工程流体力学习题及答案3

工程流体力学习题及 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 3 第 1 页 共 26 页 第5章 平面势流理论 计算题 : U0R【5.1】 如图所示～设蒙古包做成一个半径为的半圆柱体～因受正面来的速度为的大 ,为风袭击～屋顶有被掀起的危险～其原因是屋顶内外有压差。试问:通气窗口的角度 多少时～可以使屋顶受到的升力为零, FL解:屋顶圆柱面外表面受到的升力为 ,FppR,,dsin,,，，Ls,,0 ,方向向下, pp,s式中 为无穷远处压强～为圆柱外表面上的压强 pin屋顶圆柱面内,含表面,的静压强为～它与通气窗口处的压强相等～即 pp,,ins,,,,, ,FL 那末内压强产生的升力为 ,,FppRRpp,,,,dsin2,,，，，，Linin,,,0 ,方向向上, pp,in, ,为常量, ,FF,LL 要使圆柱面屋顶的升力为零～则 ,ppRRpp,,,sind2,,，，，，a，，s,,in,0 即 F Cp 引入压强因数 L pspp,pF 's,inUL0C,p12,Uα0θ2 p 其中圆柱体表面的分布式为 习题.15图2C,,14sin,p a，， 则式为 ,22(14sin)sind214sin,,,,,,,，，,0 第 2 页 共 26 页 ,4,3,,,sindsind2,,,,0,03 考虑到 ～ 52,,,,14sin3 得到 o,,54.74 解得 Q22W(z),ln(z,a)2W(z),z,2【5.2】 已知复势,1,,,2,～试画出它们所代 表的流动的流线形状。 yy r2r1 θ1θx2xa-aOO(a)(b) 习题.25图 2Wzz(), 解: (1) i,zr,e 引入 22Wzzr()(cos2isin2),,，,, 故 2,,rcos2, 故速度势 2,,rsin2, 流函数 ,,0 时, sin2,,0 当 ,,,,,kk(0, 1, 2),2,,,k2 即 即为流线的渐近线。 2crrr,,sin22sincos ,,,,,c 得 xy,c 或 即 流线为双曲线族 dW i22(i) uvzxy,,,,，dz 又由于 复速度 ux,2, ,vy,,2, 故 第 3 页 共 26 页 a，， 故流线图如图所示。 Q22 (2) Wzza()ln(),,,2 Q,,,，，,ln()ln()zaza 2,z,,a,z,a而强度为 故流动为各位于 Q的两个源叠加而成。 ii,,12zarzar,,，,e , e12 令 Qi(),,，12Wzrr()lne,12,2 则 Q,,(,，,)122, 故 ,,，,12 流线为 常数 b 流线形状如图,,所示。 12Wzz()(1i)ln(1),，，，z【5.3】 设复势为～试分析它是由哪些基本流动所组成,包 22x，y,9,括强度和位臵,～并求沿圆周的速度环量及通过该圆周的流体体 积流量。 12Wzz,，，，1iln1，，，，，，z 解: 1,，,，，,，lniiilniizzzz，，，，，，，，z 流动由下列简单平面势流叠加而成 m,2,,i ? 位于处强度为 的源, ,,,,2,i ? 位于处强度为 的点涡,顺时针旋向,, xz,0M,2, ? 位于原点 处强度为 的偶极子,源?汇为方 向, d11ii1W,，，，,2diiiizzzzzz，,，, 复速度 d11ii1W，，ddzz,，，，,2,,,,ccdiiiizzzzzz，,，,，， 222z,3x，y,3 其中 c 为 ,或～显然它包含了这些奇点。 由留数定理 d1i1i1W，，，，ddzz,，,2,,,,ccdzzzz，,ii，， ,，,，，,(1i)2i(1i)2i,, ,,,，4i4i,,,Q ,,,,4z,3 故 速度环量为 第 4 页 共 26 页 Q,4,z,3 体积流量为 z，1,,Wz()(1i)ln,，,,Wzz()(1i),，z,4,,【5.4】 已知复势为,1,,,2,,,3, 24,，6iizW(z),z。试分析以上流动的组成～绘制流线图～并计算通过圆周 22x，y,9的流量～及沿这一圆周的速度环量。 yyR c OxOx (b)(c)(a) 习题.45图 解:,1, Wzzxy()(1i)(1i)(i),，,，， ,,，，()i()xyxy,,,,,，xyxy, 为均流 ,,cx，y,c 令 ～流线方程为 dW,，1i222x，y,3dz ～其沿 积分为 dW,，,d(1i)d0zz,,zz,,33dz ,,,0, 0Qzz,,33 得 a 流线图如图,, z，1,,Wz()(1i)ln,，,,z,4,,,2, ,，，，,,,,ln(1)iln(1)ln(4)iln(4)zzzz 流动由下列平面势流叠加而成 2,z,,1 ? 处～强度为的源 2,z,4 ? 处～强度为的汇 2,z,,1 ? 处～强度为的点涡,顺时针旋转, 2,z,4 ? 处～强度为的点涡,逆时针旋转, d11W,,,，,(1i),,d14zzz，,,, d11W,,,，,d(1i) dzz,,,,zz,,33，,d14zzz,, 第 5 页 共 26 页 dz,，,，,,,,,,(1i)(1i)2i2i2,z,3，z1 ,，,iQ ,,,,,,2, 2Qzz,,33 故 b 流线图如图,, ,2i,,i,,2442e,2Wzzzz()6ii6i()6e,,，,,,,，,,zzz,, ,3, U,60a,2 这是的均流,速度沿y轴方向,绕半径的圆柱的绕流～即均流 叠加强度为 ,,i2yM,48e,的偶极,方向源?汇为轴方向, d24iW,,,6i2dzz d24iW,,d6id0zz,,,,,,2,,zz,,33dzz,, ,，,iQ ,,,0, 0Qzz,,33 故 c 流线图如图,, 1,,W(z),mlnz,,,(m,0)z,,【5.5】 设流动复势为～试求:,1,流动由哪些奇点所 1zz,,i,12,,2组成,,2,用极坐标表示这一流动的速度势及流函数,,3,通过 之间连线的流量,,4,用直角坐标表示流线方程～画出零流线。 1(1)(1)zz，,,,Wzmzm()lnln,,,,,zz,, 解:,1, 故以上平面势流由下列简单平面势流叠加而成 2,m ? 位于,-1～0,及,1～0,强度均为的源 2,m ? 位于,0～0,强度为的汇 11,,,,ii,,,Wzmzmr()lnlnee,,,,,,,,zr,,,, ,2, 2r(cosisin)(cosisin),,,,，,,,mlnr 22，，(1)cos(1)sinrr,，,,,，mlni,,rr，， 2r，142,1，，,itantanrr2cos21,,，2r,1mlne,,,2r,,，， 第 6 页 共 26 页 42,,，r2rcos21,mln,r 故 2r，1,1,,,mtan(tan)2r,1 1zz,,i, 122 ,3,通过点两点之间连线的流量为 1,,,,,,,,Qzz()()(i)()122 m,,,11,,,,mmtantan02 ,4,用直角坐标表示的流线方程 2r，1,1,,,,mctantan2r,1 y222rxy,，,, tan,x 由于 22，，(1)xyy，，,,1,,,mctan,,22(1)xyx，,,，， 故 22yxy(1)，，,c22xxy(1)，, 或 c,0 零流线即 得 22x，y，1,0y,0x ,即轴, ,无意义, m,,,22x，y,1,02x,0 也为流线～但 U,10m/s0【5.6】 一沿x轴正向的均流～流速为～今与一位于原点的点涡相叠 加。已知驻点位于点,0,-5,～试求:,1,点涡的强度,,2,,0,5,点的速度, ,3,通过驻点的流线方程。 0,5,，，,, 解:,1,设点涡的强度为～要使驻点位于～则应为顺时针转向～则 复势为 i,,,WzUzz()ln02, di1iW,,,,,,,,,UUuv(cosisin)i,,00d22zzr,, ,dWm,,,,Ur10, 5, ,0,0s2dz 将 代入～并令 ,,,,10sin0,,,,,252，,,, 则 ,,,,100 故 ,即顺时针旋转, ,uU,,sin,02r, ,2,由于 第 7 页 共 26 页 ,v,cos,2r , ,r,,,,5, ,100,,,0,5，，2 点的速度为将 代入上式 100,,,，,u10sin20ms，252 得 , v,0 i,,,WzUzz()ln02 ,3, , i,i,,，,Uxyr(i)lne02, ,22,,，Uyxyln,02 得 , 在驻点,0～-5,处～即 ,,，,，10(5)50ln5 ,,50(ln51) 故流过驻点的流线方程为 2210y，50lnx，y,50(ln5,1) 22ln(0.2x，y)，0.2y，1,0 整理得 【5.7】 一平面势流由点源和点汇叠加而成～点源位于点,-1,0,～其强度为 333,m=20m/s～点汇位于点,2,0,～其强度为m=40 m/s～流体密度=1.8kg/m～12 设已知流场中,0,0,点的压强为0～试求点,0,1,和,1,1,的流速和压强。 解:点源和点汇叠加后的复势为 mm12Wzzz()ln(1)ln(2),，,,,,22 d11Wmm12,,,,，,d2122zzz mm1112,,,,，，,，2(1)i2(2)ixyxy mm(1)i(2)ixyxy，,,,12,,2222,,2(1)2(2)xyxy，，,， mmxx，,1212u,,2222,,2(1)2(2)xyxy，，,， 即 mmyy12v,,22222(1)2(2),,xyxy，，,， V1 点,0～1,处流速 201402,mu,,,4.14s,,211241，， 2014011m,,,,v0.318s,,,2225 第 8 页 共 26 页 22mVuv,，,，,4.140.3184.151s 速度大小 V2 同理～点,1～1,处流速 mu,4.46s mv,,2.55s mV,5.132s 速度大小 V0 点,0～0,处流速 mu,6.37s v,0 mV,6.370s 流速大小 ,1.822，,,，，,pVc06.3736.522 由伯努利方程 故,0～1,处压强 ,2p,,，,36.54.1521Pa12 ,1～1,处压强 ,2p,,，,36.55.1312.81Pa22 ,【5.8】 设在半径为R的圆周上等距离分布有n个点涡～它们的强度均为～且 转向相同～试写出流动的复势及求出共轭复速度。 解:设编号为1的点涡恰好在实轴上。 则均布在半径为R的圆周上的n个点涡的复势为 242,,,k，，iii,,,,,,,nnnWzzRzRzRzR()lneee,,,,,，，,,,,,,,,2i,,,,,,,,,，， kn,,0, 1, 1 上式中 nnz,R,0 在复变函数中～半径为R的圆周上的n个点涡的位臵～即是方程 的根。 ,nnWzzR()ln(),,2i, 故 n,1dWnz,,nn,d2izzR, 【5.9】 试写出如图所表示的流动的复势。 第 9 页 共 26 页 yyy U0 OxxxOOU0U0(b)(c)(a) 习题.95图 ,i,WzUz()e,0 解:(a) WzUz(),,0 (b) ,,,i2WzUzUz()ei,,,00 (c) 22i,,,ae,i,WzUz()e,，,,0z,, (d) 22i,,,ae,i,WzUzz()e,,，,,00zz,0,, (e) yy zaa0 OUx0OU0αxα (e)(d) 习题.95图 xxza,iM【5.10】 轴为固壁～在点上有一个强度为～方向沿轴的偶极子～若 2MaU,8,x0叠加一个沿正轴方向的均匀流～如图所示～试证明～当时～圆 222xyaa，,,4，，周是一条流线。 y 2aU0 Mai O x 习题.105图 Wz，， 解:应用镜像法中的平面定理～流动复势为 MMWzU,，，，，02(i)2(i),,zaza,， 第 10 页 共 26 页 i,1(i)ezar,,1 令 i,2(i)ezar，,2 ya,222rxya(),sin,,，,,11r1 其中 ya，222rxya(),sin,,，，,22r2 Wz，，, 流函数是的虚部～则 ,,sinsin,,M12,,，Uy,,,02rr,12,, 222xyaa，,,4，， 当 时 22ra,41 22222rxyaxyaayaay,，，,，,，,，44，，，，，，2 Mya,1,,,,,，Uy0,,2244aa,,, 故 y2,,,UyaU400024a ,,0 显然～当是零流线方程～即证明了 222xyaa，,,4，， 是零流线方程。 【5.11】 设想在半径为a的圆筒壁上臵有一强度为Q的点源,如图所示,～试写 出流动的复势。 yη()ζ()z mmi-a2mmOOxξ-m2--i2 习题.115图 解:解法1 , 采用一分式线性变换～将圆周变为辅助平面上的实轴～很显然～此变换为 第 11 页 共 26 页 zz,,,i0,i,,zz,,0zz，，i,0 或 z,,00 这一变换将圆周变换成实轴外～还将变换成～ z,0, z,,,,i,,,i 将 分别变换成 和 。 m,,2i,i 为了吸收平面上原点上点源的流量～需在和处各臵一强度为的点 , 汇～因此平面上流动复势为 2,mmmW()lnln(i)(i)ln,,,，,,,,,22441，,,,, z 代入至平面～得 2,,zz,0i,,,zz，m0,,Wz()ln,2,4,,zz,01i，,,,zz，0,, 2,,zz,0,,,zz，m0,,ln,2,4,,zz,01,,,zz，0,, 2，，()zz,m0,,ln,,,44zz0，， 2zz,，，m0ln,,4z m 2 该流动表示～在圆筒的中心～需臵一强度为的汇。 解法2 z,i,,,ei,zae,0a 设变换函数 ～其中 z,,10 此变换将半径为a的圆周变成单位圆～变成 mmW()lnln(1),,,,,，,42,, 应用公式 z 代入至平面～得 mzmz,,,,,,ii,,Wzee()lnln1,,，,,,,,,,42aa,,,, ,,zz,mzm0lnln,,，,,,,42zz00,, 2,zz，，mm10,，lnln,,44zz0 第 12 页 共 26 页 2zz,，，m0ln,,4z ma 此题由于强度为的点源恰好在以为半径的圆周上～可以认为在边界的外侧 mm 22有强度为的电源～在边界的内侧,即反演点,有强度为的点源～为了保持 m 2圆内流体流量的平衡。在圆心处要放臵同样强度的点汇。 【5.12】 在如图所示的半无限的平行槽内的左下角～臵有一强度为m的点源。试 求其流动复势及共轭复速度。 y z2z1 ηh mξ2m3ξξξ21z44z3xOOξ-11 习题.125图 , 解:应用Schwarz变换～将这一半无限平行槽变换成平面的上半平面。 zzz, , 123 取下列为相对应点 ,,,,,,,,,, 1, 1123 z,,,44, 而另一无限远点需对应于～由Schwarz变换的性质可知～对应于的项在变换式中将不出现。 11,,dzA22,，,,,,A(1)(1)2d,,1, 因此～该变换式为 ,1zAB,，cosh, 积分后得 为决定积分常数～应用对应点关系 z,0, ,,133当 代入上式得 ,10cosh1,，AB 得 B=0 zh,i,,,122当 有 hA,,1,1icosh(1)hA,,cosh(1)i,,,, 得 [由于 ] 故变换函数为 z,,,h,1cosh,,z,cosh,,,h,,, 或 z,W(),,,13m 在平面上～的对应点处应有一强度为2的点源[由于是全平面上点源的复势～它只有一半流入上半平面] , 故在平面上的复势为 第 13 页 共 26 页 2mm,,,,,,,W()ln(1)ln(1),,2 z 代回至平面～得 mz,,,Wz()lncosh1,,,,h,,, 则共轭复速度 ,,zzsinhsinhdWmm,hh,,zz,,dzhh,,,cosh1cosh1hh U,20m/s0【5.13】 设在图示空气对圆柱的有环量绕流中～已知A点为驻点。若～ r,25cmf,10cml,103cm0,,20～圆柱的半径～～。试求:,1,另一 驻点B及压强最小点的位臵,,2,圆柱所受升力大小及方向,,3,绘制大致 的流谱。 yy1FLyy1 110, MMx1r30,x110,01AxOxOAβBlU0α U0α 习题.135图 z,z,Mz11 解:作平移变换 ～则圆柱中心位于平面上的原点M～ 则绕流复势为 2i2,,,rei,,i,0WzUzz()eln,，，,,1011z2,,,1 2i2,,,redi1W,,i,0,,，Ue1,,02d2zzz,111,, f,1,,tan,i,zr,ez101l A点在平面上的坐标为～其中 2i2,,,,,redi1W,,i,0Ue10,,，,,,,,0,,2i2i,,de2ezrr,,,100,,zA,1 据题意 i,i,e,，ii2(),,,，，,，,Uee100，，2r,0 因此 ,，，i()i(),,,,，，,,2eeiUr,,00，， 第 14 页 共 26 页 i()i(),,,,，,，，，ee,,,4Ur00,,2i，， ,，4sin(),,,Ur00 f1,,11,,,:,tantan30l3 由于 2m,,,，，，:,4200.25sin5048.11s 故 单位长度上的升力 FU,,，，,,,1.2052048.111159.5NUUL000 ～方向垂直～,逆时 , 2针方向转, ,,,i，,,,2,,F,1159.5eL 用复数可表示为 Wz()1 将改用极坐标表示 22i,,,rei,,iii,,,0WzUrr()eelne,，，,,10i,re2,,, 2i(),,,,rei,i(),,,0,，,，，UrUre(lni),00r2, 2,,r,0Urcos(),，,,,,,,,,0r2,,, 故 2,,r,,01cos()vU,,,,,,,,r02,rr,, 2,,r,,,0vU1sin(),,,，,,,,,,,02rrr2,,,,, r,r0 在圆柱体表面 ,vU,,,,2sin(),,,02r,0 v,0, 令 ～得两驻点位臵 Γ48.11,,,,,,,,,sin()0.7664，，rU40.2520,,00 ,,,,:，,,:5030A 故 ,,,,:，,,:130110B v,,2cos()0U,,,,,,0,, ,,,,:90 得圆柱面上速度最大点 ,,:，:,:9020110vmax 由伯努利方程可知～该点即是压强p最小点。 第 15 页 共 26 页 流线谱如图 【5.14】 两个环量布臵如图所示～试:,1,写出复势～求出势函数和流函数,,2, 22x，y,1证明单位圆恰是一条流线,,3,将上述单位圆作为圆柱固壁～求x,b,处点涡对此圆柱体的作用力。 ,,1,,,,Wzzbz()ln()ln()y2i2ib,, 解:,1, 1z,zb,i,,RbΓ,,lnln-Γ12i2zb,,,z,x1/bObb 1xy,，iib,,ln2ixby,，, 1，，,,习题.145图xyxby,，,,ii，，，，,,，，,,bi,,，，,,ln222xby,，，，, 11,,,,22xyxbyb，,，，，,1i,,,,,ibb,,,,Wz()ln,222,xby,，，， 故 1,,,by,,,b,,,1,,tan,12,,,22xyxb，,，，1,,b,, 22，，，，11,,,,22xyxbyb，,，，，,1,,,,,,,,bb,,,,,，，，，,ln,222,xby,，，， 22x，y,1,,2, 将 代入流函数中 22，，11,,,,22,，，,xbyb,,,,,,bb,,,,,，，,ln,2221bbx,，, 22bbx,，21，，,,1,,,lnln222b,,bbbx,，21，， 常数 22x，y,1 因此证明是一条流线。 第 16 页 共 26 页 ,, ,,d11W,,,,,1d2izzb,,,,z,b,,,3, Blasius 由公式 2id,W,,F,,,FFzidxy,,,,z12dz,, 2,,2,,i11,,,zd,,,,,2z,11zb8,,,,z,b,, ，， ,,2i121,,,,,,,，dz222,1z,1,,8,,,zb,1，，,,zbz,,，，z,,,,,,,b,,b,,，， ，， 2,,i2,,,,,zd,,2,z,118,,,,,zbz,,，，,,,,b,,，， 1z,z,bb 由于 在单位圆之外～故只需计算 的留数 214i,b,,d4iReszf,,,,,2,z,11bb1,,,,,zbz,,，，,,b,, 22i4i,,,,,bb,,F,,,,,,,22281,b21,b,,,,，， 因此 ,,b,,,FFxL221,b,，， 即 F,0y 本题另一求解方法:由于这两个点涡产生的诱导速度场使得它们均以 ,v,,1,,2b,,,,b,, 的速度向下运动。 由儒可夫斯基定理 ，， 2,,b,,,,,FU,,,,,,,,,L021,,21b,,,,，，2b,,,,,,b,,，， 这里的升力指与运动方向垂直。 第 17 页 共 26 页 ,【5.15】 在半径为a的圆筒内距中心b处有一强度为的点涡～试描述该点涡的 运动。 , 解:为使圆筒能成为一条流线～在圆筒外～必须设臵一个内部点涡的虚像～其强度为,转向相反～即顺时针转向,～设其位臵距筒内点涡的距离为h～则由关于圆的反演点的定义～应有 Γ22ab，，,bh,2abbha()，,Ob 或者 圆筒内点涡的运动～将由其筒外虚像所引起～虚像对它的诱 导 速度为 ,v,习题.155图2h , 由于点涡的运动永远平行于壁面～故这时它将绕中心作等速圆周运动～运动的角 , 速度为 v,,,,22b2ab,,，， al【5.16】 如图所示～宽为的无限高容器～在侧壁高为处有一个小孔～流体以 Q,,,,Wzzasincosh,,,，，,,Qll,,,自小孔流出～证明复势为 流量ηη2()ζ11()ζy2 QQ aπalQOOOxllππ-ξξ1-22222 习题.165图 ,z,,1,l 解:交换函数将容器宽度变为, ,,,sin,,2112 交换函数将平面上的容器内区域变成平面上的上半平面 ,如图, z,,,sinsin,,21l 故 ,2 在平面上～实轴为平面壁～点汇在实轴上 aa,,,,,sin(i)cosi,，,,2,,2ll,, 在处～ 由于存在关系式 ,xxee，xxcosicosh,,，，2 ,2 因此平面上的点汇在实轴上的 第 18 页 共 26 页 a,,,cosh,,2,,l,, 处～ 根据平面壁镜像原理～则 2Qa,，，Wz,,,lncosh,，，2,,2l,，， Qza,,，，lnsincosh,,,,,ll,，， zz00,,,【5.17】 在半径为a的圆柱外及两点处有强度为及的一对点涡～另有 U0大小为的均流沿x轴正向流来～试写出这一流动的复势。 解:没有圆柱时～均流及两个点涡的复势为 zz,,0fzUz()ln,，02izz,,0 放入圆柱后～由圆定理可得均流及上述两个点涡关于圆柱的虚像的复势 为 2az,220,,aa,zfUln,,,,02azz2i,,,z,0z 22azza,,0Uln,,02zazz2i,,0 2,,aWzfzf()(),，,,z,, 总复势 22,,()()zzazz,,a,00,，，Uzln,,02zzzazz2i()(),,,,,00 2,,a()zzz,,,,02z,,a,0,,Uzln,，，,,02z2i,,,a,,()zzz,,,,0z0,, yy ΓUz00Γara OxOx b0-Γz 习题.175图 习题.185图 (b,a)【5.18】 设在流场中有一半径为a的圆柱～距圆柱中心b处有一强度为 第 19 页 共 26 页 2Ka,,,K,222b(b,a)2,的点涡。试证明,1,该点涡以角速度绕圆柱转动, 22,,,Kba,,1,2,,ar,,r ,2,圆柱表面的流体速度可表示为～其中为圆柱表面上所 求速度点与点涡之间的距离。 解:,1,在,b～0,处点涡的复势为 K,fzzbzb()ln()ln(),,,,2ii , 由于流场中有半径为a的圆柱～根据圆定理 22,,,,aKafb,,,ln,,,,zzi,,,, 2,,aWzfzf()(),，,,z,, 总的复势为 2,,KKa,,,,ln()lnzbb,,iiz,, ，， ,, ,,KzbKzb,,,,,,lnln22,,aii,,a,b,,bz,,,,zb,,,, ,,，，z 2，，,,Ka,,,,，ln()lnlnzbzz,,,,ib,,，， ,, ,,d111WK,,，,,2adizzbz,,,z,,,b,, 复速度为 由于b点处点涡的运动由其在圆柱内的虚像所引起～故其速度 dzd1WK,,0V,,,0,,dditzzb,,,zb, ,, ,,K11,,,,2aiz,,z,,,b,,zb, ,,2,,KKa11,,,i,,222aibbba,，，,,b,,,b,, 第 20 页 共 26 页 2Kauv,,,0, 22bba,，， 可见～当该点涡恰好在实轴上时～有 2vKa,,,,222b,bba，， 角速度 ,顺时针方向, ,2,圆柱表面上一点速度 i,za,e 以 代入共轭复速度表达式 ,, ,,K111V,,，za,,,2ii,,aieeaba,i,,,ae,,,b,, 得 22，，Kba1,,i,,,e,，,ii22i,,,iaaabababeee,,，,,，，，， 22，，Kba1,,i,,,e,，i22,ia,aababe2cos,,,,，，，， 22，，Kab,1,,i,，e,,i2,ieara，， 22,,Kba1,,,i,,e1,,2iar,, 22,,Kba1,,,,,,1cosisin，，,,2iar,, z,a 故在圆柱 处速度为 22,,Kba,u1sin,,,,,,2ar,, 22,,Kba,v1cos,,,,,2ar,, 转换成极坐标系中的速度 vuv,，cossin,,r 2222,,,,KbaKba,,,,,，,1sincos1cossin,,,,,,,,22arar,,,, ,0 vvu,,cossin,,, 22,,Kba,22,,，1cossin,,，，,,2ar,, 22,,Kba,,,1,,2ar,, 第 21 页 共 26 页 v,0v,0rn 由于～满足～可见圆柱表面为流线。 第6章 水波理论 计算题 : ,,6.1 在岸上观察到浮标每分钟升降15次～试求波浪的圆频率、波数k、波长和 波速c,可视为无限深水波,。 15,1,,f0.25s60 解:浮标升降次数即为频率 ,1,,,,,，,220.251.57sf 圆频率 22,1.57,,k,,,0.251mg9.81 波数 22,,,,,25m,k0.251 波长 g9.81mc,,,6.250.251sk 波速 T,5sH,1.2m6.2 已知一深水波周期～波高～试求其波长、波速、波群速以及 波能传播量。 22,,,1,,,1.26s,T5 解:圆频率 22,1.26,,k,,,0.161mg9.81 波数 22,,,,,39m,k0.161 波长 gmc,,7.81sk 波速 cmc,,3.90gs2 波群速 12,,WgHcg8 波能传播量 12,，，，，10009.811.23.98 ,,,6 886.6Ns ,1A,1m0k,0.21md,10m6.3 在水深的水域内有一微幅波～波振幅～波数～试 z,,5mx,000求:,1,波长、波速、周期,,2,波面方程,,3,及处水质 点的轨迹方程。 22,,,,,31.4m,k0.2 解:,1, 波长 第 22 页 共 26 页 10d,,0.318,31.4 d,0.318, 在实用上～由于 ～ 11d,,,202 故本题属有限深度波。 gd,,2 波速 ,ctanh 2,, ，，9.8131.46.2810,, ,tanh,, ，23.1431.4,, m,，,490.9646.87,31.4s,,,T4.57sc6.87 周期 ,2, 波面方程 ,,Acosk(x,ct)0 ,,m,,,Akc1m, 0.2m, 6.870s 其中 ,,cos(0.2x,1.37t) 故 z,,5mx,000 ,3, 在 及 处水质点的轨迹方程 22(x,x)(z,z)00，,122AB cosh()kzd，0AA,0sinhkd 其中 sinh()kzd，0BA,0sinhkd z,,5m0 在 cosh[0.2(510)]cosh11.543，,，A,，,,,10.43msinh(0.210)sinh23.627， sinh[0.2(510)]sinh11.175，,，B,，,,,10.32msinh(0.210)sinh23.627， 22x(z，5)，,1220.430.32 故 轨迹方程为 d,6.2m6.4 已知在水深为处的海面上设臵的浮标～由于波浪作用每分钟上下升 H,1.2m降12次～观察波高为～试求此波浪的波长、水底的流速振幅以及波动的压强变化振幅。 解: 按有限深度波计算 ,,,gd2ctanh,,T2,, 波速 第 23 页 共 26 页 12,1,,,,,，,221.26sf60 圆频率 22,,,,,T5s1.26 周期 , 9.8126.238.94,,，,,,,5tanh51.56tanh,,,,2,,,,, ,,30, 31, 32 取 ',,31.75; 32.08; 32.37 计算上式右边得 ,,32.6m 从作图法可知～上述超越方程的解 ,,32.6m 故 波长 2,,,,,k0.193m 波数 , 1AH,,，,0.51.20.6m02 波幅 Agcosh()kzd， 故速度势可写为 0,,,,sin()kxt coshkd, 0.69.81cosh[0.193(6.2)]，，z ,,sin(0.1931.26)xt1.26cosh(0.1936.2)， ，，，，,，,2.587cosh0.1936.2sin0.1931.26zxt，，,,，，u, x,z,,6.2水底流速 2.5870.193cosh0.1936.26.2cos0.1931.26 xt，，，，,，,，,，，，， 0.5cos(0.1931.26)xt,, mu,0.5As 水底流速振幅 压强分布应用略去高阶项的拉格朗日积分式 ,,ppz,,,,,,abat, ,,p,,z,,,,t 即 ,,2.5871.26cosh0.1936.2cos(0.1931.26)zxt,,，，,，,，，,,，，，，，，t, 由于 ,，,3 342cosh0.1936.2cos0.1931.26zxt，，，，，，，， ,,,,t 实际上 的变化振幅即为压强p的变化振幅 故 压强变化振幅 p,,，3 342cosh0.1936.26.2，，，，A，， ,3 342Pa 6.5设二维有限深度波动速度势为 第 24 页 共 26 页 coshkzd，，，Ag0,,,,sinkxt，，coshkd, ～ 求此相应流函数及复势表达式。 , 解:流函数可通过速度势～用柯西,黎曼条件求得 coshkzd，，，Ag,,,,0,,,,sinkxt,，，coshkdxz,,, 由 ～ coshkzd，，，Agk,,0,,coskxt,，，,zkdcosh, 得 sinhkzd，，，Ag0,,,,，cos,kxtfxt，，，，coshkd,故 sinhkzd，，，Agk,,,,0,,,,sinkxt,，，,,zxkdcosh,由 sinhkzd，，，Agk,,,f0,,,，sinkxt,，，,,xkdxcosh,而 ,f,0fft,，，,x故 ～ sinhkzd，，，Ag0,,,,coskxt，，coshkd,得 ggkdsinh2ckd,,tanh,,kckkkdcosh应用公式 ～及 Ag110,Ac0,coshsinhkdkd故 sinhkzd，，，,,,,Ackxtcos，，0sinhkd得 W,，,,i复势表达式为 coshkzd，，，Ag0,,,,sinkxt，，coshkd,而 coshkzd，，，,,,Ackxtsin，，0coshkd Ac0WZkzdkxtkzdkxt,，,，，,，，coshsinisinhcos,,，，，，，，，，，，，，sinhkd故 sinhkzd，，，Ac，，0,,,，,，,coshsincoskzdkxtkxt，，，，，，,,sinhikd,，， Ac0,，,，,，cosisincossinikzdkxtkxtkzd,,，，，，，，，，，，，，,,，，，，sinhkd Ac0,,，sin+i，，kxtkzd,，，，，，，sinhkd 第 25 页 共 26 页 Ac0,，，,sinii，，kxzdt,，，，，sinhkd Ac0,，,sinikZdt,，，，，，，sinhkd Zxz,，izZ 上式中 ,为复函数, ,6.6设有两层流体～下层流体,密度为,无限深～ ,,,d上层流体,密度为,深度为～并且有自由表d'ρ'面～在两层流体的分界面和上表面同时有重力波传xO,,ρ播～试求圆频率与波长的关系。 解:如图～将坐标平面取在两层流体的分界面上～ z轴垂直向上～则下层流体无限深水波的速度势为 kz,,,,Akxtecos，， a, ,习题.66图 对于上层流体～可从Laplace方程的通解～,,将速度势写成 kzkz,,,,,，,CDkxteecos，，，，b ,, z,0z 在分界面上～即～这两种流体在方向速度相等 ,,,,,,zz,, kzkzkz,AkkxtCkDkkxtecos(ee)cos,,,,,,，，，， 故 kzkzkzACDeee,,,,0z ACD,, 因而得 其次～由分界面上压强连续条件 ,,,,,,,gg，,，,,,,,,tt,, ,1,,,,,,,(),,,,gtt,,,,,，， 得 ,,,,,zt,, 由于对微幅波 22,,,,,,,,,g,,,,,,,，，22ztt,,, 故 ab 将 ,,,,式代入上式 kz,gAkkxt,,,ecos,,，，，， kzkzkz,22,,,,,,,,,,,,,,(ee)cosecosCDkxtAkxt，，，，，，，， kzkzkzkz22,,,gAkACD,,,,,,,,,,,ee(ee)，，z=0 222,,,gAkACDACD,,,,,,,,,,,,，,,，，，，，，，，，，， ,zd, 又由于在自由表面 有式 第 26 页 共 26 页 2,,,,,,1，,02,,zgt 即 1kzkzkzkz,,2CkDkkxtCDkxt,,，,，,,,,,(ee)cos(ee)cos0，，，，，，g ,zd, 将 代入上式 2,,,,,,,kdkdkdkdkCDCD(ee)(ee),,,g 得 ACD,, 从而可得到的3个方程～即 ,ACD,, ,2,,,,,,,ACDgAk,，,,，，，，，，,，，,,,,,kdkdkdkd,,2(ee)(ee)CDgkCD，,,,, 或 ,ACD0,，,,,222,,,，，,,,,,,,,gkACD0,,,,,,，，,，，,,,kdkd,22gkCgkDee0,，，,,,，，，，,, 上述方程为齐次方程组～只有满足 111, 222,,,,,,,,,,,gk,,,,,0，， ,,kdkd,22gkgk0ee,，,,，，，， 才有非零解。 展开上述行列式并整理得 ,,,,,,,kdkdkdkdkd4222,,,，，,,,,,,,,,,，，,，,,ee2eeegkgk，，，，，，，，，，，， ,0 2,,gk 从而解得 ,,2kd,,,,,1e，，，，2gk,,,,2kd,,e，，,，，，，,,,, 以及