多自由度系统受迫振动的Stroh公式
多自由度系统受迫振动的 St ro h 公式
1 2 3 赵宝生,高阳,王敏中
( 1 . 辽宁科技大学 机械工程与自动化学院 ,辽宁 鞍山 114051 ;2 . 中国农业大学 理学院 ,
)北京 100083 ;3 . 北京大学 湍流与复杂系统国家重点实验室 ,北京 100871
摘 要 : St ro h 理论在弹性力学中应用非常广泛 ,尤其在平面问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
中经常被应用 。由于其本征方程与多自由
度振动的方程非常相似 ,本文利用 St ro h 理论的方法解决多自由度受迫振动的初值问题 。
关键词 : St ro h 理论 ;受迫振动 ;本征值 ;本征向量
() 中图分类号 :O321 文献标识码 :A 文章编号 :167224410 20060620581203
1 ,2 St ro h 理论自被提出以后 ,被广泛地应用在材料科学 、应用数学和物理学中 。在各向异性材料的
3 ,4 半无限条 、薄板 、压电材料的断裂 、夹杂等问题中。由于 Bar net t2Lot he 张量的关系 ,可以得到只与材 料的弹性常数有关的解 。
( ) ( 传统上 ,解决多自由度振动的问题时 ,需要事先找到系统的固有频率 特征值和固有振型 特征向 ) 量。然而 ,在弹性力学的 St ro h 理论中 ,虽然有与多自由振动相似的本征方程 ,但是通过 Bamet t2Lot he 张量 ,不需
要求
对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗
得系统的固有频率和固有振型 ,而直接获得结果 。
5 2005 年 ,赵宝生和王敏中根据 St ro h 理论 , 给出多自由度振动的 St ro h 理论和 Bamet t2Lot he 张 量 ,并利用该理论解答了多自由度系统自由振动的初值问题 。本文继续这方面的研究 ,利用 St ro h 理论 来研究多自由度受迫振动的问题 ,获得的解只与系统质量矩阵 、阻尼矩阵和刚度矩阵有关 ,而不需要先 求出频率和振型 。
51 多自由度振动的 St ro h 理论
n 维系统振动的齐次方程是
()M X?+ CXX+ KX = 0 1
T 如果 M 、C 和 K 都是 n ×n 正定的对称矩阵 ,任取一个满足 C = R + R 的矩阵 () R ,将式 1分解 ,并设 ωt( ) = X t a e ()2
() 代入式 1中 ,并利用指数函数值总大于零的性质 ,原方程变为 T 2 ω( ) ω(){ K + R + R + M } a 3 = 0
令 T ω) ( b = R + M a ()4
() 根据式 3可知 , b 还可以写成
1 ω) ( b = - K + Ra()5 ω
() () 式 4和式 5的矩阵形式是
- K 0 a R I a ()= ω 6 T0 b M - Rb I
的 I 是一个 n ×n 的单位矩阵 。
- 1 () 由于 M 是正定的对称矩阵 ,可逆 ,即 M 存在 ,所以可以找到式 6等号右侧矩阵的逆矩阵 ,有
- 1 0 M 0 R I I ()7 = - 1I M 0 0 - R MI
() () 7的第一个矩阵式左乘式 6,可得到
ξ ωξ() 8 N=
N N 12a ξ N = =T b N () N 9 13
- 1 T - 1 - 1 T N = - M R N = - M N = R M R - K 1 2 3
ω 对于小阻尼问题 ,没有实根 ,它们是成对的共轭复数 ,对应的 2 n 个相互正交的本征向量也成对
,可以将它们
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示为
Ω ωωω)Ωωωω)((()= diag ,, ?, 0 = diag , , ?, 10 1 2 n 1 2 n T T T ξ)( = a , b ()11 i = 1 ,2 , ?, n i i i
))( ( A = a , a , ?, a A = a , a , ?, a 1 2 n 1 2 n ()12 )( )B = b, b, ?, b ( B = b, b, ?, b 1 2 n 1 2 n
() () () 上述定义可以将式 3、式 4和式 8改写为 T Ω Ω ΩΩ ()KA + RA+ R A+ M A= 0 13 TΩ ()B = M AR A +14
N N Ω 0 1 2A A A A ()15 = T ΩN N 0 B B B B 3 15 多自由度系统的 St ro h 理论有 T T T T T T T T B A + = B A + = AB + AB = B A + B A = I A B A B ()16 T T T T T T T T B A + A B B A + A B AA + AA = BB + BB = = = 0
受迫振动的初值问题
多自由度系统自由振动的方程 λtT ()) ( KX = f e17 M X?+ R + R XX+ 的初值条件为
() () ()X 0= s XX= v 18 0程的解为 λT T t( ) ()X t = 2 Re A ZA ] g + 2 Re A ZB ] h + Df e19
ω ω ω t t t 2 n 1 ())(20 Z = diag e,e , ?,e
T 2 - 1 λ( ) λh 是两个待定的 n 维向量 ; D = { K + R + R + M } 。 根
() () () 据式 13,可以知道式 19满足方程 17。
() 根据式 15,可得
()Ω 21 A= NA + NB1 2
() () () () 将方程的解 19代入初值条件 18中 ,并根据等式 20和 21,有
T T ()22 s = 2 Re AA ] g + 2 Re AB ] h + Df
T T ()23 ΩΩλv = 2 Re AA ] g + 2 Re AB ] h + Df
() () 利用等式 15和 16解得 T T ()λ) ( h = s - Df 24 g = M v + R s - R + M Df
即 T T T λtT( ) λ) ( )()( X t = 2 Re A ZA ] [ M v + R s - R + M Df ] + 2 Re A ZB ] s - + Df e25 Df n () 将式 9中的 N 的 n 次幂 N 分块写成
( )( )n n N N 12n ()N = 26 ( )( )n n N N 34
5() ,式 25可以写成 利用多自由度系统振动的 St ro h 理论 ? ? ( ) ( ) λT T 1 1 nn nn t ( ) ( ) ()λ) ( X t = N Nt s - Df + Df e 27 t [ M v + R s - R + M Df ] +21? ? n ! n ! n = 0 n = 0
3 结 论
() 求解多自由度受迫振动的初值问题的传统方法都需要事先得到系统的固有频率 本征值和固有振 () ( ) 型 本征向量,而利用从 St ro h 理论获得的式 27,则省去了这个步骤 ,直接得到受迫振动初值问题的 解 。由此可以发现 ,St ro h 理论的应用非常广泛 ,它在各种领域的应用非常值得研究 。 参 考 文 献 :
1 S TRO H A N . Dislocatio n and cracks in anisot ro pic elasticit yJ . Phil Ma g ,1958 , 7 :625 - 646 . 2 T IN G T C T. Anist ro pic elasticity : Theory and applicatio nsM . New Yor k :Oxford U niversit y Press , 1996 .
() WAN G M Z , T IN G T C T , YAN G P. The anisot ropic elastic semi - infinite st rip J . Q A ppl Mat h ,1993 , 51 2: 283 - 3
297 .
GAO C F , WAN G M Z. Collinear permeable cracks bet ween dissimilar piezoelect ric materialsJ . Int J Solids and St ruct ure , 4
2000 , 4969 - 4986 .
5 () 赵宝生 ,王敏中 . 多自由度系统振动的 St ro h 理论 J . 鞍山科技大学学报 ,2005 ,28 2:84 - 87 .
Strohs’ f ormula in mult i2f reedom f orced vibrat ion systems
1 2 3Z HA O B ao2s hen g, GA O Y a n g, W A N G M i n2z hon g
( 1 . School of Mechanical Engineering ,U niversit y of Science and Technology Liao ning ,Anshan 114051 ,China ;
2 . College of Science ,China Agricult rual U niversit y ,Beijing 100083 ,China ;
)3 . State Key L abo rato ry Foe Turbulence and Co mplex Systems , Peking U niversit y ,Beijing 100871 ,China Abstract : The St ro hs’ t heo ry is widely used in mechanics of elasticity ,especially in plane p ro blems. Fo r it s eigenf unctio ns are similar wit h multi2f reedo m vibratio n equatio ns ,t he St ro h a t heo ry is extended to solve t he initial value p ro blems of multi2f reedo m fo rced vibratio n system.
Key words : St ro h’s t heo ry ;fo rced vibratio n ;eigenvalues ;eigenf unctio ns
( )Received July 10 ,2006