俺的作品又见刊了：无棱二面角的求解策略

1 B C S A D E B C S A D E F S B A C D B S A G D 无棱二面角的求解策略 ◇ 广东 杨仁宽 ( 特级教师 ) 题根 在新课程人教A 版数学选修2-1的第128页中，有这样的习题： 如图1，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB 垂直于AD 和BC ，侧棱SA ⊥底面ABCD ，且SA=AB=BC=1，AD= 2 1 .求平面SCD 与平面SAB 所成二 面角的正切值. 图1 本文拟对此题，从多角度进行思考，探索这类无棱二面角求解的主要策略. 1 问题的来源 在原立体几何教材中，有这样一道复习题： 棱锥的底面是正方形，有相邻的两个侧面都垂直于底面，另外两个侧面与底面都成0 45角， 最长的侧棱长为15cm ， 求此棱锥的高. 依题意可作出图2， 则易知SA ⊥面ABCE ， 图2 SA=AB=BC ，ABCE 是正方形. 取AE 的中点D ，求截面SCD 与侧面SAB 所 成二面角的正切值，即为上述课本题.这类求无棱二面角的平面角的某一种三角 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 值的题型， 在历年的高考卷中，屡见不鲜. 2 问题的解法 由于图1中仅给出了平面SAB 与平面SCD 的一个公共点S ，由平面的基本性质可知： 这两个平面有且仅有一条过公共点S 的公 共直线，此直线即为所求二面角的棱，因而求解的关键是找出过公共点S 的唯一公共直线. 根据上述“来源” 可知，AD 是以BC 为直角 边的直角三角形的中位线，于是就有下列 解法1 如图3， 延长BA 、CD 交于点E ， 图3 则SE 是所求二面角的棱. 由AD ∥BC ，BC=2AD ，得EA=AB=SA ， 从而SE ⊥SB ，由SA ⊥平面ABC 可知，平面SEB ⊥平面SBC 相交于EB ，由BC ⊥EB ，得BC ⊥平面SEB ，SB 是SC 在平面SEB 上的射影，SC ⊥SE ， ∴ ∠BSC 是所求二面角的平面角. 而222=+= BA SA SB ，BC=1，SB ⊥ BC ，∴2 2 = = ∠SB BC BSC tg 为所求. 若平移平面SCD ，也可自然地找出二面角 的棱，并可简捷地求解： 解法2 如图4，设E 、F 分别是棱SB 、BC 的中点，连AE 、AF ，则有 SC ∥EF ，CD ∥AF ， AF EF=F ，从而 面SCD ∥面AFE ， 平面SAB 与平面AEF 和平面SCD 所成的角相等， AE 是二面角B-EA-F 的棱. 图4 故 只要求二面角B-EA-F 的正切值即可，以下过程从略. 若平移平面SBA ，类似地，有下列 解法3 如图5，设点G 、F 分 别是棱SC 、BC 的中点，由 面面平行的判定定理可知， 平面SAB ∥平面DFG ，所求 二面角等于二面角F-DG-C 的平面角，以下从略. 图5 我们知道，如果在平面α内面积为S 的多 边形在平面β上的射影的面积是/S ，α与β成锐角θ，则有S / cos S =θ. 根据这一结论，又有下列的简捷解法： 解法4 设所求二面角的平面角为θ，由SA ⊥面ABC ，得SA ⊥AB ，而SA=AB=1，SAB t R ?的面积21 21/=?=AB SA S ，可求得△SCD 的面积S =26÷，由于△SAB 是△SCD 在面SAB 上的 2 射影，从而由S ·/ cos S =θ，得 36cos =θ，从而22=θtg 为所求. 若借助平面的法向量，又可得到下列解法： 解法5 以点A 为原点，分别以射线AD 、AB 、AS 为x 、y 、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略），则有B （0，1，0），C （1，1，0），D （0.5，0，0），S （0，0，1）.设面SCD 的法向量是a =)1,,(y x ，由a ·=0，a ·=0， 得2=x ，1-=y ，即 a =)1,1,2(-.而 =AD )0,0,5.0(是平面ASB 的法向量，由 =θcos 36 ||||= ??AD a a ，得33sin =θ， 从而 2 2 =θtg 为所求. 3 求无棱二面角的平面角的转化策略 本文的题根，属于“无棱二面角”问题——在已知几何体中，没有给出二面角的两个半平面的交线而求二面角的平面角的某一种三角函数值，求解的基本策略是“转化”，主要的转化途径有以下两条. 一是将“无棱”向“有棱”转化，关键是正确地找出二面角的棱. 二是借助面积射影公式或借助向量作为工具求解，能有效地避开找棱. 现将这些常用的转化策略，概括如下. 策略1 延展平面找出棱——根据平面的可延展性以及题设条件的特点，将几何体中的相 关平面延展，以利于找出所求二面角的棱，实现“无棱”二面角向“有棱”二面角的转化.如本 例中的解法1. 策略2 平移平面找出棱——将所求二面角的一个或两个半平面作平移，以找出二面角的棱，再由“一个平面与一组平行平面所成的二面角相等”，实现“无棱”向“有棱”的转化.如本 例中的解法2. 策略 3 补个图形找出棱——利用“基本图”（正方体、长方体、台体）补体，实现“无 棱”向“有棱”的转化.这是一种创造性的解法，要因题而异、补图得体，使所补之图比较恰当. 对于本题，也可以补一个图：过B 、C 、D 分别作与SA 平行且相等的线段，将图1补成一 个棱台ABCD —SB 1C 1D 1，过B 1C 1、BC 的中点E 1、F 及点D 、D 1的平面与平面SCD 的交线ED ，即为所 求二面角的棱（图略）. 策略 4 面积射影不找棱——即本例解法4用到的方法，此法在面积容易求出的时候使用 特别方便. 策略 5 借助向量不找棱——利用平面的法向的数量积，求出组成二面角的两个半平面的法向量的夹角，进而求得二面角的平面角（当二面角的平面角是钝角时，是其补角），即解法5. 这种方法不仅适合于求二面角的平面角，也可类似地用于求直线与平面所成的角等等. 链接练习 1．(2011年珠海 模拟题)如图6，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面A B C ， NB ⊥平面ABCD ， 图6 且1==NB MD ． （1）以向量AB 方向为侧视方向，侧视 图是什么形状？ （2）求证：//CN 平面AMD ； （3）求面AMN 与面NBC 所成二面角的余弦值． 解（1） 因为MD ⊥平面ABCD ， NB ⊥平面ABCD ，NB MD BC ==，所以侧视图是正方形及其两条对角线； 证（2）由是正方形，BC ∥AD ， 得BC ∥平面AMD ；又MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，MD ∥NB ，NB ∥平面AMD ，所以平面//BNC 平面AMD ，故//CN 平面AMD ； 解（3）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DM 分别为x ，y ，z 轴建立图示空间直角坐标系， 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0). N (1,1,1), M (0,0,1),(1,0,1)AM =- ， N M D C B A 3 (0,1,1)AM = ,(0,1,0)AB = ，设平面AMN 的一个法向量为(,,)n x y z = ，由 AM 、与n 垂直得： x z y z ?-+=?+=? 令z=1得： (1,1,1)n =- ．易知： (0,1,0)AB = 是平面NBC 的一个法向量． 1cos ,3AB n ==- ，即面AMN 与面NBC 2．(2011年深圳模拟题)如图7，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，?=∠30BAC ，AC BM ⊥交AC 于点M ，⊥EA 平面ABC ，EA FC //，134===FC EA AC ，，． （1）证明：BF EM ⊥； （2）求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值． 图7 证（1）由⊥EA 平面ABC ，?BM 平面 ABC ， 得BM EA ⊥． 又AC ，BM ⊥A AC EA =?，⊥BM ∴ 平面ACFE ，而?EM 平面ACFE ， ∴EM BM ⊥． AC 是圆O 的直径，∴90=∠ABC ． 又，BAC ?=∠30 4=AC ， ∴32=AB ，2=BC ，3=AM ， 1=CM ． 而⊥EA 平面ABC ，EA FC //，1=FC ，∴⊥FC 平面ABCD ． ∴EAM ?与FCM ?都是等腰直角三角 形．∴?=∠=∠45FMC EMA ． ∴?=∠90EMF ， 即MF EM ⊥M BM MF =? ， ∴ 平面MBF ．而?BF 平面MBF ，∴ ⊥EM BF ． 解（2），如图8， 延长EF 交AC 于 G ，连BG ，过C 作CH BG ⊥， 连结FH ． 由（1）知 FC ⊥平面ABC ， BG ?平面ABC ， ∴BG CF ⊥． 而FC CH C ?=， ∴⊥BG 平面FCH ． 图8 FH ? 平面FCH ， ∴BG FH ⊥， FHC ∠为平面BEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角． 在ABC Rt ?中，由于?=∠30BAC ， 4=AC ，∴330sin == AB BM ． 由 1 3 FC GC EA GA ==，得2GC =． 3222=+=MG BM BG ． 由GBM GCH ??~， BM CH BG GC =， 则13 23 2=?=?= BG BM GC CH ． ∴CFH ?是等腰直角三角形， 45=∠FHC ． ∴ 平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为 2 ． （ 作者单位：广东省中学名师工作室主持人，广州市从化中学 ） A B C E F M O ? H A B C E F M O ?