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考点23 等差数列及其前n项和
一、选择题
1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ7）设等差数列
的前
项和为
，若
,
,
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【解题指南】利用
，求出
及
的值，从而确定等差数列
的公差，再利用前
项和公式求出
的值.
【解析】选C.由已知得，
,
，因为数列
为等差数列，所以
，又因为
，所以
，因为
，所以
，又
，解得
.
2.（2013·安徽高考文科·Ｔ7）设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，
，则a9=（ ）
A.-6 B.-4 C.-2 D.2
【解题指南】利用等差数列的前n项和公式及通项公式求出首项及公差。
【解析】选A。由
，联立解得
，所以
。
3. （2013·辽宁高考文科·Ｔ4）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ4）相同
下面是关于公差
的等差数列
的四个命题：
数列
是递增数列；
数列
是递增数列；
数列
是递增数列；
数列
是递增数列；
其中的真命题为（ ）
【解题指南】借助增函数的定义判断所给数列是否为递增数列
【解析】选D.
命题
判断过程
结论
数列
是递增数列
由
知数列
是递增数列
真命题
数列
是递增数列
由
，仅由
是无法判断
的正负的，因而不能判定
的大小关系
假命题
数列
是递增数列
显然，当
时，
数列
是常数数列，不是递增数列，
假命题
数列
是递增数列
数列的第
项减去数列的第
项
所以
即数列
是递增数列
真命题
二、填空题
4. （2013·重庆高考文科·Ｔ12）若2、
、
、
、9成等差数列，则
．
【解题指南】可根据等差数列的性质直接求解.
【解析】因为2、
、
、
、9成等差数列，所以公差
,
.
【
答案
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】
5．（2013·上海高考文科·T2）在等差数列
中，若a1+ a2+ a3+ a4=30，则a2+ a3= .
【解析】
【答案】 15
6. （2013·广东高考理科·Ｔ12）在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=
【解题指南】本题考查等差数列的基本运算,可利用通项公式和整体代换的思想求解.
【解析】设公差为d,则a3+a8=2a1+9d=10,3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.
【答案】20
7.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T16)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为 .
【解题指南】求得Sn的
表
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达式,然后表示出nSn,将其看作关于n的函数,借助导数求得最小值.
【解析】由题意知:
解得d=
,
a1=-3,所以
即nSn=
,令f(n)=
,
则有
令f'(n)>0,得
,令f'(n)<0,得
又因为n为正整数,所以当n=7时,
取得最小值,即nSn的最小值为-49.
【答案】-49
8.（2013·安徽高考理科·Ｔ14））如图，互不相同的点A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分别在角O的两条边上，所有
相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等。设
若a1=1,a2=2则数列
的通项公式是_______
。
【解题指南】利用三角形的面积比等于相似比的平方得到等式关系化简求解.
【解析】
由题意可得
：
即
两式相加得
，所以数列
是公差为
的等差数列.故
，即
【答案】
三、解答题
9. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ17）等差数列
中，
（
）求
的通项公式；
（
）设
【解题指南】（
）根据条件中给出的特殊项求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式
求出
的通项公式.
（
）将（
）中
的通项公式代入到
中,采用裂项相消法求和.
【解析】（
）设等差数列
的公差为
，则
.
因为
，所以
，解得
.
所以
的通项公式为
.
（
）因为
所以
.
10.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ17）等差数列
的前
项和为
的
通项式.
【解析】设
的公差
为
，由
，得
，故
或
.
由
，
，
成等差数列得
.
又
，
，
.
故
.
若
，则
，解得
，此时
，不符合题意.
若
，则
，解得
或
.
因此
得通项公式为
或
.
11.（2013·安徽高考文科·Ｔ19） 设数列
满足
,且对任意n∈
，函数
，满足
。
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
求数列
的前n项和
。
【解题指南】（1）由
证得
是等差数列；（2）求出
的通项公式
，利用等差、等比数列的求和公式计算。
【解析】（1）由题设可得，
，对任意n∈
，
，即
为等差数列.由
解得
的公差d=1，所以an=2+1·(n-1)=n+1.
（2）由
知，
。
12. （2013·湖北高考文科·T19）已知
是等比数列
的前
项和，
，
，
成等差数列，且
.
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数
，使得
？若存在，求出符合条件的所有
的集合；若不存在，说明理由．
【解题指南】（Ⅰ）由条件
，
，
成等差数列和
列出方程组，解
出首项和公比，运用等比数列通项公式得出
的通项公式。（Ⅱ）假设存在正整数
，使得
，解不等式，求n的解集。
13. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ17）已知等差数列
的公差不为零，
，且
成等比数列。
（1）求
的通项公式；
（2）求
；
【解题指南】(1)设出公差d,
利用
成等比数列，求得d，可得通项公式
（2）发现
构成新的等差数列，确定新数列的公差与项数，然后利用公式求和.
【解析】(1)设
的公差为
.由题意，
，
即
.
于是
.
又
所以
（舍去），
故
（2）令
，
由（
1）知
故
是首项为25,公差为-6的等差数列.从而
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