2009北京市高一数学竞赛初赛试题及答案

2009北京市高一数学竞赛初赛试题及答案2009北京市高一数学竞赛初赛试题及答案 2009年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛一、选择题,满分36分～每小题只有一个正确答案～请将正确答案的英文字母代号填入指定的地方。答对得6分～答错或不答均计0分, 1 2 3 4 5 6 题号答案 1. 右图表示的是定义在[-4, 6]上的函数y=f(x)与函数y=g(x) Y的图像. 则使得f(x)?g(x)成立的区间是 ( ) y=g(x) (A) [-1, 3] (B) [-4,3]?[5,6] (C) [-4,2] (D) [-4,-1]...

2009北京市高一数学竞赛初赛试题及答案 2009年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛一、选择题,满分36分～每小题只有一个正确答案～请将正确答案的英文字母代号填入指定的地方。答对得6分～答错或不答均计0分, 1 2 3 4 5 6 题号答案 1. 右图表示的是定义在[-4, 6]上的函数y=f(x)与函数y=g(x) Y的图像. 则使得f(x)?g(x)成立的区间是 ( ) y=g(x) (A) [-1, 3] (B) [-4,3]?[5,6] (C) [-4,2] (D) [-4,-1]?[3,6] 1 1XO 2. 将sin12, cos13, cos14从小到大排列的次序是 ( ) y=f(x) (A) sin12AC, AH与AM分别为BC上的高线和中线, 8S,ABC 226. 函数f(x)=2x-2x-1和g(x)= -5x+2x+3的图象交于两个点, 通过这两个交点的直线方程为y=ax+b . 求a-b的值. abcabcabcabc7. 已知6027为数？是91的倍数. 求三位数的最大值与最小值. abc,,,,,,,,,2009个abc D8. 如图, 在菱形ABCD中, ?ABC=120:, BC=6, P是BC延长线 3A上向远离点C方向运动的一个动点, AP交CD于点E, 连结BE QE并延长交DP于点Q, 如果动点P在初始位置时?QBP=15:, 在终止位置时?QBP=35:,试确定点Q运动时走过的曲线段长度. PBC 选择题答案 1 2 3 4 5 6 D B C A D C 填空题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 4,1 30 ?0.5 13.5 474 ?1 1092 43 参考解答: 一、选择题: 二、填空题: [简析]: 先证: ?CDP=?QBP 3 (三角法)设?QBP=, , BC=a. (a=6). D则?QBD=60:-,, 且AB=AD=DB=DC=a A ,,BCsinsinEC,BCD中, 由分角定理: == Q,,EEDBDsin(60,,)sin(60,,) ,PBC,,sinsinCPECa ? AD//BP ? == ?CP= ,,ADEDsin(60,,)sin(60,,) 222,,aasinsin2222 ?,PCD中?DCP=120: ?由余弦定理: PD=CD+CP+CD•CP=a++ ,2,sin(60,,)sin(60,,) 2 22,2,22,2,,,,,,,,,[sin，sinsin(60,)，sin(60,)][2sin，2sinsin(60,)，2sin(60,)]aa= =2,2,sin(60,,)2sin(60,,) 32,,,,,[,cos2，cos(2,60)，cos(2，60)]a2,,,,,,[2,cos2，cos(2,60),cos60,cos(120,2)]a2== 2,2,2sin(60,,)2sin(60,,)32,,(,cos2，cos2)a23aa32== ?PD= 2,2,,4sin(60,,)2sin(60,,)2sin(60,,) ,3sina ,,,CP2sin(60,)sin120 ? ,PCD中再由正弦定理: sin?CDP === sin, PD3a ,2sin(60,,)? ?CDP=?QBP ? D、B、C、Q四点共圆, DADBDE(向量法) 设=a, =b, DC=c, =tc (0==60: 则BC3 QbE BPBP 且b=a+c . 可设=,BC, 则= -,a , c BCP DPDBBP? =+=b-,a= (a+c)-,a=(1-,)a+c DPDADE 另一方面, 由点A、E、P三点共线 ?由直线向量式方程 =(1-,)+,=(1-,)a+, tc 11DPBEDEDB ? 1-,=1-, , 且, t=1 ? ,=,= ?=(1-)a+c , =-= tc-(a+c)= -a+(t-1)c tt 11t+1222DPDE ? ,= tc,[(1-)a+c]=(t-1)a,c+tc=[-(t-1)+t]|a|=|a| t22 111t+122BPBE ,=(-)a,[-a+(t-1)c]=(-1)a,c+a=|a| ttt2t 2t-t+112t-t+1DPBE ||=|(1-)a+c|=|a|, =|-a+(t-1)c|=|a|, 2tt 2tt+1DP•DEt+11cos，PDF==,,= 222tt-t+1|DP||DE|2(t-t+1) t+11BP•BEt+1cos，EPB==,t,== cos，PDF 222tt-t+1|BP||BE|2(t-t+1) ? ?CDP=?QBP ? D、B、C、Q四点共圆. (几何法) 由已知 AB=BC=CD=AD=BD D?AB//ED ??DEA=?BAP A ?AD//BP ??DAE=?BPA DEABQ??DEA??BAP ?= EADPB 3 ,PBC DEBD= 又?EDB=60:=?DBP ?BDPB ??EDB??DBP ??DBE=?BPD ??CBE=60:-?DBE=60:-?BPD =?PDC ? D、B、C、Q四点共圆. DA 设,DOQ外心为O, 连接OD、OQ . ? 则?QOD=2?DBQ=2(60:-,), OD=6=r 90: ? 当P在初始位置时,=15:,?QOD=90: QE 在终止位置时,=35:, ?QOD=50: O45:15:? 点Q运动时走过的曲线段为圆O上 PBC,2 一段圆心角为90:-50:=40:=的圆弧 9 DAQ',,24? 曲线段长度=6，= 93Q40:E O PBC 4

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