【初三数学】相似三角形经典大题解析(含答案)（共10页）

【初三数学】相似三角形经典大题解析(含答案)（共10页） 相似三角形经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为，BABCBCBC6，C 锐角，为一动点(点与点不重合)，过点作，交于点，MABMMAB、MNBC?ACN 在中，设的长为，上的高为( x?AMNMNMNh(1)请你用含的代数式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示( xh (2)将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面A?AMNMN?AMNBCNM的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最xA?AMNBCNMyy11 大值为多少, 【答案】解:(1) MNBC? ？???AMNABC hx？, 68 3x ？,h4 (2) ???AMNAMN1 的边上的高为， ？?AMNMNh1 当点落在四边形内或边上时， A?BCNMBC1 11332=(0) yS,,x?4MNhxxx??,,?AMN12248 当落在四边形外时，如下图， A(48),,x?BCNM1 设的边EF上的高为， ?AEFh11 3则 hhx,,,,26612 EFMNAEFAMN????？11 ??????AMNABCAEFABC？11 2Sh,,?AEF11 ,,,6S,,?ABC 23,,x,6,,3122 ？,,，,,，Sxx 241224S,，，,6824,,?AEF?ABC1622,, ,, 339,,222 ySSxxxxx,,,,,，,,，,12241224??AMNAEF,,11828,, 92所以 yxxx,,，,,,1224(48)8 32综上所述:当时，，取， y,604,x?x,4yx,最大8 92当时，， 48,,xyxx,,，,12248 16取， y,8x,最大3 86, 16当时，最大， ？y,8yx,最大3 A M N B C E F A1 2(如图，抛物线经过三点( ABC(40)(10)(02)，，，，，,(1)求出抛物线的解析式; (2)P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，PMx,M为顶点的三角形与相似,若存在，请求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请?OAC 说明理由; 2【答案】解:(1)该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为( ？C(02)，,yaxbx,，,2 将，代入， A(40)，B(10)， 1,a,,，,16420ab，,,，,,2得解得 ,,5ab.，,,20,,b.,,,2 152此抛物线的解析式为( ？yxx,,，,222 (2)存在( 如图，设点的横坐标为， Pm 152则点的纵坐标为， P,，,mm222 当时， 14,,m 152，( AMm,,4PMmm,,，,222 又， ，,，,COAPMA90? AMAO2？?当时， ,,PMOC1 ， ???APMACO 15,,2即( 422,,,，,mmm,,22,, 解得(舍去)，( mm,,24，？P(21)，12 AMOC1152?当时，，即( ???APMCAO,,2(4)2,,,，,mmmPMOA222 解得，(均不合题意，舍去) m,4m,512 当时，( ？P(21)，14,,m 时，( 类似地可求出当P(52)，,m,4 当时，( P(314),,，m,1 综上所述，符合条件的点为或或( P(21)，(314),,，(52)，, 283(如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于lyx:216,,，Cll，、xlyx:,，212133 两点(矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且xll、AB、DEFGDE、FG、12 点与点重合( BG (1)求的面积; ?ABC (2)求矩形的边与的长; DEEFDEFG (3)若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动xDEFG 时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数tt(012)??DEFG?ABCSSt 关系式，并写出相应的的取值范围( t yl2 ly 1y D E C O B (G) F A x 28,40，(【答案】(1)解:由得点坐标为 xA,,？4(x，,0，，，33 80，(由得点坐标为 ,，,2160x，xB,？8(，，AB,,,,8412(? ，， 28,x,5，yx,，，,,由解得?点的坐标为 56，(C，，33,,y,6(,,yx,,，216(, 11? SABy,,，，,?(12636?ABCC22 28 (2)解:?点在上且 Dlxxy,,？,，，,，(8881DBD33 ?点坐标为 88，(D，， 在上且 又?点Eyyxx,,？,，,？,821684，((l2EDEE ?点坐标为 48，(E，， ? OEEF,,,,8448，( (3)解法一:当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形03?t,DEFG?ABC? (时，为四边形)(过作于，则MCHFGRt,0CHFGCCMAB, RtRt???(RGBCMB yyyll22l 2y ly y l1l1E 1E E D D D C C y y C y R R R M B O G M B A A F G O F x x B M A x G O F (图2) (图1) (图3) tRGBGRG?即? ,，RGt,2(,，36BMCM RtRt???，AFHAMC 112? SSSStttt,,,,,，，,,，,36288(，，，，???ABCBRGAFH223 416442即 Stt,,，，(333 282t当时，如图2，为梯形面积，?G(8,t,0)?GR=, 3,t,8(8,t)，,8, 333 1282t880? s,，4[(4,t)，，8,],,t，233333 212tt当时，如图3,为三角形面积， 8,t,12s,(8,)(12,t),,8t，48 233 4(如图，矩形中，厘米，厘米()(动点同时从点BABCDAD,3ABa,a,3MN， 出发，分别沿，运动，速度是厘米,秒(过作直线垂直于，分别1MABBA,BC, 交，于(当点到达终点时，点也随之停止运动(设运动时间为秒( MPQ，ANCDCtN (1)若厘米，秒，则______厘米; PM,a,4t,1 (2)若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比; a,5t???PNBPAD(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值aPQDAPMBN范围; (4)是否存在这样的矩形:在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯PQDAPMBN 的面积都相等,若存在，求的值;若不存在，请说明理由( 形aPQCN Q Q C C D D N P N P A A B B M M 3【答案】解: (1)， PM,4 (2)，使，相似比为 t,2???PNBPAD3:2(3)， PMABCBABAMPABC?，?，，,， PMAMPMattat,,()，即， ???AMPABC？,,,，PMBNABtaa ta(1), ？,,QM3a ()()QPADDQMPBNBM，，当梯形与梯形的面积相等，即 PQDAPMBN,22 tatt(),,,,,33(1)(),，,,，aattt,,,,6aaa,,,,化简得， t,,,6，a22 6a，，则， t?3aa?，?636？,？?36，a (4)时梯形与梯形的面积相等 PQDA36,a?PMBN ？梯形的面积与梯形的面积相等即可，则 PQCNPMBNCNPM,t6a，把代入，解之得，所以( ？,,,()3atta,,23a,23t,a6，a 所以，存在，当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等( PQDAPQCNaa,23PMBN 5(如图，已知?ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，解答下列问题: (1)当t,2时，判断?BPQ的形状，并说明理由; 2(2)设?BPQ的面积为S(cm)，求S与t的函数关系式; (3)作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，?APR??PRQ, 【答案】 解:(1)?BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以 0BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为?B=60,所以?BPQ是等边三角形. 0(2)过Q作QE?AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t?sin60=t,由AP=t,得PB=6-t, 3 3112所以S?BPQ=×BP×QE=(6-t)×t=,t+3t; 33222 000(3)因为QR?BA,所以?QRC=?A=60，?RQC=?B=60，又因为?C=60, 10所以?QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ?cos60=×2t=t, 2 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP?QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形, 00所以PR=EQ=t,又因为?PEQ=90,所以?APR=?PRQ=90.因为?APR,?PRQ, 3 6,2t6QR00所以?QPR=?A=60,所以tan60=,即,所以t=, ,3PR53t 6 所以当t=时, ?APR,?PRQ5 6(在直角梯形OABC中，CB?OA，?COA,90º，CB,3，OA,6，BA,35(分别以OA、 OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系( (1)求点B的坐标; (2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD,5，OE,2EB，直线DE交x轴于点F(求 直线DE的解析式; (3)点M是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N(使 以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形,若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请 说明理由( y M B C D E N x O A F (第26题 图1) M D .7(在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交 2 于点O，?1 = ?2 = 45?( (1)如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD O A B 1 的数量关系和位置关系; (2)将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到 N 图15-2，其中AO = OB( 图7-1 M 求证:AC = BD，AC ? BD; D (3)将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到 2 BDO 图15-3，求的值( A B AC1 C N 图7-2 M D 2 O A B 1 C N 图7-3 【答案】 解:(1)AO = BD，AO?BD; (2)证明:如图4，过点B作BE?CA交DO于E，??ACO = ?BEO( M 又?AO = OB，?AOC = ?BOE， D 2 AOC ? ?BOE(?AC = BE( ??E O B A 又??1 = 45?， ??ACO = ?BEO = 135?( 1 C F N 图4 ??DEB = 45?( ??2 = 45?，?BE = BD，?EBD = 90?(?AC = BD( 延长AC交DB的延长线于F，如图 4(?BE?AC，??AFD = 90?(?AC?BD( (3)如图5，过点B作BE?CA交DO于E，??BEO = ?ACO( 又??BOE = ?AOC ， ??BOE ? ?AOC( M D BEBO?( ,ACAO2 E 又?OB = kAO， A B BDO 1 由(2)的方法易得 BE = BD(?( C ,kAC图5 N 10(如图，已知过A(2，4)分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。 (1)经过多少时间，线段PQ的长度为2, (2)写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围; (3)在P、Q运动过程中，是否可能出现PQ?MN,若有可能，求出此时间t;若不可能，请说 明理由; (4)是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与?MON相似,若存在，求出此时间t;若不可 能，请说明理由; Y N A Q O P M X (本试题由冯老师数学工作室整理提供) 实用工具:常用数学公式 公式分类 公式表达式 乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|+|b| |a|?b<=>-b?a?b |a-b|?|a|-|b| -|a|?a?|a| 一元二次方程的解 -b+?(b2-4ac)/2a -b-?(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理判别式 b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注:方程没有实根，有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=?((1-cosA)/2) sin(A/2)=-?((1-cosA)/2) cos(A/2)=?((1+cosA)/2) cos(A/2)=-?((1+cosA)/2) tan(A/2)=?((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-?((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=?((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-?((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中R表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注: (a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注: D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r>0 扇形公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h