相等。 3、比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。(根据比的基本 性质可以化简比) 4、按比例分配:把一个数量按照一定的比进行分配，就叫做按比例分配。 (二)比例 1、比例的意义:表示两个比相等的式子叫做比例。 2、比例的基本性质:在比例里，两个外项的积等于两个外项的积，这就叫做比例的基本性质。 3、解比例:根据比例的基本性质，求比例中未知项的过程，叫做解比例。 4、比例尺:图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。所以图上距离:实际距离,比例尺 说明:?比例尺的最终形式一般为1:多少或多少:1。 ?求比例尺时要注意统一单位。 5、正比例的意义:两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应 :x,k(一定) 的两个数的比值(也就是商)一定，那么这两种量就成正比例。字母表达式y 6、反比例的意义:两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应 的两个数的积一定，那么这两种量就成反比例。字母表达式x×y,k(一定) 二、相关概念的比较 1、知道比和比例在意义、组成、名称、性质上的区别。(略) 2、比、分数和除法的联系、区别: 联系 区别 比 前项 比号 后项 比值 两个数之间的关系 分数 分子 分数线 分母 分数值 一个数 除法 被除数 除号 除数 商 一种运算 3、求比值和化简比的方法: (1)先看前项和后项的单位是否相同，如果不同，要先化成相同单位，然后再求比值或化简比。 (2)再看前项和后项的数字形式是否一样，如不一样一般统一成分数做。 (3)求比值是根据比值的意义，用前项除以后项，所得的结果是一个商，可以是整数、小数或分 数;而化简比是根据比的基本性质，首先将前后项都变成整数，然后在化简，所得的结果是一个最简 整数比。 4、正、反比例的异同点 相同点 不同点 ?变化方向一致(怎样变化的,) 正比例 ?变化的规律:相对应的两个量的比值(商) 一定 y:x,k(一定) ?两种量相关联 ?一种量变化，另一种量也随着化 ?变化方向相反(怎样变化的,) 反比例 ?变化的规律:相对应的两个量的积一定 y×x,k(一定) 5、知道一道乘法等式可以改写成八道比例。(注:改写时，在同一边的两个因数要么同外，要么 同内。) 三、拓展延伸 1、判断两个比能否组成比例的方法有两种: - 7 - (1)根据比例的意义，先求出两个比的比值，然后再判断。 (2)根据比例的基本性质，先求出两个外项和两个内项的积，然后再判断。 2、判断独立的4个数字能否组成比例，首先找出一道乘法等式，然后再改写成比例。 3、已知三个数，让我们再配一个数组成比例，这个数最大是多少，最小是多少,具体做法:设这 ;最小是多个数为x。最大是多少，就是将x与最小数搭配和另外两个数组成一道乘法等式，并求出x少，就是将x与最大数搭配和另外两个数组成一道乘法等式，并求出x。 4、判断成正(反)比例的方法:(1)两种量是否相关联，一种量是不是随着另一种量变化而变化。(2)是否具备除(乘)法关系。(3)商(积)是否一定。 5、做按比例分配应用题的步骤 )如果不配套就要进行调整(一般调整数量)。(3)求每份:(1)先找有没有配套的数量和比。(2 ?总数总份数每份前一个前一个份数每份后一个后一个份数每份相差数相差份数每份(4)分配(根据需要) 6、求连比的方法:(1)调整顺序，即第一个比的后项与第二个比的前项都是同一个对象。(2)统一数字，即同一个对象的数字要一样，如不一样还要求出它们的最小公倍数。(3)依次写出三个对象的比。 7、解答比例应用题的方法: (1)根据题目中已知的两种相关联的量，得出数量关系并判断是成正比例还是成反比例。 (2)设未知量为x，运用刚才的数量关系，找出两组对应的数量。(说明:每组中对应的两个数量一定要配套) (3)列出比例并解答。 8、求图上距离和实际距离的方法有三种: ?(1)线段法:求图上距离用除法;求实际距离用乘法。 (2)算术法:图上距离,实际距离×比例尺 实际距离,图上距离?比例尺 (3)公式法。 备注:以上方法在运用时要注意统一单位。 - 8 - 专题六 应用题 一、平均数应用题 解题的基本数量关系:总数?总份数,平均数 说明:用这个数量关系求平均数是，一定要找准“总数”和对应的“总份数”;另外还要根据这个公式会举一反三，即:对应的总数?平均数,对应的份数;平均数×对应的份数,对应的总数。 二、行程应用题 行程问题的基本数量关系: 单人 两人及以上 路程,速度×时间 路程,速度和×共同走的时间 速度,路程?时间 速度和,路程?共同走的时间 时间,路程?速度 共同走的时间,路程?速度和 三、工程应用题:六年级工程应用题的特征是，一般不知道具体的工作总量，常常把“一项工程、一份稿件、一段路”等看作单位“1”，其基本数量关系是: 单人 两人及以上 工作总量,工作效率×工作时间 工作总量,工作效率和×合作时间 工作时间,工作总量?工作效率 合作时间,工作总量?工作效率和 工作效率,工作总量?工作时间 工作效率和,工作总量?合作时间 备注: 时间，就可以直接得到他的工作效率或他们的工作效率和1、在工程问题中，如果我们知道了完成 (也就是时间的倒数)。 如:一项工程甲独做10天完成，那么他的工作效率就是1/10。 一份稿件小明要1/4小时打完，那么他的工作效率就是4。 一段路，甲乙两队合修6天完成，可以知道( )。 2、在工程问题中，如果我们知道的不是完成的时间，那么这时的工作效率就不能直接得到，一般有以下两种情况: (1)一项工程甲先独做8天，乙接着做4天正好做完。 (2)一份稿件小明打了3小时，完成了1/4。 四、分数和百分数应用题 1、解答分数应用题的三大提纲数量关系: 对应量?“1” ,对应分率 对应量?对应分率,“1” “1” ×对应分率,对应量 (强调姓一样) (强调姓一样) 说明:找对应的方法: (1)根据题目中的条件通过语言找出两个姓一样的人，要学会抓住对应量确定对应分率或抓住对应分率确定对应量，切不可受题目的影响。 (2)学会用线段图找对应，一般当题目中的条件没有明显的语言提示的，我们就用画线段图的方法，当分率和数量都表示同一条线段时，这时这个数量和这个分率就是对应的。 2、求相差分率的基本数量关系: 相差数?“1” ,相差分率，那么哪些属于相差分率呢,如:求，多几(百)分之几,少几(百)分之几,增加几(百)分之几,减少几(百)分之几,便宜几(百)分之几,贵几(百)分之几,节约几(百)分之几,超产几(百)分之几,„„ 3、解答分数应用题的具体步骤: 第一步:找“1”，在找“1”时要从题目中有分率的那句话找，题目中有几个分率，“1”就要找几次，一般找“1”的方法是:?“的”前。?“比”后。?如果没有明显的标志，自己要学会补充。?按时间发展的顺序，一般情况下过去的事情做“1”，如:原件、成本价、原数、 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 „„。这里要重 - 9 - 点说明的是几个分率的“1”如果是一样的，才能考虑到相加或相减;几个分率的“1”不同，切不可相加或相减，在这种情况下有时我们会运用转化的策略调整“1”。另外在分数应用题中数量与分率之间只有乘除关系而没有加减关系。 第二步:判断“1”是已知还是未知，这很重要直接关系到分数应用题的解答。这里分两种情况: ”已知，就直接用乘法做，求出谁;二是“1”未知，无论应用题的最后一是“1”已知，谁的分率“1 问题求的是什么，一开始都要想办法求出“1”，既然谈到求“1”，那就要学会找对应量和对应分率，一般情况下题目中只有一个数量的，那它必定就是对应量，如果题目中有几个数量的，就要研究一下这几个数量的关系，再确定对应量，找对应分率的方法也是如此。总之对应量在数量中产生，对应分率在分率中产生。 第三步:想提纲。 第四步:替换(根据提纲换成本题的数量关系)。 第五步:列式解答。 ?4、友情提醒: ※无论是什么题目，只要有分率，都应当作分数应用题来做，如:填空题、选择题„„。 ※做前后变化的分数应用题，记住要找不变量做“1”。 ※百分数的应用题与分数应用题的解法是一样的，其中浓度问题是百分数应用题中的一种，不少的同学做这种题目时，觉得很困难，其实这种类型的题目也是有规律的，一般我们可用两种方法解答:一是算术法，分三步?先求不变量。?再求变化后的液体。?最后求增加多少。 二是比例法，首先根据这个不变量写出求这个不变量的数量关系，再列出比例解答。 如:(1)有一种浓度为15%的盐水200克，要使浓度为20%，应加盐多少克, 算术法:? 比例法: ? ? (2)有一种浓度为30%的糖水400克，现要稀释成浓度为20%的糖水，应加水多少克, 算术法:? 比例法: ? ? - 10 - 专题七 空间与图形 一、平面图形 1、线 名称 图形 区别 联系 线段 有两个端点，有限长(可以量) 1、都是直的。 2、线段和射线都是直线的射线 有一个端点，无限长(不可量) 一部分。 直线 没有端点，无限长(不可量) 2、角 (1)意义:从一点出发引出两条射线，就组成了一个角。一个角是由一个顶点，两条边组成的。 角的大小与两条边的长短无关，与两条边叉开的程度有关。 (2) 边 顶点 1 记作:“ 1”，读作角1 或A 读作 A 边 (3)角的分类 名称 锐角 直角 钝角 平角 周角 图形 特征 小于90? 等于90? 大于90?小于180? 等于180? 等于360? 3、垂线和平行线 一般相交: (延长后可相交) 同一平面内两条 相交 直线的位置关系: 特殊相交: 两条直线相交，所形成的角是直角，我 们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线就是另一条直线 的垂线，它们的交点叫垂足。 不相交:同一平面内两条永不相交的直线叫平行线。( ) 4、三角形:由三条线段围成的图形叫三角形，它具有稳定性。 特征:(1)三个内角和是180?。(2)任意两边之和大于第三边。 三角形按角分， 锐角三角形:三个角都是锐角的三角形。 锐角三角形 可分为 直角三角形:有一个角是直角的三角形。 钝角三角形:有一个角是钝角的三角形。 钝角三直角三 注:要判断一个三角形是什么三角形，必须要求出 角形 角形 最大角的度数。 三角形按边分， 一般三角形 可分为 等腰三角形:两条腰相等，有两个相等的底角，一个顶角。 等边三角形:三条边都相等，三个角都是60?。 三角形 等腰三角形 等边三角形 - 11 - 5、四边形 a a h b a 有一个角是直角的平行 长和宽相等的长方形。 两组对边分别平行 且相等。 四边形，(四个角都是直角， (四个角都是直角，四条边 a 对边相等)。 都相等 )。 h 只有一组对边平行的四边形叫梯形( ) b 等腰梯形 说明:长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形。 6、圆:是一种由曲线围成的图形。 (1)圆心到圆上任意一点的线段叫半径(r)。 (2)通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径(d)。 (3)同一个圆中有无数条半径或直径且都相等。(r,d?2;d,2 r) (4)画圆的方法:?定点(圆心O);?定长(r)?旋转一周 注:圆心决定圆的位置，半径或直径决定圆的大小。 7、各平面图形的周长和面积 周长:围成一个图形的所有边长的总和叫做这个图形的周长。 面积:物体表面或围成平面图形的大小叫做面积。 (1)长方形 长方形周长,(长，宽)×2 长方形面积,长×宽 长,周长?2,宽 长,面积?宽 宽,周长?2,长 宽,面积?长 (2)正方形 正方形周长,边长×4 边长,周长?4 正方形面积,边长×边长 (3)平行四边形的面积是由长方形面积推导出来的，采用割补法，所得到的长方形的长相当于平 行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的高，因为长方形面积,长×宽，所以平行四边形的面 积,底×高。 (4)三角形面积是由两个完全一样的三角形拼成平行四边形推导出来的，所以三角形面积,底× 高×1/2;高,面积×2?底;底,面积×2?高 (5)梯形面积是是由两个完全一样的梯形拼成平行四边形推导出来的，其中平行四边形的底相当 于梯形的上下底之和，高没变，所以梯形的面积,(上底，下底)×高?2，如果已知面积求其中一个 名称时，最好用方程解。 (6)知道圆面积是由长方形面积推导出来的，掌握以下关于圆计算的8个公式: 直径d,2r 半径r,d?2 已知半径r求 周长c,2?r 已知直径d求 周长c,?d 22 面积s,?r 面积s,?(d?2) 已知周长c求:半径r,c???2;直径d,c?? 注:掌握常用的3.14与另一个数的乘积: 3.14×2,6.28 3.14×3,9.42 3.14×4,12.56 3.14×5,15.7 3.14×6,18.84 3.14×7,21.98 3.14×8,25.12 3.14×9,28.26 3.14×12,37.68 3.14×13,40.82 3.14×15,47.1 3.14×16,50.24 3.14×18,56.52 3.14×25,78.5 3.14×36,113.04 3.14×64,200.96 - 12 - 22(7)S,S,S或S,?×(R,r) 环外内环 备注:以上(1),(6)图形公式推导过程示意图见书P100。 二、立体图形 1、各立体图形的特征 h (1)长方体有6个面，其中上下面是由长和宽组成的，前后面是由长和高 a b 组成的，左右面是由宽和高组成的，每组对面相等;有12条棱，分三类四组，三类即长、宽、高，四组即4个长、4个宽、4个高，所以知道了长方体的棱长总和，用棱长总和?4,一组长宽高。有8个顶点。(如果长方体中有一组对面是正方形，那么其余4面都相等，也就是方钢形状。) (2)正方体有6个面，都是正方形且都相等;有12条棱且都相等;有8个顶点。 a (3)圆柱有两个底面都是相等的圆;有一个侧面(沿高剪展开后是一个长方 形，其中长相当于底面周长，宽相当于高，它有无数条高)。 (4)圆锥只有一个底面(圆形)，一个侧面;它的高是顶点到 底面圆心之间的距离，所以它的高只有一条。 2、各图形表面积的计算 (长，宽)×2 (1)长方体的表面积,(长×宽，长×高，宽×高)×2，或,底面周长×高，长×宽×2 注:如果是缺面，要先求出完整面再加上缺的面如:游泳池、抽屉等。 侧面积 边长×4 (2)方刚表面积,边长×高×4，边长×边长×2，或,底面周长×高，边长×边长×2 侧面积 高,侧面积?底面周长 (3)圆柱侧面积,底面周长×高 (圆周长公式) 底面周长,侧面积?高 备注:以上三种形体的侧面积都可以统一成底面周长×高，不过每种形体的底面不同，所以求底面周长时用的公式也不同。 (4)正方体表面积,棱长×棱长(一个面)×6 (5)圆柱表面积,侧面积，2个底面积(这里要注意生活中隐含物体条件如:油桶、水桶、通风管、水管、压路机、油漆柱子„„)。 3、各图形体积的计算 (1)长方体体积,长×宽×高 一个名称,体积?(另两个名称的乘积) (2)正方体体积,棱长×棱长×棱长 高,圆柱体积?底面积 (3)圆柱体积,底面积×高 底面积,圆柱体积?高 备注:以上三种形体的体积公式都可统一为底面积×高，所以当底面积和高都相等时，它们的体积也相等。 (4) S,V×3?h 底锥 圆锥体积,1/3sh h,V×3?S锥底 其中“sh”表示与圆锥等底等高的圆柱的体积。 三、拓展与延伸 1、 所以半圆周长,圆周长的一半，直径，根据这个公式可推出:半圆 周长是直径的5.14倍，如果已知半圆周长，可直接求出半径 - 13 - 用“半圆周长?5.14”，如:一个半圆的周长是14.52厘米，求这个半圆的面积, 2、知道在一个圆中周长与直径的比是( )，周长与半径的比是( )。 3、知道在圆中半径、直径、周长的关系是一样的，而面积的关系是它们的平方。 4、了解小学阶段常见的几个图形的转化。 (1)将圆转化成长方形(圆面积公式的推导方法) r ?r 变化:?形状变了。 ?周长变大了，多出了两个半径，即一个直径(见上图)，其中长相当于圆周长的一半 (?r)，宽相当于半径(r)。 不变:面积不变。 (2)圆柱展开图 h c )，宽相当一般情况下将圆柱侧面沿高剪，展开后是一个长方形，其中长相当于底面周长(c 于高(h)。 备注:如果圆柱的侧面展开得到一个正方形，那你会得到什么信息,( )， 这时高与底面直径的比是( )。 (3)将圆柱转化成长方体(圆柱体积推导方法) 长(高) 宽(半径) 变化:?形状变了。 ?表面积变大了，多出了左右两个长方形(见上图)，其中长相当于圆柱的高，宽相当于圆 柱的底面半径。 不变:体积不变。 (4)将圆柱沿底面直径竖直锯开如下图: 这时表面积增加了中间两个长方形(见上图)，其中长相当于高，宽相当于底面直径(具体做题时 一般先求出一个长方形的面积)。 友情提醒:以上四种图形的转化都和长方形有关，请同学们要分清每一种名称上的联系。 (5)将圆锥分成两个一样的形状(沿底面直径竖直锯开) - 14 - 这时表面积增加了中间两个三角形(见上图)，其中三角形的底相当于直径，高就是圆锥的高，(具体做题时，一般先求出一个三角形的面积)。 (6)将一个圆柱横截成几段，看它是剁了几刀，注意剁一刀就增加了2个底面(具体做题时往往要先求出底面积)。如:将一根2.1米长圆木锯成3段，表面积增加了100平方厘米，求这根圆木的体积, (7)解答立体图形转化题时，要抓住“体积不变”来解答。 友情提醒:如果图形最终转化成圆锥时，要注意体积要乘3。 5、沿着长方形的某一条边为轴旋转一周得到一个圆柱，其中以谁为轴谁就是高，那么另一条边就是底面半径;以直角三角形的某一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，同样以谁为轴，谁就是高，另一条直角边就是半径。 6、正方形内画最大的圆，边长就是直径;长方形内画最大的圆，宽就是直径;在正方体内削一个最大的圆柱或圆锥，棱长既是底面直径，又是高。 27、 左图中正方形的边长就是半径(r)，所以正方形的面积就是“r”这个整体， 如果知道了正方形的面积，求圆的面积直接用3.14乘就可以了。 28、在圆内画最大的正方形，正方形的面积,2r×r×1/2×2,2r 9、关于圆柱和圆锥的关系: (1)当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱的1/3，圆柱的体积是圆锥的3倍。 (2)当圆柱和圆锥等底等高时，要知道数字“1、2、3、4”的含义。 (3)当圆柱和圆锥的体积和其中一个名称相等时，另一个名称的关系:圆锥是圆柱的3倍。 10、对于圆柱和圆锥的体积公式中都涉及到三个名称，即:体积、底面积、高，如果我们知道其中两个名称的关系，求第三个名称的关系，我们通常采用公式法来解答:?先写出公式。?根据题目中的信息，将公式中字母替换成数字并计算。?最后求两者之间的关系。 备注:如果有相等的名称，那么我们在计算时把它们都看作数字1来计算。 如:(1)体积相等的圆柱和圆锥，若圆柱的底面半径是圆锥的1/2，那么圆锥的高是圆柱的( )。 (2)圆锥的底面周长是圆柱的2/3，圆柱的高是圆锥的5倍，圆锥的体积是圆柱的( )。 四、图形与变换 1、变换图形的位置用平移和旋转，但不改变大小。 2、改变图形的大小用放大或缩小，但不改变形状。 3、有一些图形，把它沿着一条直线对折，能够使左右两边完全重合，像这样的图形就叫轴对称图形，这条直线就叫对称轴(点横线)。在我们学过的平面图形中:有一条对称轴的是等腰三角形、等腰 - 15 - 梯形;有两条对称轴的是长方形;有三条对称轴的是等边三角形;有四条对称轴的是正方形;有无数条对称轴的是圆。 4、画对称图形的方法:(1)找点。(2)画垂线，量距离。(3)画另一半的点。(4)连线。 说明:如果点就在线上，左右公有。 5、掌握确定位置与比例尺知识间的联系。 )定距离 会描述物体的具体位置，知道定位置的三个要素:(1)定方向(2)定角度(3 专题八 统计与可能性 一、目前共学过哪些统计图,这些统计图分别有哪些特点, 二、掌握平均数、中位数、众数的求法。 三、可能性的求法:“所需的可能?一共得可能,可能性” - 16 -