因式分解
1
同底数幂的乘法
mnm+naa=a (m、n都是正整数)
mnm+n幂的乘方(a) =a (m、n都是正整数) 积的乘方
nnn(ab)=ab (n是正整数)
同底数幂的除法
mnm-na?a =a(a?0，m、n都是正整数，m>n) 乘法
公式
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(x+a)(x+b)=x?+(a+b)x+ab
(a+b)(a-b)=a?-b?
(a?b) =a?? 2ab+b?
2
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把
这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
因式分解的方法
（1）提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从
而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公
因式法。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； （2）公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方
法叫。
平方差公式：a?-b?=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a??2ab＋b?＝(a?b) ?； （3）分组分解法
分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。
能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形
式：二二分法，三一分法。
（4）十字相乘法
这种方法有两种情况。
?x?+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
?kx?+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
（5）配方法
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方
式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。
属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等
的原则下进行变形。
例1.分解因式(1+y)?-2x?(1+y?)+x?x?(1-y)?
4 解：原式=(1+y)?+2(1+y)x?(1+y)+x(1-y)?-2(1+y)x?(1-y)-2x?(1+y?)
=[(1+y)+x?(1-y)]?-2(1+y)x?(1-y)-2x?(1+y?)
=[(1+y)+x?(1-y)]?(2x)?
=[(1+y)+x?(1-y)+2x][(1+y)+x?(1-y)-2x]
=(x?-x?y+2x+y+1)(x?-x?y-2x+y+1)
=[(x+1)?-y(x?-1)][(x-1)?-y(x?-1)]
4 =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
例2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33
543245 x+3xy-5xy+4xy+12y
54322345 解：原式=(x+3xy)-(5xy+15xy)+(4xy+12y)
4224 =x(x+3y)-5xy(x+3y)+4y(x+3y)
44 =(x+3y)(x-5x?y?+4y)
=(x+3y)(x?-4y?)(x-y?)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
5 当y=0时，原式=x不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。
一：填空题本题满分40分，1 – 8小题每小题3分，9 – 12题每小题4分） 1、把一个多项式化为几个___________的形式，叫做把这个多项式分解因式。
223ab,3ab，6b,(_______)(a,a，2)2、。
2,7xy,14xyz，49xyz,,7xy(__________________)3、。
22a,14a，49,(________)4、。
22x，____，9y,(x，_____)5、。
23(y,x)，2(x,y),_______________6、分解因式：。
122(m，n),(m,n)7、已知，则的值是________。 mn,2
2x，px，6,(x，m)(x，3)8、若，则。 m,_____p,______
22x,4x,6,_______________9、分解因式：。
22x，y,______10、已知则。 x，y,1,xy,,1
11、当m=89.256时，8.37m+5.63m－4m=_________。
222(x，1)y,x,1,_______________12、分解因式：。
二、选择题（本题满分24分，每小题3分）
13、下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
22222(x，2y),x，4xy，4yx,2y，4,(x,1)，3 A． B.
23x,2,1,(3x，1)(x,1) C. D.m(a，b，c),ma，mb，mc 14、下列各式的因式分解结果正确的是（ ）
222b2xy，7xy,y,y(x，7x)3a,3ab，6b,3b(a,a，2) A. B .
2228abc,6ab,2abc(4,3abc),2x，4xy,6xz,,2(x，2y,3a) C. D.
215、把分解因式，结果是（ ） ,16，a
(a,8)(a，8)(a，4)(a,4) A． B .
2.(a,4)(a,2)(a，2) C . D
16、下列多项式中，能用公式进行因式分解的是（ ）
1222222,(,a),b B. C. D. A．x,x，,a,bx，2x，44
2x,xy，3y,3x17、用分组分解法将分解因式，下列的分组方式中不恰当的是
（ ）
22(x,3x)，(3y,xy)(x,xy)，(3y,3x)A． B.
22(x,xy)，(3y,3x)(x,xy,3x)，3yC. D.
222xy,x,y，118、把多项式分解因式的结果是（ ）
A． B. (x,y，1)(y,x，1)(x，y,1)(y,x,1)
C. D.. x，y,1)(x,y，1)(x,y，1)(x,y,1)
22x,2xy，y，2x,2y,819.把多项式分解因式的结果是（ ）
A.(x,y,4)(x,y，2) B.(x,y,1)(x,y,8)
C.(x,y，4)(x,y,2) D.(x,y，1)(x,y,8)
511220、把二次三项式分解因式的结果如下：?；m,m，(m,)(m,1)666
11111? ?；?。其中正确的个数为(m,)(m,)(2m,1)(m,)(2m,1)(3m,1)23236
（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
三、分解因式（本题满分24分，每小题6分）
22a(b,c),3b，3c21、
2(x，y),4(x，y,1)22、
322x,2xy，xy,x23、
22,49x，14x,1，y 24、
四、解答下列各题（本题满分32分，每小题8分）
2225、已知，， 求的值。 ab，ab,a,ba，b,,5ab,7
22(n，5),(n,1)26、已知n为整数，试证明的值一定能被12整除。
22a,96,b,9227、先分解因式，再求值：a,2ab，b,5a，5b，6，其中。
22ax，24x，b,(mx,3)a，求、b、m的值。 28、如果
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