解决一元二次方程根的分布问题
一元二次方程根的分布是高中数学的一个重点，也是一个难点。很多同学看到这类题,往往分很多种情况讨论，讨论的过繁，也容易出错。
其实，仔细研究这类题目，我们会发现，这类题有更简便的解题方法。通常，我们只需通过数形结合，先画出相应的函数图像，再判断两根是分布在什么样的区间内:若分布在两个区间内，则只需考虑抛物线的开口方向和区间端点所对应的函数值的正负;若分布在同一区间，则考虑两个方面，一是开口方向和端点函数值的正负，二是要保证??0和对称轴在所给区间里。若事先把二次项系数调整为正值，则我们只要考虑开口向上的抛物线即可。
下面举例说明。
2已知关于的方程求的范围使得方程xxmxm，,，,,(2)(5)0,m例1.
?一个根在(0，2)内，另一个根在(4，6)内;
?一个根大于2，另一个根小于2;
?有两个正根; ?两个根都大于2;
?两根都在(2，4)内。
xx,解:设方程的两根分别为， 12
fm(0)05-0,,,,
,,fm(2)050,，,29,,xx,,(02)(46)，，，，???; 即 ,解得 , 5,,,,m,,12fm(4)03130,，,5,,
,,fm(6)05290,，,,,
?，，，，?即解得;xxfmm,,,,，,,，,,,(2)(2)(2)0,50,5? 12
,,
,,fm(0)050,,,
,,2?; ???即? ,解得?xxmmm,(0,),0, (2)4(5)04,，,,,,,,,,12
,,bm,2,,,,,,00,,22a
,,
,,fm(2)050,，,
,,2?; ???即? ,解得-?xxmmm,(2,),0 ,(2)4(5)054,，,,,,,,,,,12
,,bm,2,,,,,,22,,22a
?
fm(2)050,，,,,
,,fm(4)03130,，,,,13,,2. ???,即? ,解得?xxmmm,(2,4),0 (2)4(5)04,,,,,,,,,,123,,bm,2,,2424,,,,,,22a,,,,
有些题目中二次项系数不确定，要注意分类讨论，比如
下题。
2 例的根都小于，求的取值范围。2. 3401aaxxa，，,
解:?当a=0时，方程为3x=0,解得x=0<1，符合题意。
xx,?当a?0时，设方程的两根分别为， 12
? 若a>0,则
,,
,,fa(1)0530,，,
33,,2???,即? ,解得; xxaa,(,1),0 9160,,,,,,,,,,1254,,b3,,,,,,11,,22aa
3又?a>0,?。 0,,a4
? 若a<0,则
,,
,,fa(1)0530,，,
,,2 ???即? 解得xxaa,(,1),0 9160,,,,,,,,,12
,,b3,,,,,,11,,22aa
3综上所述，a的取值范围:。 [0,]4
从以上二例容易看出，遇到一元二次方程根的分布问题，
要运用数形结合思想列出相应的不等式组即可。 巩固练习:
1( 求满足下列条件的a的取值范围: 22 ?的两个根一个大于xaxa,，,,7011，另一个小于;2 ?,的一个根在，内，另一个根在，内;xaxa,，，(3)0(01) (34)
22?的两根都在。xaxaa,，,，，,(4)2530(-1,3)
22. kx+3kx+k-3=0的两根均为负，求k的取值范围。
参考答案:
xx,1. 设方程的两根分别为， 12
2?，，，，?即解得;xxfaaa,,,,，,,,，,,,,(1)(1)(1)0,60,23? 12
fa(0)00,,,,
,,f(1)020,,,4,,xx,,(01)(34)，，，， , 即 ,解得0,,a;? ,,12fa(3)020,,,3,,
,,fa(4)0430,,,,,
2,,,20a，，68af(1)0,,,,2,fa(3)020,,,，2a,,,,2?。 ???,即? ,解得0xxaa,(1,3),0 901,,,,,,，124a,,12
,,ba，4,,,,,,,,,131322a,,,,
xx,2. 设方程的两根分别为， 12
?若k>0,则
,,
,,fk(0)030,,,
,,2; ???,即?123kk ,解得xxk,(,0),0 50,,,,，,,,12
,,bk3,,,,,,00,,22ak
?若k<0,则
,,
,,fk(0)030,,,
12,,2 ???，即? ，解得?;xxkkk,(,0),0 5120,,,,，,,,125,,bk3,,,,,,00,,22ak
12综上所述，。 kk?或,,35
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