定积分的元素法
第六章 定积分的元素法
定积分是求某种总量的数学模型，它在几何学、物理学、经济学、社会学等方面都有着
广泛的应用，显示了它的巨大魅力. 也正是这些广泛的应用，推动着积分学的不断发展和完
善. 因此，在学习的过程中，我们不仅要掌握计算某些实际问题的公式，更重要的还在于深
刻领会用定积分解决实际问题的基本思想和方法——微元法，不断积累和提高数学的应用能
力.
第一节 定积分的元素法
内容分布图示
? 面积表为定积分的步骤
? 定积分的微元法
? 内容小结
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讲解注意:
在应用学科中广泛采用的将所求量(总量)表示为定积分的方法——微元法，这个U
方法的主要步骤如下:
一、 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如为积分变量，并确定x它的变化区间，任取的一个区间微元，求出相应于这个区间微元上部[a,b][a,b][x,x，dx]分量的近似值，即求出所求总量的微元 ,UU
; dU,f(x)dx
二、由微元写出积分 根据写出表示总量的定积分 dU,f(x)dxU
bb U,dU,f(x)dx,,aa
应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点:
(1)所求总量关于区间应具有可加性，即如果把区间分成许多部分区间, [a,b][a,b]U
则相应地分成许多部分量, 而等于所有部分量之和. 这一要求是由定积分概念本UU,U
身所决定的;
(2)使用微元法的关键是正确给出部分量的近似表达式，即使得f(x)dx,U
. 在通常情况下，要检验是否为的高阶无穷小并非易事，f(x)dx,dU,,U,U,f(x)dxdx因此，在实际应用要注意dU,f(x)dx的合理性.
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