10-8 离散型随机变量及其概率分布(理)
1.设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n＝9
[
答案
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] C
[解析] ∵P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.
2．(2011·广州模拟)甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )
A．0.12 B．0.42
C．0.46 D．0.88
[答案] D
[解析] P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)＝0.88.[来源:Ks5u.com]
3．(2011·潍坊质检)甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3 ：1的比分获胜的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 设甲胜为事件A，则P(A)＝，P()＝，
∵甲以3 ：1的比分获胜，∴甲前三局比赛中胜2局，第四局胜，故所求概率为P＝C·()2··＝.
4．(2011·岳阳期末)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 5个球中含3个白球，第一次取到白球后不放回，则第二次是含2个白球的4个球中任取一球，故取到白球的概率为.
5．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．2
[答案] A
[解析] 设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴0×＋1×＋2×＝，
∴x＝3.
6．(2011·苏州模拟)甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )
A．0.45 B．0.6
C．0.65 D．0.75
[答案] D
[解析] 设“甲击中目标”为事件A，“目标被击中”为事件B，则所求概率为事件B发生的条件下，A发生的条件概率，
∵P(AB)＝0.6，
P(B)＝0.6×0.5＋0.6×0.5＋0.4×0.5＝0.8，
∴P(A|B)＝＝＝0.75.
7．(2011·济南模拟)已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2
表
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如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20
则丢失的两个数据x＝________，y＝________.
[答案] 2,5
[解析] 由于0.20＋0.10＋(0.1x＋0.05)＋0.10＋(0.1＋0.01y)＋0.20＝1，
得10x＋y＝25，于是两个数据分别为2,5.
9.(2011·湖南理，15)如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.
[答案] (1) (2)
[解析] 该
题
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为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为，∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为.
故P(A)＝，P(A∩B)＝＝，
P(B|A)＝＝＝.
10．(2011·西城模拟)一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1,2,3,4,5,6.
(1)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；
(2)若从袋中每次随机抽取2个球，有放回地抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；
(3)若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列．
[解析] (1)设先后两次从袋中取出球的编号为m，n，则两次取球的编号的一切可能结果(m，n)有6×6＝36种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种，则所求概率为.
(2)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率P＝＝.
所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为
Cp2(1－p)＝3×()2×()＝.
(3)随机变量X所有可能的取值为3,4,5,6.
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝＝，
P(X＝6)＝＝＝.
所以，随机变量X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
11.(2011·安溪模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] P(X＝4)＝＝.
12．(2011·浙江六校联考)节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求服从如下表所示的分布列：
ξ
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30[来源:Ks5u.com]
0.15
若进这种鲜花500束，则期望利润是( )[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]
A．706元 B．690元
C．754元 D．720元
[答案] B
[解析] 由题意，进这种鲜花500束，
利润η＝(5－2.5)ξ－(2.5－1.5)×(500－ξ)
＝3.5ξ－500
而E(ξ)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340，
∴E(η)＝E(3.5ξ－500)＝3.5E(ξ)－500＝690(元)．
13．(2010·上海市嘉定区调研)一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量X表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量X的数学期望E(X)＝( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] X的取值有：3、4、5，P(X＝3)＝＝，[来源:高&考%资(源#网 wxc]
P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，
∴E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
14．(2011·通州模拟)亚洲联合馆一与欧洲联合馆一分别位于上海世博展馆的A片区与C片区：其中亚洲联合馆一包括马尔代夫馆、东帝汶馆、吉尔吉斯斯坦馆、孟加拉馆、塔吉克斯坦馆、蒙古馆等6个展馆；欧洲联合馆一包括马耳他馆、圣马力诺馆、列支敦士登馆、塞浦路斯馆等4个展馆．某旅游团拟从亚洲联合馆一与欧洲联合馆一共10个展馆中选择4个展馆参观，参观每一个展馆的机会是相同的．
(1)求选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆的概率；
(2)记X为选择的4个展馆中包含有亚洲联合馆一的展馆的个数，求X的分布列．
[解析] (1)旅游团从亚洲联合馆一与欧洲联合馆一中的10个展馆中选择4个展馆参观的
总结
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果数为C＝210，记事件A为选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆，依题意可知我们必须再从剩下的8个展馆中选择2个展馆，其方法数是C＝28，所以P(A)＝＝.
(2)根据题意可知X可能的取值是0,1,2,3,4.
X＝0表示只参观欧洲联合馆一中的4个展馆，不参观亚洲联合馆一中的展馆，这时P(X＝0)＝＝，[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]
X＝1表示参观欧洲联合馆一中的3个展馆，参观亚洲联合馆一中的1个展馆，这时P(X＝1)＝＝，X＝2表示参观欧洲联合馆一中的2个展馆，参观亚洲联合馆一中的2个展馆，这时P(X＝2)＝＝，X＝3表示参观欧洲联合馆一中的1个展馆，参观亚洲联合馆一中的3个展馆，这时P(X＝3)＝＝，X＝4表示参观亚洲联合馆中的4个展馆，这时P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
15.(2011·山东理，18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.
[解析] (1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5
由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有：DE，DF，EF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.
又由(1)知 F、E、D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，
因此P(ξ＝0)＝P( )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P(ξ＝1)＝P( F)＋P(E)＋P(D )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35.
P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.
由对立事件的概率公式得
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.35
0.4
0.15
因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.
1．在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设事件A在每次试验中发生的概率为p，则事件A在4次独立重复试验中，恰好发生k次的概率为Pk＝Cpk(1－p)4－k(k＝0,1,2,3, 4)，
∴p0＝Cp0(1－p)4＝(1－p)4，由条件知1－p0＝，
∴(1－p)4＝，∴1－p＝，∴p＝，
∴p1＝Cp·(1－p)3＝4××3＝，故选C.
2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为( )
A．C2·5 B．C2·5
C．C2·5 D．C2·5
[答案] B
[分析] 关键是弄清S7＝3的含义：S7＝a1＋a2＋…＋a7，而ai的取值只有1和－1，故S7＝3表示在ai的七个值中有5个1、2个－1，即七次取球中有5次取到白球、2次取到红球．
[解析] S7＝a1＋a2＋…＋a7＝3表示七次取球试验中，恰有2次取到红球，而一次取球中，取到红球的概率P1＝，
∴所求概率为P＝C2·5.
3．(2011·烟台模拟)随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(
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