两类一元二次方程根的问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
《数理化解题研究~2OlO年第7期数学篇19 的取值范围是0<m<1. 三,重视方程涉及几何图形时.图形关系对判别 式的作用
例3已知n,b,c为AABC的三边长,试判断二 次方程b2x+(b+c一n)+C=0的根的情况. 解析判别一个一元二次方程根的情况要用根
而判别式?=(6+c一口)一4bC= 的判别式,
(b+c+口)(b+c一口)(b—C+口)(6一C一.).显然, 要用到三角形中的两边之和大于第三边的关系式. 因为b+C一0>0,b—C+?>0,6一C—n<0,
b+C+n>0,所以?<0.
故方程b2x+(6十C一?)+C=0无实根. 四,重视已知条件与结论之间的呼应,试题往往 在这方面隐含玄理
侈04已知方程(一1)+(一1)+1=0. (1)为何值时,方程存在实根;(2)为何值时, 方程有两个实根.
解析题(1)的方程存在实根,隐含着方程可
也可以是二次.分别有=l时,方程无解; 以是一次,
1
=一l时,有一2x+1:O,则=?;??l时,二 ?=(一1)一4(一1)?0,有一??<一l或-) <
一
l<<1.综合知,当一??<1时,方程存在实
根.题(2)的方程有两个实根,隐含着方程必为二次, <
所以有??l,且??0.所以一??<一l或1) 一
l<<1.
因此,我认为解决此类问题,首先是教师要精选, 设计典型例题,深入剖析以功学生的学习热情,唤 醒学生已储备的知识经验能举一反三.然后再布 置适当的训练题目.这样既能减轻学'的学习负担, 又能引导学生在主动地探究,建构地学习中,体验数 学的学习乐趣,感受获得成功的喜悦和快乐. ,(—r丫—_—r丫丫—r—r—r丫—r—r丫丫]—r1—丫]广]—r丫
两类一元二次方程裉的
上j,j—j上—一工—L?一—工一—二一土 问题j
福建安溪县虎邱镇安溪茶业学校(362435)周奕生? 先请看实数如下一个简单的基本性质: 如果n,b是有理数,卢是无理数,则当n+=0 时,口=b=0.比如,如果?,6是有理数,[z+?26:0, 则0=b:0.
运用这个简单的性质可以方便地解决两类看似 不简单的一元二次方程根的问题.
一
,系数为有理数.根为无理数的问题
例1设0,b为整数,=2+是关于的方程
+口+6=0的根,求0,b的值.
分析根据方程的根的定义,把=2+代人
方程+口+6=0,得(2+3)+(2+?3)n+6= 0.由此方程要想解出o,b的值似乎是不可能的,但注
意到a,b是整数,把它整理成有理数与无理数和的形 式,得(7+2口+b)+(4+0)3=0.至此可用实数 的基本性质.因为a,b为整数,?3是无理数,根据实数 的性质,得{:.0.'解得{:一1.
.
【4+口=.【6=.
例2已知lc,b,C是有理数,且0?0,关于的 一
元二次方程0++c=0有一个根是1一~/2,求 证:l+也是该方程的根.
分析首先把=1+代人方程,得n(1一
)+6(1一)+C=0.整理,得(3n+6+c)一(2n +6)=0.
因为?,6,c是有理数,所以3n+6+C和2n+6也 都是有理数,又是无理数,所以{==C..=0' 欲证0++C=0另一个根是1+,只须证 明当=l+时,口++c的值等于0.
显然,当=】+时,
2O数学篇《数理化解题研究))2ore年第7期 口++c=0(i+)+6(1+)+c =
(30+b+c)+(20+6)?2:0+0×?2:0. 所以,1+是该方程的根.
仿照例2的证明,我们可以得到更为一般的结 论:如果m+n(//7.,n,r是整数)是有理系数一元二 次方程口++c:0的一个根,那么m—n也是 该方程的根.
二,系数无理数,根为有理数的问题
例3已知后为有理数,且关于的方程+
2+.i}一=0有一个根是有理数,求的值. 分析设方程的有理数根为/7/,,则m+2m+ 一
=0,
整理,得(l,1)?2+2m+=0.
由上述实数的简单性质,.一寸~r
2
m
2
-
+
解得m=1,后=一2或m=一1,七=2,所以的 值为2或一2.
例4已知P,q,r均为质数,且关于的方程一 (2一)+2g一r一6=0有一个根恰好是P,求P,
q,r的值.
分析把=P代入方程,得P一(2一)P+ 2q,r一6=0,
整理为(p一2p+2q一6)+(P—r)=0. 因为P,q,r均为质数,所以P一2p+2g一6和P— r是有理数,所以
p一2p+2q一6=0且p—r=0.
由P一2p+2q一6=0,得P=2(p—q+3),因 为P,9为质数,所以p一定是偶数,从而P也一定是偶 数,而质数为偶数的只有2这一个,所以P=2,从而q =3.r=2.
江苏省大丰市第七中学(224115)朱元生? 一
元二次方程是初中数学的一个重要内容,而
构造一元二次方程解题是初中数学的一种解题技巧. 有些问题用常规解法比较困难,若根据其结构特点, 恰当地构造一元二次方程,利用根与系数的关系或判 别式来解,能使有关问题化繁为简,化难为易,从而找 到解题的捷径,收到事半功倍的奇效.本文试举几例 加以说明.?
一
,构造方程求代数式的值
例1实数n,6,c满足b=8一?,C=ab一16, 求口+b.+c的值.
解由条件得口+6=8,ab=c+16.0,6可以
看作是方程一8x+c+16=0的两个实根. 所以?=(一8),4(c+16)=一4c?0,
则4c?0.得c=0,即?=0.
故方程有两个相等的实数根,从而口=b=4,C =0.
所以0.+6+c=4+4.+0=l28. 二,构造方程化简求值
椤02化简求12+?12+412+,/ff+….
解设=^,/l2+?12+?12+12+…>0, 两边平方,
2
=12+?】2+412+?l2+,=12+, 即一一12=0,(一4)(+3)=0.
解得.=4,=一3(不合题意,舍去).
所以=4,即12+?12+?l2+12+…:4.
三,构造方程证明等式
例3已知(一戈)一4(一Y)(Y一)=0,求证 2y=+Z-.
证明当—Y=0,即=Y时,由已知条件得 :Y=,结论成立.
当一),?0时,构造一元二次方程 (—Y)f+(一),+(Y一:)=0. 因为?=(=一)一4(—Y)(Y一:)=0,
浙公网安备 33021202002483