医学高等数学习题解答(1,2,3,6)

第一章 函数、极限与连续习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 题解(P27) 一、判断题题解 1.  正确。设h(x)=f(x)+f(x), 则h(x)= f(x)+f(x)= h(x)。故为偶函数。 2.  错。y=2lnx的定义域(0,+), y=lnx2的定义域(,0)∪(0,+)。定义域不同。 3.  错。。故无界。 4.  错。在x0点极限存在不一定连续。 5.  错。逐渐增大。 6.  正确。设，当x无限趋向于x0,并在x0的邻域内，有。 7.  正确。反证法：设F(x)=f(x)+g(x)在x0处连续，则g(x) =F(x)f(x)，在x0处F(x)，f(x)均连续，从而g(x)在x=x0处也连续，与已知条件矛盾。 8.  正确。是复合函数的连续性定理。 二、选择题题解 1.  2.  y=x  (C) 3.    (A) 4.    (B) 5.    (B) 6.    (D) 7.  画出图形后知：最大值是3，最小值是10。  (A) 8.  设,则，连续，由介质定理可知。  (D) 三、填空题题解 1.  2.  是奇函数，关于原点对称。 3.  ,。 4.  ,可以写成。 5.  设，， 6.  有界，，故极限为0。 7.  8.  ,而，得c=6, 从而b=6, a=7。 9.  10. 11. 设u=ex1， 12. 由处连续定义，，得：a=1。 四、解答题题解 1.  求定义域 (1)  , 定义域为和x=0 (2)  定义域为 (3)  设圆柱底半径为r，高为h，则v=r2h, ，则罐头筒的全面积，其定义域为(0,+)。 (4)  经过一天细菌数为，经过两天细菌数为,故经过x天的细菌数为，其定义域为[0,+)。 2.  ，，。 3.  ,。 4.  证明： 。 5.  令x+1=t, 则x=t1。 ，所以：。 6.  求函数的极限 (1)  原式=。 (2)  原式==。 (3)  原式==。 (4)  原式=。 (5)  原式==。（P289常见三角公式提示） (6)  原式=，令，则， 令，则，，原式=。 (7)  原式=== e3。 (8)  原式=== e2。 (9)  原式==。 (10) 令，则，原式=(填空题11)。 7.  ，，，， , = 8.  指出下列各题的无穷大量和无穷小量 (1)  ，为无穷小量。 (2)  ，为无穷小量。 (3)  ，为无穷小量。 (4)  ，为无穷大量。 9.  比较下列无穷小量的阶 ，，当x1时，1x与1x3是同阶无穷小。1x与是等阶无穷小。 10. 当x0时，x2是无穷小量，当x时，x2是无穷大量；当x±1时，是无穷小量，当x0时，是无穷大量；当x+时，ex是无穷小量，当x时，ex是无穷大量。 11. 。 12. ，，b=1，=1，a=1 13. ， 14. 设，，，由介质定理推论知：在(0,2)上至少存在一点x0使得，即。 15. 设，它在[0,a+b]上连续，且，，若，则a+b就是方程的根。若，由介质定理推论知：至少存在一点(0, a+b), 使得,即是的根。综上所述，方程至少且个正根，并且它不超过a+b。 16. (1)(g)；(2)(g)；(3)(周)。 17. 设，则F(x)在[a,b]上连续，，，由介质定理推论知：至少存在一点(a, b), 使得。即。所以与在(a,b)内至少有一个交点。 第二章 一元函数微分学习题题解(P66) 一、判断题题解 1.  正确。设y=f(x), 则 。 2.  正确。反证法。假设在x0点可导，则在x0点也可导，与题设矛盾。故命题成立。 3.  错。极值点也可能发生一阶导数不存在的点上。 4.  错。如图。 5.  错。拐点也可能发生二阶导数不存在的点上。 6.  错。不满足拉格朗日中值的结论。 7.  错。设, ，则：， 显然在点的导数为1，在点的导数不存在，而在点的导数为0。是可导的。 8.  错。设和，显然它们在(,+)上是单调增函数，但在点的导数为0，的导数不存在。 二、选择题题解 1.  设切点坐标为，则切线的斜率，切线方程为：过得，又有，解方程组得：，，切线方程为：。(A) 2.  可导一定连续。(C) 3.  连续但不可导。(C) 4.  因为。(B) 5.  ，在x=0处导数不存在，但y1在x=0处切线不存在，y2在x=0处切线存在。(D)。 6.  可导。(C) 7.  ，。(B) 8.  。(B) 三、填空题题解 1.  ,。 2.  3.  , 。 4.  。 5.  ，当时，，单调调减小。 6.  。 7.  ，，当时，由减变增，取得极小值。 8.  ，。 四、解答题题解 1.  2.  (1)不存在，在不可导。 (2)  ，在可导，且。 3.  不可导。 4.  过与两点的割线斜率为，抛物线过x点的切线斜率为，故，得，即为所求点。 5.  过点作抛物线的切线，设切点为，应满足方程，若方程有两个不等的实根x，则说明过点可作抛物线的两条切线。整理方程得：，当时，方程有两个不等的实根。也就是要满足即可。 6.  求下列函数的导数。 (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  7.  求下列函数的导数。 (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  8.  ，。 9.  求下列函数的导数。 (1)  ，， (2)  ，， (3)  ,，，，, (4)  ，, 10. 求下列函数的n阶导数。 (1)  ，，，…， (2)  ，，，，…， (3)  ，，，，…， 11. 求下列隐函数的导数。 (1)  ，， (2)  同填空题3。, 。 (3)  (4)  12. 求下列函数的微分。 (1)  (2)  (3)  (4)  13. 求、近似值。 (1)  设，则，取，，则，，故 (2)  设，则，取，，则，，故 14. 证明下列不等式。 (1)  设，则，在上单调递减。当时，，即，当时，，即，当时，，即，综上所述，当时，。 (2)  设,当时,,有,即；设,当时,,有,即；综上所述，当时，有。 (3)  设，则，当时,，有，即；当时,，有，即；综上所述。 15.  求下列函数的极限。 (1)  === (2)  ===…==0 (分子和分母分别求n阶导数，使n>q) (3)  = === (4)  == (5)  ==== ==== (6)  = 16. 证明下列不等式。 (1)  令,因为f (x)cosx10 (x0), 所以当x0时f(x)↘, f(x)f(0)0 sinxx ； 令g(x), 则：g(x)，g(x) sinxx,  g(x)= cosx10 (x0), 有g(x)↗ g(x) g(0)0g(x)↘, g(x)g(0)0g(x)↗g(x) g(0)0 sinxxx3/6。综上所述： xsinxxx3/6 (2)  令, f(x)在[0,1]连续且f(0)f(1)1，f (x) pxp1(1x)p1,令f (x)0得x=1/2为驻点。 f (x)p(p1)xp2(1x)p20,有极小值， 17. 确定下列函数的单调区间。 (1)  ，定义域(,+)，，令，解得，增减性如下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ： x (,) (,) (,+) y + 0 0 + y ↗ ↘ ↗ (2)  ，定义域(,+)，，令，解得，均是孤立驻点，故在(,+)单调递增。 x (,1) 1 (1,2) 2 (2,+) y + 0 0 + y ↗ ↘ ↗ (3)  ，定义域(,+)， =，令，解得，增减性如右表： x (1,0) 0 (0,+) y 0 + y ↘ 极小值 为0 ↗ 18. 求下列函数的极值。 (1)  ，定义域(1,+)，=，令，解得，极值见右表： x (0,) (,+) y 0 + y ↘ 极小值为 ↗ (2)  ，定义域(0,+)，=， 令，解得，极值见如右表： (3)  ，定义域(,0)∪(0,+)，，，令，解得，有极大值，有极小值。 19. 求下列函数在所给区间内的最大值和最小值。 (1)  是[1,1]上的连续函数，减函数且无驻点，但有一个不可导点，它不在[1,1]上，故，。 (2)  是[10,10]上的连续函数，此函数可用分段函数表示，，令，得：，，，，，比较得：，。 (3)  是[5,5]上的连续函数，此函数可用分段函数表示，分段点为，，，无驻点。，，比较得：，。 20. ，，，因为(1,3)为曲线的拐点，所以有，解之得：，。 21. ，，，令，解得，，，，可验证是曲线的三个拐点。下面论证此三点在一条直线上。只要证明过任意两点的直线的斜率相同即可。 ，，得证。 22. ，两端对t求导数： 23．设，， 。 24. (1)求出现浓度最大值的时刻：,,令，解得唯一驻点。， ===有极大值。也为最大值。 (2)求出现浓度变化率最小值的时刻：令，解得唯一驻点。 ,= ==有极小值。也为最小值。 25. 求何时达最大值。…①， …②， ，令，得：。 由，而w=341.5，由①得无解。 由，得：是唯一驻点。， 当时，，，，有极大值。也为最大值。 26. 讨论下列函数的凹凸性和拐点 x + 0 0 + y 凹 拐点 3/4 凸 拐点 3/4 凹 (1)  ，定义域(,+)，，，令，得，，列表讨论。 (2)  ,定义域(,+),,,令,得,,当 时,,曲线是凹的。当时,,曲线是凸的。拐点为：。 27. 讨论下列函数的单调性、极值、凹凸性、拐点和渐进线，并画出它们的大致图形。 (1)  ，定义域(,+)，是偶函数，，有水平渐进线，， x 0 + + + 0 + 0 0 0 + y 拐 点 极 大 拐 点 (2)  ，定义域(1,1)，是奇函数，，有垂直渐进线，无驻点，但当时导数不存在。，令，得。 x 1 (1,0) 0 (0,1) 1 无 + + 无 无 0 + 无 y 拐点 0 (3)  ，定义域(,+)，是奇函数，无渐进线。，，令，得驻点，令，得，列表讨论。,, x 0 + 0 0 + 0 + + + y 极 大 拐 点 极 小 (4)  ，定义域(,+)，是偶函数，无渐进线。，，令，得驻点，而，列表讨论。 x 0 0 + + + + y 极小 1 (5)  ，定义域(,+)，是奇函数，， =，有两条渐进线：。无驻点，，令，得 x 0 + 0 + + + y 拐点 0 (6)  ，定义域(,+)，是偶函数，，有一条水平渐进线y=,=，=，，。 x 0 无 + 无 y 极小0 28. 已知不在同一直线上的三点、和；试用表示ABC的面积。 解：由P55例42知：直线到的距离为：。那么，直线AB的方程为：，AB两点间的距离为：，ABC的面积= = = == 29. 椭圆的切线与x轴y轴分别交于A、B两点，(1)求AB之间的最小距离；(2)求三角形OAB的最小面积。 解：椭圆方程：…①如图。设切点坐标为，则…②，此点切线斜率为：，切线方程为：。 令，，坐标。 令，，坐标。 (1)  。可设，令，将②代入得：，代入①得驻点：，。 == =有极小值。 ，故AB之间的最小距离是。 (2) 可设面积，=， 令，得：，代入①得驻点：，(三角形边长取值应大于零)。 = = = ==有极小值。 ，故三角形的最小面积为ab。 第三章 一元函数积分学习题题解(P108) 一、判断题题解 1.  错。是原函数的全体，记作。 2.  错。的任意两个原函数之差为常数。 3.  错。是。 4.  正确。 5.  错。被积函数在x=0处无界。 6.  正确。， 7.  正确。被积函数是奇函数，积分区间对称。 8.  正确。 二、选择题题解 1.  被积函数是奇函数，积分区间对称，定积分为零。或= ==。(A) 2.  =+=+=。(A) 3.  正确的是C。 4.  =。(D) 5.  令，，==。(B) 6.  令，则，===。(D) 7.  =，=。(D) 或== 8.  ==，， ==。(B) 三、填空题题解 1.  === =。 2.  === 。 3.  ==。 4.  === 0。 5.  ===。 6.  ==。 7.  =。 8.  这是积分上限函数，由定理3知：，。 四、解答题题解 1.  分别对三个函数求导数，结果皆为，所以它们是同一函数的原函数。 2.  (1) 错。是不定积分。 (2) 错。是所有原函数。 (3) 正确。设是的一个原函数，则。 (4) 正确。因为积分变量不同，造成被积函数不同。 (5) 正确。因为时，。 3.  求下列不定积分 (1)  = (2)  = (3)  === (4)  == (5)  === (6)  === (7)  == (8)  == (9)  === (10) == (11) == (12) == (13) == (14) == (15) = 4.  求下列不定积分 (1)  == (2)  == (3)  == (4)  === (5)  == (6)  == (7)  = (8)  = (9)  == (10) == (11) == (12) == (13) == (14) === (15) == (16) == (17) ===(填空题5) (18) == (19) === (20) == (21) === (22) === (23) === (24) === (25) == (26) == (27) == (28) === (29) == (30) == (31) === (32) === == 5.  求下列不定积分 (1)  == = (2)  == == (3)  === (4)  === (5)  === (6)  === (7)  === (8)  === == (9)  == == (10) === = (11) == === (12) == (13) === (14) == = 6.  求下列不定积分 (1)  == (2)  === = (3)  === === (4)  ==== (5)  == = (6)  === (7)  ==== == (8)  === =，= (9)  == = (10) == = (11) === == (12) == = = (13) === = (14) === = 7.  求下列不定积分 (1)  ==== (2)  === (3)  == == == (4)  === (5)  === (6)  == == 8.  求下列不定积分 (1)  === (2)  == (3)  === == (4)  == (5)  === (6)  == 9.  将区间细分为n个小区间，在每个小区间上任取一点,，由于小区间的长度很小，可以近似地认为放射性物质在内是以速度均匀分解。 (1) 分解质量的近似值为： (2) 分解质量的精确值为：， 10. 用定义计算。yx2在[0,1]上连续，定积分存在。故可将[0,1]区间n等份： 0x0