任意角三角函数(温州)(研评)(1)

- 1 - 任意角的三角函数 师:大家看一下,你们知道这是什么吗? 生:摩天轮。 师:对,有没有玩过阿? 生:没有。 师:好,那没玩过也没关系,今天就让我们在数学的世界里面,让我们登上摩 天轮,开始我们的数学之旅。(投影仪展示摩天轮的图片) 那么摩天轮,这个摩天是形容它的什么?对,高大。“轮”说明它可以转动。好,那么就像我们这里一个动画, 动的。那么,现在我们来看这样一个问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。(0′45″) 如果我把这个摩天轮把它抽象成我们这样一个数学背景的这样一个问题。 假设摩天轮的中心离地面的高度为h 0,它的半径为r ,是逆时针方向匀速滚动,那么转动一周需要360秒,那么转1秒是几度啊,哎,转1°。那么现在它的位置。大家坐上去以后,我们让摩天轮从这里开始出发,这是我们的初始位置。第一个问题:(1′30″) 30秒钟以后,请问你离地面的高度有多少? (停顿10′)好,大家说一下,多少?(演示转动)何来计算此时你离地面的高度啊?怎么算?(2′05″)请你来回答。 生:过那个P 师:噢,作垂线,好。 生:然后根据它转动30°,也就是30 师:对。 生:根据斜边与PM 关系,可以求出PM 等于r 2 。 师:是r 2 ,1 2 是怎么得出来的? 生:1 2 就是PM 除以PO 等于1:2。 师:(边写边重复)噢,PM 除以PO ,是吧,等于1:2。 生: 等于1 2 师: 等于r 2 ,是吧?(板书) h 0,所以我们…就是PM 加上MO 就是转动了30秒后距离地面的高度。 师:好,请坐,大家说她对不对啊。对。那么,在我们以前学的里面PM 比上PO 可以看成是什么?对,可以看成是sin30 。是吧,非常好。那我问你45秒钟以后离地面高度怎么算? 师:对,就是r 乘上一个…结果等于2 2r , 生: … 一、课题的提出 1.情境创设 此情境放在这里对启发课题和揭示主题的本质不能起积极作用. 主要是由这个情境提出的数学问题及其解决与主题的联系不密切,与三角函数联系不明显和突出。 2.建立数学模型费时 解决问题的数学模型牵扯因素太多,牵扯学生太多精力。学生一开始没能意识到问题的函数关系,使得建立的模型中不含三角函数(比值),教师为了与三角函数联系起来,又花费了很多时间和精力。几乎用了5分钟时间才本课课题提出来。 创设情境一般不能复杂,问题解决不要困难,关键有利于切入主题,提出课题。 这个情境如果作为角的概念推广的情境更合适。 3.课题提出 建立问题模型以后还要讨论正弦的范围才与课题联系起来,饶的路和弯子太多了。况且不经教师提醒,这种联系并不是学生自己很容易发现的。 4.情境创设有需要决定 这节课的课题从数学内部来提出更合适。这说明并不是每个数学课题都要从生产生活实际提出。三角函数的实际应用意义如何体现,什么生产生活实例比较贴切?斜坡倾斜度,物理的钟摆简谐振动,日影长度。 ◎教师的问话常常不准确,喜欢问“多少”,而“多少”又不是很容易看出来的。 温州乐园摩天轮的中心离地面的高度为h 0,它的半径为r ,它沿逆时针方向匀速滚动,那么转动一周需要360秒钟。 h 1 = h 0 + sin30°r = h 0 + 1 2 r h 1 = h 0 + r sin45° = h 0 + 2 2 r h = h 0 + r sin t ° h 1 = h 0 + | PM PO |· r = h 0 + 1 2 ·r 生:0到90°。 师: 哦, 0到90°同意吗?我们想摩天轮它总是要转下去,那转下去的时候,那么这个时候,这个到底能否成立呢??那我们现在已经学了锐角的正弦,是吧??那么上节课我们已经把角的概念推广到了…哎!? ?如果能,如果要你算一下,第 150秒的时候,那么它离地面的高度又应该怎么算呢?sin150?该怎么定义呢??▲ 这就是我们这节课要学的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 : 任意角的三角函数。(4′50″)(板书) 师:好,那么说到任意角的三角函数,我们回到我们已知的,们来看一下。 现在我给你这个角α,请问你如何来定义它的正弦? 你来说说看。这是一个锐角α,谁来讲讲看,好, 你来回答,拿话筒。▲ 生: 在另外一条边,终边上,取一点,设为P 。然后 在它另外一条射线也就是它原来的边,始边,设为 OA ,作P 垂直于OA 于点M ,然后正弦的话,就是它的对边比上斜边。 师:这个sin ,这个角是α 生:sin α=|PM | |MO | 。 师:好,我有个问题,你的P 点怎么选的? 生:在终边上任意一点。 师:为什么呢? 生:因为无论怎么样,比值都相同。 师:为什么相同? 师: 角度是α,那比值就一定相同吗?怎么说阿? 生: 因为他们是相似三角形。 师:对。那么这位同学讲的大家同意吗? 点,那么这个时候,它的比值跟P 点位置有没有关系啊?(演示)只要不落在O 点,比值都相同。那么,我们现在来看一下,如果你已经解决了锐角三角函数的定义的话,还有什么能用类似的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 处理呢?★哪我们来看一下摩天轮的转动。还有哪些角也可以借助这个定义呀? 到第二象限去了,请问你这个时候该怎么算,你也可以设这个角是任意 的。你打算怎么定义?好,谁来说说你的看法。(都可以?好什么?误导出“钝角”直角三角形)生:我不是很清楚,有可能是可以从那个,那条射 线上,终边上任取一个点。 师:任取一个点,然后呢? 师:向x 轴作垂线,那你觉得此刻的sin α 等于用什么来定义? 生:|PM | : |OP |。(这里是发现矛盾的时机。见下页) 二、启发设问不知所云 1.▲课题目标启发不明 有?的这些问题究竟问什么?能发挥启发的作用 吗?要启发什么?意思都听不懂。真正的目标是:如果α于钝角,sin α怎么求?从而引出任意角的三角函数是什么?所以设问可能 ·我们只会算锐角三角函数 值,sin150?连它是什么我们 都不知道吧? ·所以这节课大家看应该研 究什么?这自然引出课题。 2.▲研究方法启发不明 回到哪个“已知”去?“任 意角的概念吗”?“锐角三 角函数概念吗”?糊里糊涂,学生怎么能明白哪个“已知”。研究方法的启发, 要作为解决新问题来研究: ·你打算怎么研究? · 总不能凭空研究吧? ·未知的要靠什么来研究? · 最一般的方法就是由已知来研究未知吧? ·有什么已知的可以借用? ·那先来把未知已知搞清楚! “着手解题的提示语”,“理 解题意的提示语”都可以用 起来了。 三、抓住概念的本质 1.★这个相似比不变不难理解,与P 点无关相比,更要关注与α有关,“α确定时,比值唯一确定”,比值是角α的函数。这是函数的本质所在。 师:|PM | : |OP |,好请坐。那么这位同学对这种终边在 第二象限,她给出了这个定义。那我们回到我们的 模型上来看一下,我们这个模型把它推广,对任 意时刻都成立,那么,现在请你算一下在第150秒的时候,通过你的经验计算,它实际离地面的高度应该是多少呢?此时P 点距离地面的高度应该是多少? 一样还是h 0 + 1 2 r ,一个是模型 告诉我们是这样,一个是我们实际经 验告诉我们是这样,那么,我们可以看 出来sin150°= 1 2,是吧?那么,我们通过这个来检验一下,假如现在这个 角正好是150°,那么PM : MO 的长度等于多少,噢,应该等于多少,根号…,是不是跟我们这个有点不符啊?那你能再修正一下吗,这位同学 生:…▲ 师:有没有想法,先请坐,好请你。(另一位学生) (12′00″) 生:我是这样认为的,因为我们在一个新的领域,我们最好使用新的知识来 定义。 师:哦,新的知识来定义。 生:嗯,原来我们观察第一象限角的那个sin ,噢,正弦值的时候,就是x … 师:实际上就是在坐标轴上的哦。 生:设x 、y 。 师:哦,x 、y 。 生:sin α实际就等于x 除以… 师:sin α? 生:嗯,对。sin α是等于… 师:PM 是表示… 生:哦,哦,y ,y 。等于y x 2+ y 2 。 师:然后呢? 生:然后推广到第二象限角。 师:第二象限角,你打算怎么推广? 生:嗯,同样地,也是设P 点是那个坐标轴。 师:嗯,也是设P 点坐标为(x ,y ),然后呢? 生:嗯,那个表达式跟那个…也是一样的。 师:一样的,就是y x 2+ y 2 ,是哇?好,那我再问你,第三象限你打算怎么 生:嗯,坐标轴上的话… 生:也可以。 师:也可以,是哇?好,请坐。那么这位同学他抓住了这个坐标系中的点的这种对任意角定义的推广, 是哇?的…他这种定义对这个来说对吗? (指板书的sin150°=1 2 ) y 比上这个 2.初中三角函数是否是函数要检验 实际上初中对三角函数并没有给出定义, 只是笼统地说正弦、余弦、正切都是三角函数,为什么说它是函数,并没有说明。所以这里有必要让学生先来检验初中的三角函数是 不是一个函数,要用高中的 函数定义来检验一下。 3.明确三角函数关系 这 样有利于强化学生关函数的概念,更可以让学生明白正弦、余弦、正切都是函数! 让学生明白“三角函数是角与比值之间的映射关系”,明白弧度的意义。 四、再说研究方法的启发 1.▲教师自己对教学探究的路线图不明确,虽然也意识到要放进坐标系研究,但 不能抓住时机启发学生利 用坐标系的特点引入点坐 标,而是任由学生沿着构造直角三角形的错误思路走下去,耽误太多的时间。 2.教师对研究中矛盾所在不清楚这个学生 矛盾并 不是在这里产生的,而是在构造钝角三角形的时候就已经产生了。钝角怎么可能构造直角三角形呢?其实只要稍加提示,学生马上就能发现。只要在学生得到|PM |:|OP |时,提出质疑即可。 · 这里有没有问题? · 你得到的是sin α吗? ·α是谁?∠MOP ,∠POM ’? ·你看这里面有什么问题? h 1= h 0 + r sin t ° h 3= h 0 + r sin150° = h 0 + 12 r ∴sin150°= 1 2 sin α = |PM | |OP | (指着板书中的sint= y x 2 + y 2 ),对吗?对! 那么下面请你算一下, 如果我要你算一下,sin210°时,跑到这里来的时候,请你根据实际经验算出它等于多少?(板书)(停顿25秒)好,大家算好了没有? 好,请你来回答一下它等于多少。 生:也是0- 1 2 r 。(板书) 师:也是0- 1 2 r ,那你得出sin210°等于多少? 生:等于1 2 r ,- 1 2 r 。 师:应该是- 1 2 r ,好。…这位同学定义在这里是不是也是这样?对不对啊? 这个y 此时在第三象限,这个点的纵坐标是个负值。 哎,那么这个是不是也对的?如果你再去检验的话,可以发现这位同学在终边在第四象限,也会成立。因为从模型上我们可以看一下。(画板演示)此时你说这里是加上还是减去啊?非常好。所以这里,我们这位同学可以看出他对数学的这种先知先觉,如果你再早几百年出生的话,也许这个三角函数就可以以你的名字×××来定义。?(检验不正确) 好,那么我们来看一下,在这里我们就可以对我们的正弦sin α作出一种定义是吧?它可以定义为——终边上的P 点的纵坐标,比上…哦,x 2+ y 2 ,那其实这个就是什么含义啊?斜边的长就是P 点到… 生:…… 师:哎,对。所以我们这里如果把它记为|OP | =r (板书),那么sin α就等于y 比它是吧?那其中这里的y ,我们看出来,它应该是…(画图)终边上的任一点,P 点的纵坐标吧?哎,好,那你能根据这位同学的这种定义,我们现在三角函数的定义就是针对…那我们还能够根据这种定义作出其它定义吗?初中还学过什么定义?■ 生:…… 师:(板书)那你们觉得还可以等于多少?(问什么?) 生:x 比上r 。 师:x 比上r 。(板书)那这个呢? 生:y 比上x 。 师:y 比上x 。(板书 y x ) 很好。那下面我们 再看一下,你有没有方法使得这个比例 式形式看起来更简洁一点?我们这里的 P 点是任意角,怎么理解?谁来讲一下? 你们说。 生:OP 长等于1。 师:哦,让|OP |=1的时候(板书|OP | =1),那么 sin α可以定义为…y ,其实是y 比上1, 这个的定义是x ,那么这个呢?还是 y x 。 很好,这两种定义本质…一样不一样?一样的,那就是我们刚才讲的。 △好,那么这就是我们今天这节课所要讲的任意角的正弦、余弦和正切的定义。?(19′05″) 好,这个我们依旧还是叫它正弦。(板书) ·钝角能有直角三角形吗? ·那说明什么? ·说明原来锐角三角函数定义的方法在这里不能用了。 3.启发提出定义的假设 ·怎么办?要寻找新方法吧? ·盯着目标,问题是什么? ·求任意角的三角函数! ·什么是任意角?怎么定义? ·任意角定义在坐标系里,坐标系能利用吗? ·怎么利用?它有什么特点? ·坐标系最大的特点是什么? ·每个点都可以用坐标表示! ·你能不能利用这个特点? ——把P 点用坐标表示。 ·这样表示有什么好处? ·这样表示后你发现什么? ·你能不能利用P 点的坐标? ·边的比可用坐标的比代替! 从而提出了任意角正弦函数定义的假设。 4.检验这个定义的假设 ·这样来定义是否正确呢? ·验证正确就是验证什么? ·就是要验证它是否是函数? ·怎么验证?依据是什么? ·当然是根据函数的定义! ·每个角α都对应一个数,而 且是唯一确定的数. ·这样就验证了假设,得到了 任意角正弦函数的定义. ?这里所做的检验不正确 检验猜想,就是检验它的科学性,检验科学性就是检验它是普遍真理。这里只检验了若干个角(150°,210°)的 函数值符和这个具体问题 的解决模型,但是即使检验了无数的角,也并不能是证 的时候,(演示画板定吗?确定吗?确定!是哇? 对每一个αy 的值是不是唯一确定啊?(演示画板)哎,所以我们这里又可以把它称之为是一种什么关系?对, △ 对第一个正弦函数而言,它的定义域是多少?好,请你来回答。 生:嗯,我认为定义域应该是x ≠0。 师:x ≠0,为什么呢? 生:嗯,首先,因为它这个三角函数的话,因为三角函数这个东西它有三条边,如果x 取0的时候,它作垂直那个点就交于O 点。 师:(画板演示)… 生:如果这个x 取0的话,它那条… 师:你这个x 在这里面有出现吗?这里是角α。 生:这里面没有出现。 师:哦,也就是P 点的横坐标是吗?哎。 生:横坐标不能为0,因为如果为0的话,那它的比值就不存在了。 师:为什么不存在? 生:因为如果为0的话,它那个x 、y 都等于那个…正切的话,它下面那个分母是不能为0的。 师:x 等于0的时候,r =x 2+ y 2 是哇?x 等0,y 一定要等于0吗? 生:y 不一定等于0。 师:我们选的P 点不能是这个点对哇? 生:嗯,P 点是不能为O 点。 师:O 点,是啊。所以这里的话… 生:所以这里… 师:x 等0的话,y 一定要等于0吗?r 我们规定它一定是PO 的距离,P 点和O 点不同,r 它一定会怎么样? 生:大于0。 师:对啊,大于0。那怎么?好,那么请你坐下来思考一下,思考好了再来回答。那其他同学的意见呢?你们觉得这个函数的定义域是什么?α。 师:哦,好象听你说是什么? 生:我觉得应该属于实数范围。 师:哦,属于实数范围? 生:因为y 可以取到任何实数。 师:我们看这里的话y 可以取到任何实数。R …也就任意的是吗?生:嗯。 师:那么余弦呢? 生:余弦x 不能等于0。 师:x 不能等于0,为什么呢? 生:x ,就是刚才他讲的呢。 师:那你再回答一下,x 等于0的时候它会出现什么问题? 生:x 等于0… 师:…… 生:这个,这个,我也没想好。 师:呵呵,好。好,那你想好了?(24′00″) 生:经过反复的思考,首先那个,它的那个正弦的话是等于y 除以r ,这里没有涉及x ,所以x 可以取任意的值,也就是属于R 。就是刚才那个 明它是普遍真理,必须证明 它作为所有的角“函数”是正确的,才是数学真理。 ☆在前面幂、指、对函数建立定义时,都要以此为标准,用这个方法来验证它们的对应法则—表达式,满足随处定义和但值定义的要 求。 5.什么是给某对象下定义? ——揭示对象的本质属性 ·函数的本质属性是什么? 在两个数集之间建立一个映射,这个映射是随处定义 和单值定义的。这个映射常常是一个数学表达式,这个表达式表示唯一确定的值。 可见这节课教学目标就是如何引导学生发现本质属性。而教师对这个教学目标完全不明确,所以教学路线 图也完全不明确。 △这里又好象想初中一样先对正弦、余弦、正切定义,然后来说明它们都是函数;而对函数关系的阐释并不是用高中的函数定义。教师的的教学思路很不清晰,不知道每一步该怎么走,自己 都不明白自己每一步的用意是什么,完全是一壁糊涂1.教师学生自说自画 一直到p6的框格,对定义域的讨论更是糊涂帐。教师 时儿糊涂时儿清楚,在学生把x 当自变量,教师以为由x 来讨论角α取值范围,学 生说自己的。教师说教师