05第五部分隐函数微分法

05第五部分隐函数微分法 第五节 隐函数微分法 分布图示 ? 一个方程的情形(1) ? 例1 ? 例2 一个方程的情形(2) ? 例3 ? 例4 ? ? 例5 ? 例6 ? 例7 ? 例8 ? 例9 ? 方程组的情形 ? 例10 ? 例11 ? 例12 ? 例13 ? 例14 ? 内容小结 ? 课堂练习 ? 习题9—5 ? 返回 内容要点 一,一个方程的情形 定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数, 且P(x,y)F(x,y)00 ,0F(x,y),0,则方程 在点的某一邻域内恒能唯一F(x,y),0,P(x,y)F(x,y)y000000确定一个连续且具有连续导数的函数 它满足 并有 y,f(x),y,f(x),00 dyFx,,. (5.2) dxFy 定理2 设函数在点P(x,y,z)的某一邻域内有连续的偏导数, 且 F(x,y,z)000 F(x,y,z),0,F(x,y,z),0, 000z000则方程P(x,y,z)在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏F(x,y,z),0000 z,f(x,y)导数的函数,它满足条件,并有 z,f(x,y)000 F,zF,zyx,,,,,. (5.4) ,xF,yFzz 二,方程组的情形 F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)定理3 设在点P(x,y,u,v)的某一邻域内有对各个变量的0000连续偏导数,又 ,(F,G)J,GF(x,y,u,v),0,G(x,y,u,v),0, 且函数,雅可比行列式在点F00000000,(u,v) 不等于零,则方程组 P(x,y,u,v)0000 F(x,y,u,v),0, ,G(x,y,u,v),0, 在点的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 P(x,y,u,v)0000 u,u(x,y),v,v(x,y),它们满足条件 其偏导数公式由(5.9)和(5.10)给出. u,u(x,y),v,v(x,y),000000 ,(F,G),(F,G) ,(u,x),v,u,(x,v) , . (5.9) ,,,,,(F,G),(F,G),x,x ,(u,v),(u,v) ,(F,G),(F,G) ,(y,v),(u,y),u,v , . (5.10) ,,,,,(F,G),(F,G),y,y ,(u,v),(u,v) 例题选讲 一个方程的情形 22例1(E01) 验证方程在点(0, 1)的某邻域内能唯一确定一个有连续导数,x，y,1,0 x,0x,0当时的隐函数,求这函数的一阶和二阶导数在的值. y,1y,f(x) 22证 令则 F(x,y),x，y,1, ,2x,,0,,0,FF(0,1),2y, FF(0,1),2yyxx 22x,0(0,1)依定理知方程在点的某领域内能唯一确定一个有连续导数,当x，y,1,0 y,1y,f(x),时的隐函数函数的一阶和二阶导数为 Fxdydyx,0,,,,, yFdxdxyx,0 xy,x(,)22,dydy1y,xyy,,1.,,,, ,22232dxyydxyx,0 dydyxy例2 求由方程 所确定的隐函数的导数 xy,e，e,0y,.x,0dxdx 解 此题在第二章第六节采用两边求导的方法做过,这里我们直接用公式求之. xy令则 F,xy,e，e, yx,x，e, FF,y,e,yx xFe,ydyx ,,,,yFx，edxy x,0由原方程知时,所以 y,0, xdye,y,1. ,ydxx，ex,0x,0y,0 ,z33例3 求由方程 是常数)所确定的隐函数的偏导数和z,f(x,y)z,3xyz,a(a,x ,z. ,y 332,,,3xz,,,F解 令则显然都是连,,3yz,FFF(x,y,z),z,3xyz,a,,3z,3xy.yxz 2,,0续.所以,当时,由隐函数存在定理得 F,3z,3xyz ,Fyz,3yz,zx, ,,,,22,F,x3z,3xyz,xyz ,F,zxz,3xzy,, .,,22,,yF3z,3xyz,xyz 2,z222.例4(E02)设 求 x，y，z,4z,0,2,x 222解 令则 F(x,y,z),x，y，z,4z, ,2x,,2z,4, FFxz ,zx(2,z)，x(2,z)，x,222F,z(2,z)，xx,zx,x2,z,,,. ,,？,,2322F,x,x(2,z)2,z(2,z)(2,z)z 注:在实际应用中,求方程所确定的多元函数的偏导数时,不一定非得套公式,尤其在方程 中含有抽象函数时,利用求偏导或求微分的过程则更为清楚. ,z,x,y,,.z,f(x，y，z,xyz),例5(E03)设 求 ,x,y,zzx解 看成的函数对求偏导数得 x,y ,z,z,,,,,z1,f,，，f,yz，xy ,,,,uv,x,x,x,,,, f，yzf,zuv,, 1,f,xyf,xuv 把看成的函数对求偏导数得 xz,yy ,,,,,x,x0,,,, ,f,，，f,xz，yz1uv,,,,,y,y,,,, f，xzf,xuv,, ,yf，yzfuv 把看成的函数对求偏导数得 x,zzy ,y,y,,,,1,f,，，f,xy，xz ,,,,1uv,z,z,,,, ,f,xyf1,yuv,. f，xzf,zuv ,,例6(E04)设其中F具有连续偏导数,且求证F,F,0,F(x,y,y,z,z,x),0,23 ,z,z ，,1.,x,y 证 由题意知方程确定函数在题设方程两边取微分,得 z,z(x,y). ,0,,d0 dF(x,y,y,z,z,x) ,,,即有 Fd(x,y)，Fd(y,z)，Fd(z,x),0.123 ,,, F(dx,dy)，F(dy,dz)，F(dz,dx),0.123 ,,,,,,合并得 (F,F)dx，(F,F)dy,(F,F)dz,132123 ,,,,F,FF,F1321,dx，dy,dz解得 ,,,,F,FF,F2323 ,,,,F,FF,F,z,z1321,,,,从而 ,,,,F,F,yF,F,x2323 ,,,z,zF,F23，,,1.于是 ,,,x,yF,F23 222,z,z,zz,,.例7 设方程 确定了隐函数z,z(x,y),,求 x，y，z,e22,x,y,x,y x解 方程两边分别对求偏导和对求偏导,得 y ,,zz,,zzzz1，,e.，, 1e,,,yx,,xx z,z1,1,.,,所以 zz,ye,1x,e,1 2zz,,z,ze1e1,z,,z, ,,e,,,,,.,,22zz2zz3,x,x,x,x(e,1)(e,1)e,1e,(1),, z2e,z同理 ,,.2z3,ye,(1) 333例8 设而是由方程所确定的的函数,u,f(x,y,z),xyz,zx，y，z,3xyz,0x,y ,u求 .,x ,z,f,f,z,u22232解 将看作的函数,所给的方程两边对,xyz，xyzx,，zx,y32,,x,z,x,x,x 求偏导数得 ,z,z22 3x，3z,3yz,3xy,0,,x,x 2yz,x,z即 ,.2,xz,xy 2yz,x,u22232 于是 ,xyz，xyz,32.2,xz,xy 2y例9 设 由方程 确定,其中u,f(x,y,z),y,sinx,z,z(x,y),(x,e,z),0 ,,duf,具有一阶连续的偏导数,且 求 ,,0,.dx,z 2y解 因y,sinx,z,z(x,y)由确定,故 ,(x,e,z),0 ,f,,,f,z,z,fdu，,cosx,,，，,cosx ,,1,,,y,z,x,ydx,x,, ,, ,,,2x,z1,x,,,,, ,,,,,x3 ,z y,,,e,z,,2,,,(其中 ,,0),3,,y,,z3 于是 y,,,,x，ex,2cos,f,f,fdu12，,cosx,,. ,,,y,,zdx,x3 222,u，v,x,y,0,,x,y例10(E05)设 求 ,.,,u,uuvxy,，,，1,0,, 解 由题意知,方程组确定隐函数组 x,x(u,v),y,y(u,v). 在题设方程组两边对求偏导,得 u ,x,y,x,y 2u,2x,,,0,,1,,y,x,0.,u,u,u,u利用克莱姆法则, 解得 xu，212x，2yu,x,y ,,.,,22,u,ux,y2x,y2 xu,yv,0,,,u,v,v,u.例11(E06)设求, ,,,,y,xyu，xv,1,,y,x, 解一 由题意知, 方程组确定隐函数 u,u(x,y),v,v(x,y).在题设方程组两边取微分,有 xdu，udx,ydv,vdy,0, .,ydu，udy，xdv，vdx,0, du,dv把看成未知的,解得 1du ,[,(xu，yv)dx，(xv,yu)dy],22x，y ,uxu，yv,uxv,yu即有 ,, ,.2222,x,yx，yx，y dv,同理, 我们还可以求出从而得到 ,vyu,xv,vxu，yv, ,,,.2222,x,yx，yx，y 注: 此题也可用公式法求解. 解二 用公式推导的方法, 将所给方程的两边对求导并移项得 x ,u,v,x,y,,u,x,y22,x,xJ, ,,x，y,,,u,vyx,y，x,,v,x,x, J,0在的条件下,有 x,u,u,y y,v,vxxu，yvyu,xv,u,v,,,,,,, 2222x,yx,y,xx，y,xx，y yxyx 将所给方程的两边对求导, 用同样方法得 y ,u,vxu，yvxv,yu ,,,,.2222,y,yx，yx，y 2y例12 设其中具有连续的偏导数且,f,u,f(x,y,z),,(x,e,z),0,y,sinx, du, 求 .,,0,3dx 解 由题意知,题设方程组隐含函数组在方程两端对 y,y(x),z,z(x),u,f(x,y,z)x 求导,得 dydzdu (1) ,,,,f，f，f.xyzdxdxdx 又由方程知 y,sinx dy (2) ,cosx.dx 2y再在方程两边对求导,得 x,(x,e,z),0 dydzy,,, ,,2x，,,e,，,,,0,123dxdx 1dzy,,,,(2x,，e,cosx).解得 (3) 12,,dx3 把(2),(3)代入(1),即得 ,fduyz,,,,,f，fcosx,(2x,，,ecosx). 12xy,,dx3 注: 此题也可以利用多元函数的一阶微分形式不变性及微分的四则运算方便地计算出, 请读者试之. 例13(E07)在坐标变换中我们常常要研究一种坐标与另一种坐标之间的关(x,y)(u,v) 系. 设方程组 x,x(u,v),, (5.14) ,y,y(u,v), 可确定隐函数组 称其为方程组(5.14)的反函数组. 设u,u(x,y),v,v(x,y), 具有连续的偏导数,试证明 x(u,v),y(u,v),u(x,y),v(x,y) ,(u,v),(x,y),,1.,(x,y),(u,v) u(x,y),v(x,y)证 将代入(1),有 x,x[u(x,y),v(x,y)],0,, ,y,y[u(x,y),v(x,y)],0, x在方程组两端分别对和求偏导,得 y ,,,,xuxv0,,,0,,,,,1,,,0xuxv,uyvy,uxvx和 .,,,,,,,,,,yuyv0,,,0yuyv1,,,0,uyvyuxvx,, ,,,,xuxv，,0,,,,,,,1xuxv,uyvy,uxvx即 .,,,,,,,,,,yuyvyu，yv,0，,1,uyvyuxvx,, ,,,,,,,,,,ux，vxuy，vyuv,,xy10xuxvxuxvxxuu由 ,,,,1,,,,,,,,,,ux，vxuy，vyuv,,xy01yyyuyvyuyvvv ,(u,v),(x,y),,1. 证毕. ,(x,y),(u,v) dxdy,,1.注: 此结果类似于一元函数反函数的导数公式 dydx 推广到三维情形: 若确定反函数组 x,x(u,v,w),y,y(u,v,w),z,z(u,v,w) u,u(x,y,z),v,v(x,y,z),w,w(x,y,z). 则在一定条件下,有 ,(x,y,z),(u,v,w),,1. ,(u,v,w),(x,y,z) 2,u,u(x,y),x,,u，v,,u,v,u,v,例14(E08)设方程组确定反函数组 求 ,,,.,,2v,v(x,y),,x,x,y,y,y,u，v,, u,u(x,y),解 由在题设方程组两边对求偏导,得 ,x,v,v(x,y), ,u,v,1,,2u,，,,x,x ,,u,v,0,，2v,x,x, 1,2v,u,v解得 ,,,.,x,x4uv，14uv，1同理, 在题设方程组两边对求偏导, 可得 y ,u,v12u ,,,.,y,y4uv，14uv，1 课堂练习 ,z,zxy,,,x，y1.设其中为可微函数, 求. ,,,,,,x,yzz,, 322z,z(x,y)2.设其中为由方程 f(x,y,z),xyz, 333 x，y，z,3xyz,0 ,所确定的隐函数, 试求 f(,1,0,1).x dy3.设而t是由方程所确定的的函数, 试求 y,f(x,t),F(x,y,t),0x,y.dx