求函数极限的方法 毕业论文

求函数极限的方法 毕业论文 JISHOU UNIVERSITY 求函数极限的方法 题 目: 作 者: 学 号: 所属学院: 专业年级: 指导教师: 职 称: 完成时间: 独创性声明 本人郑重声明:所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 论文题目: 作者签名: 日期: 年 月 日 论文版权使用授权 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 本人完全了解吉首大学有关保留、使用学位论文的规定，即:学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意吉首大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 (保密的学位论文在解密后应遵守此 协议 离婚协议模板下载合伙人协议 下载渠道分销协议免费下载敬业协议下载授课协议下载 ) 论文题目: 学生签名: 日期: 年 月 日 导师签名: 日期: 年 月 日 目 录 摘 要…………………………………………………………………………………...….....1 Abstract…………………………………………………………………………………...........1 1 引 言……………………………………………….……………………………….........2 2 求函数极限的方法…………………………....…………………………..........................2 2.1 利用定义求极限.........................................................................................................2 2.2 利用迫敛性求极限.....................................................................................................4 2.3 利用归结原则求极限.................................................................................................4 2.4 利用洛比达法则求极限.............................................................................................5 2.5 利用泰勒公式求极限.................................................................................................7 2.6 用导数的定义求极限.................................................................................................8 2.7 利用定积分求极限.....................................................................................................9 2.8 利用级数收敛的必要性求极限...............................................................................10 2.9 利用Stolz公式求极限...........................................................................................10 3 总结.......................................................................................................................................13 参考文献……………………………………………………………………………………...13 求函数极限的方法 欧阳枭 ( 吉首大学数学与统计学院， 湖南吉首 416000 ) 摘 要:函数极限是高等数学的重要组成部分，它是微积分的理论基础，所以求函数极限成为这一 部分的重中之重.灵活掌握函数极限的求法是学好高等数学的基础.函数的极限有很多种求法，比如: 利用函数极限的定义、利用泰勒公式、利用洛必达法则、利用级数收敛性、利用Stolz公式等. 关键词: 函数极限; 洛必达法则; 泰勒公式; 级数收敛性; Stolz公式. The Counting Methods of Function Limit Ouyang Xiao ( College of Mathematics and Statistics, Jishou University Jishou Hunan 416000 ) Abstract: Function limit which is an important part of advanced mathematics, is the theoretical basis of calculus, Therefore, counting the function limit is a top priority for it. The flexibility to master the counting methods of the function limit is the foundation of learning advanced mathematics well. There are various ways to counting the function limit, such as using the definition of function limit, the Taylor's formula, the L'Hopital's rule, the series convergence, the Stolz formula and so on. Key words: The function limit; the L'Hopital's rule; the Taylor's formula; the series convergence; the Stolz formula 1 1 引言 在自然科学、工程技术，甚至某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念，从小 既然函数在数学学习学开始我们就已经接触到了函数，函数贯穿了我们整个的学习时段.中处于核心地位，那么我们用什么方法来研究函数呢,这个方法就是极限.在数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 与 微积分学中，极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握 本文将通过一些典型例题来讨好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.论求函数极限的方法. 2 求函数极限的方法 2.1 利用定义求极限 [4]a，， 定义2.1.1(x趋于时的函数极限) :函数在点的空心邻域内有定fxx,a义，是一个确定的数，若对任意的正数，存在，使得当时，0 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 如何根据定义来求这种函数极限，我们要特别注意的值是如何确定, ,的，它和有什么关系. ()例2.1.1 证明 lim2x+2=4x?1 ()2x+2,4=2x,1,,0， ,成立， 证: ?, ,解得 , x,12 ,,?x:x,1取于是存在0 ,, , ,,,=,,,22 (),2x+2,4有, ()故 lim2x+2=4x?1 2 ,,注:一般的取值要依赖于，但它不是由唯一确定的.在上例中还可以把取得,,更小一些，这取决于函数式放缩的程度. [4])[定义2.1.2(趋向时的函数极限):设为定义在上的函数，为定值，xf,a,+?A (),若对任给正数，存在正数(?a)使得当x,时有 ,,.则称函数f当fx,AMM ()()()，,x,时以为极限，记作或. fx?Ax?+?Alimfx=Ax?+? Mx趋向于时的函数极限的定义与定义2.1.2相似，只要把定义中的x,改为,, x<,M即可. 下面同样举例说明用定义求这种函数极限的方法. 2n,n+11例2.1.2 证明 = lim2n?+?33n+2n x分析 这是一个关于自变量n趋向于无穷大的函数极限，n相当于定义中的，先将函数式适当放大，再根据函数定义求证函数极限. 2nnn,，,1153 证: ， ,,22323nn，332nn，，， 223n+2n>3n,3n>0 当 ， nn,,,2,530, 2nnn,,，115515 有 ,?,,， 223239nnnn，333nn,，， ,，，,1，,?,>0 ， ,,Nmax2,,,,,，，, 2nn,，11n>N,,,, 当时，有 2323nn， 2n,n+11 故 lim= 2n,，,3n+2n3 注 1 在上式中运用了适当放大的方法，这样求解比较简便.但要注意这种放大必 ,须要“适度”，这样才能根据给定的来确定N，同时要注意此题中的N不一定非要是整数，只要是正数即可. 注 2 函数在所求点的极限与函数在此点是否连续无关，函数极限表示的是自变量 3 趋向某点时函数值的变化规律. 2.2 利用迫敛性求极限 [4]0我们常说的迫敛性或夹逼定理:若有且，，,x,Ua,，，，，，，fx,gx,hx, 则. ，，，，，，limfx,limhx,b.limgx,bx,ax,ax,a n12,,lim，，...， 例 2.2.1 求极限 ,,222n,,nnnnnnn，，1，，2，，,, nkk,, 分析: 即C,，易知关于单调递增. k,,,n22n，n，kn，n，k,,,1k 2nn,C, 即得 n22n，n，1n，n，n 当，上式左、右两端各趋于0和1，似乎无法利用迫敛性，原因在于放n,，,时 缩太过粗糙，应寻求更精致的放缩. nk 解: 对各项的分母进行放缩，而同时分子保持不变. 就得如下不等,2n，n，k,1k 关系: nnn，1kknn，1，，,,C,, ,,n222，，，，2n，2n，n，nn，n，12n，n，1,,11kk 1 令，上式左、右两端各趋于，得 n,，,时2 12n1,,lim...，，，, ,,222n,,nn1nn2nnn2，，，，，，,,2.3 利用归结原则求极限 0[4]Ux;',flimfx归结原则 设在内有定义，存在的充要条件是:对任何含，，，，0xx,0 0xUx;',于且以为极限的数列，极限都存在且相等( limfxx，，，，,,00nn,,n n11,,lim1，，例 2.3.1 求极限 ,,2,,nnn,, 4 2x，1xx，1x，1,,分析: 利用复合函数求极限，令，求解( ux,，1vx,，，，，,,2xx,, 2x，1xx，1x，1,,解: 令 ux,，1，则有 vx,，，，，,,2xx,, ;， limuxe,lim1vx,，，，，x,，,x,，, 由幂指函数求极限公式得 x11vx，，,,， uxe，，,,lim1lim，，,,2,，,,，,xxxx,, 故由归结原则得 nx1111,,,, elim1lim1，，,，，,,,,,22,,,，,nxnnxx,,,, ，xx,注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于，0 ,xx,，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形x,，,x,,,0 式( x注 2 若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都limfxx，，,,0nn,,n ''''"xxx以为极限的数列与，使与都存在而不相等，则不limfxmilfxlimfx，，,,,,，，，，0nnnnxx,n,,n,,0 存在( 2.4 利用洛比达法则求极限 0,洛比达法则一般被用来求型不定式极限及型不定式极限(用此种方法求极限要0, 0x的空心邻域内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零( 求在点Ux，，00 1cos，xlim 例 2.4.1 求极限 2x,,tanx 2 解: 由于，且有 lim1coslimtan0，,,xx，，xx,,,, 22tan'2tansec0xxx,,1cos'sin，,,xx，， ，，，，由洛比达法则可得: 5 1cos，x lim2x,,tanx ,sinx ,lim2x,,2tansecxx 3,,cosx,,lim ,,x,,2,, 1 ,2 xe例 2.4.2 求极限 lim3,，,xx xx32x3 解: 由于，并有，， ee',xx'30,,limlimex,,，,，，，，,，,,，,xx 由洛比达法则可得: xxee ， limlim,32,，,,，,xx3xx x2fxe,gxx,3 由于函数，均满足洛比达法则的条件，所以再次利用洛比达法，，，， 则: xxxxeeeelimlimlimlim,,,,，, 32,，,,，,,，,,，,xxxx366xxx fx'，，0,注 1 如果仍是型不定式极限或型不定式极限，只要有可能，我们limxx,0gx'0,，， fx'，，x可再次用洛比达法则，即考察极限是否存在，这时和在的某邻limfx'gx'，，，，0xx,0gx'，， 域内必须满足洛比达法则的条件( fx'fx，，，，lim注 2 若lim不存在，并不能说明不存在( xx,xx,00gxgx'，，，， 注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极 xx，sin,lim1,限，其次是否满足洛比达法则的其他条件(比如这个简单的极限虽然是x,,x, xxx，，sin1cos型，但若不顾条件随便使用洛比达法则，就会因右式的极限不limlim,xx,,,,x1 6 存在而推出原极限不存在的错误结论( 2.5 利用泰勒公式求极限 对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛比达法则更为方便，下列为 [4]常用的展开式: 2nxxxne,1，x，，？？，，o(x)1、 2!n! 352n,1xxxn12n,sinx,x,，，？？，(,1)，o(x)2、 3!5!(2n,1)! 242nxxxn2n，1cosx,1,，，？？，(,1)，o(x)3、 2!4!(2n)! 2nxxn,1nln(1，x),x,，？？，(,1)，o(x)4、 2n (,1)(,1)(,n，1),,,,？,,2nn5、 (1，x),1，x，x，，x，o(x)？,2!n! 12nn6、 , 1，x，x，？？，x，o(x)1,x no(x)上述展开式中的符号都有: nox() lim,0nx,0x 2x2ex，cos ,2 例 2.5.1 求极限 lim4,x0x 0x?0分析:当时，此函数为型未定式，满足洛必达法则求极限.若直接用洛必0 达法则就会发现计算过程十分复杂，稍不注意就会出错.先用泰勒公式将分子展开，再 求极限就会简洁的多. 224,xxx42,1，，，()e ;x,,28,解: 24xx,4cos,1,，，()x ;x,2!4!, 7 24xx42e，cosx ,2,，;(x)因此 6 4xx24(x)，;2ecosx21，, 6limlim,,所以 44x,x,00xx62.6 用导数的定义求极限 [7]xyfx,:设函数在点处可导，则下列式子成立: 常用的导数定义式，，0 fxfx,，，，，01(， 'limfx,，，xx,0xx,0 fxhfx，,，，，，00'lim2(( fx,，，0h,0h ,,,,xxxx其中是无穷小，可以是，的函数或其他表达式( h,x，，0 2xpp，,pq,,0,0例 2.6.1 求极限 lim，，2x,0xqq，, 0x,0 分析 此题是时型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去0 分母中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解(但在学习了 导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解( 22解: 令， 则 fxxp,，gxxq,，，，，， 2xpp，, lim2x,0xqq，, fxf,0，，，， x,0 ,limx,0gxg,0，，，， x,0 f'0，，, g'0，， 8 q, ( p 2.7 利用定积分求极限 [7] 由定积分的定义知，若在上可积，则可对用某种特定的方法并取fxab,ab,，，,,,, 特殊的点，所得积分和的极限就是在上的定积分(因此，遇到求一些和式的fxab,，，,,极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限(这是求和式极 限的一种方法( ，，111 例 2.7.1 求极限 nlim，，？？，,,222n,,nnnn12，，，，，，，，，,,，， 解: 对所求极限作如下变形: ，，111 nlim，，？？，,,222n,,nnnn12，，，，，，，，，,,，， ，， ,,1111,, lim ,，，？？，,222n,,,,n12n,,,,,,111，，，,,,,,,,,nnn,,,,,,，， n11,, lim( ,2,,nni,1i,,，1,,n,, 1fx,不难看出，其中的和式是函数在区间上的一个积分和，所以有 0,1，，,,21，x，， ，，111 nlim，，？？，,,222n,,nnnn12，，，，，，，，，,,，， 11,dx 2,01，x，， 11,，dx1 ，，2,01，x，， 11,,, 01，x 9 1 ,2 2.8 利用级数收敛的必要性求极限 ? uu 给出一数列，对应一个级数，若能判定此级数收敛，则必有.由limu=0?nnnx??n=1 于判别级数收敛的方法较多，因而用这种方法判定一些以零为极限的数列极限较为方便. n2!n求lim 例 2.8.1 nn,,n ?n2!nuu,解:设，则级数为数项级数. ?nnnnn=1 nn，1u2(1)!nn，n，1由比值审敛法: limlim,nn，1nn,,,,unn(1)2!，n n1n ,lim2(),lim2,,n,,n1，1nn(1)，n 2=<1 e n,2!n所以 收敛， ,nn1n, n2!nlim0,所以 nn,,n 2.9 利用Stolz公式求极限 Stolz公式和洛必达法则是求极限的有效方法，它们分别适用于数列和函数的情形.对于一些分子分母为求和式的比式极限题目用通常方法进行证明是非常麻烦的，但是用此定理就非常的简单了，而用此定理可使分子分母中的很多项消去从而简化计算，应用比较方便.首先介绍一下此定理: ,[4]xyxStolz 定理1():已知两个数列,,、{},数列{}严格单调上升，而nnn, 10 y,yynn，1nx且,+,，当,+,,=,其中为有限数或为，,或,,则,nlimlllimnn,，,n,，,xx,xnn，1n; l 0[4]xyyx,,,Stolz 定理2():已知两数列{}、{}，0当n+;数列{}nnnn0 y,yn，1nx,,严格单调下降而且,0当n,+;= ，其中为有限数或为，或,limllnn,，,x,xn，1n ynlim,l,,则 n,，,xn Stolz 定理的函数形式: ,[4]Stolz定理3(型):若T>0为常数， , 01) ，，,, gx，T?，，gx ,,,,，，,，，，，xfxfxgx2) +,当+且,在[a, +]内闭有界，即b>a,， ,，，，，gxgx 在[a ,b]上有界， f(x，T),f(x)3) ,. limlx,，,g(x，T),g(x) f(x)则, limlx,，,g(x) 0[4]Stolz 定理4():若T>0为常数， 0 <01)0，， ， gx，T?，，gx ()，，gxfx2) =0, =0， limlimx?+?x,，, f(x，T),f(x)3) ,. limlx,，,g(x，T),g(x) fx()，,l,l,,则,其中,或有限数或 limx,，,gx() 11sss，，？，12n2nlim例 2.9.1 设求 lims,sn,,n,,nlnn 11 ，,证明: 因为,,单调递增且趋于 lnn 1sn，1sn，n，11,,又 limlimsnn????1，,ln(1)lnnn，ln(1)n 故由Stolz定理知: 11sss++？+12n2ns= lim??nlnn ，,，,，，,例2.9.2 若fx在(a,)内有定义，而且内闭有界，即任意[](a,), ,,,，，fx在[]上有界，则 ,,, f(x)，，fx1),[，， - ] fx，1limlimx,，,x,，,x 1f(x，1)x，，，，fxfx2) ()= ,其中(>c>0). limlimx,，,x,，,f(x) ，，，，，，gxxfxgx证明:1)从题意知 令=,则,都符合定理的条件，令T=1所以可以直接套用定理， f(x+1),f(x)f(x)，，fx,,[，， - ], fx，1limlimlimx,，,x,，,x,，,x+1,xx 11x，，，，fxlnfx2) 令y=(),则=, lnyx f(x，1)lnf(x，1),lnf(x)1，，lnfx== ,， lnylimlimlimlnx,，,x,，,x,，,x，1,xf(x)x f(x，1)y,由的连续性，所以 = limylimlnxx?+?x,，,f(x) 得证. 从上可以看出利用Stolz定理求极限的形式是非常有规律的，我们要善于发现式子 的规律，但应具体问题具体分析，关键是发现所要求极限式的特点. 12 3 总结 本文比较全面地总结了求函数极限的方法，包括利用函数极限的定义、利用迫敛性、利用归结原则、利用洛比达法则、利用泰勒公式、利用导数的定义、利用定积分、利用级数收敛的必要性、利用Stolz公式，从而帮助我们解决求各类函数极限过程中所遇到的问题.对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点，但需要注意的是，实际求函数极限时并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用. 参考文献: [1] 龚思德、刘序球、张广梵.微积分学习指导[M].天津:南开大学出版社.1997. [2] 丁家泰.微积分解题方法[M].北京:北京师范大学出版社.1981. [3] 朱匀华.微积分入门指导与思想方法[M].广州:中山大学出版社.1986. [4] 华东师范大学数学系.数学分析(上册、下册)[M].北京:高等教育出版社.1997. [5] 温启军(高等数学教学的几点思考[J].长春大学学报.2003:13(5)，19,20. [6] 陈刚、米平治.关于高等数学中极限思想的研究[J].工科数学.2001:17(3)，69,71. [7] 杜吉佩、李广全(高等数学[M].北京:高等教育出版社.2005. [8] 胡适耕.大学数学解题艺术[M].长沙:湖南大学出版社.1982. [9] 夏滨.利用洛比达法则求函数极限的方法与技巧探讨[J].现代企业教育杂志.2008. [10] 蒋志强.函数极限的几种特殊求法[J].牡丹江教育学院学报.2009:5，122,123. 13