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保域上矩阵可交换{1}-逆的线性映射.doc

保域上矩阵可交换{1}-逆的线性映射

张自敬
2017-12-20 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《保域上矩阵可交换{1}-逆的线性映射doc》,可适用于战略管理领域

保域上矩阵可交换{}逆的线性映射保域上矩阵可交换,,逆的线性映射第l卷第期年月哈尔滨理工大学JOURNALOFHARBINUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGYVoINoApr保域上矩阵可交换{}一逆的线性映射周洪玲,范广慧,苏在滨,卜长江(黑龙江工程学院数学系,黑龙江哈尔滨哈尔滨工程大学理学院,黑龙江哈尔滨)摘要:设F是一个特征不为且至少合有个元素的域令(F)为F上的几×rt全矩阵代数刻画了(F)上保持矩阵可交换{}一逆的线性映射的形式利用保幂等结论证明了为(F)上的保持矩阵可交换{l}一逆的非零线性映射,当且仅当存在PGL(F),使得'厂(A)=PAP,,VAM(F),=F或者存在PGL(F),使得A)=ePA'P,,VAM(F),=F关键词:域线性映射可交换{l}一逆中图分类号:文献标志码:A文章编号:()LinearMapsPreservingCommutative{}一InversesofMatricesoverFieldsZHOUHonging,FANGuanghui,SUZaibin,BUChangjiang(DepartmentofMa~ematics,HeilongjiangEngineeringCollege,Harbin,ChinaCollegeofScience,HarbinEngineeringUniversity,Harbin,China)Abstract:SupposeFisafieldofcharacteristicnotwithatleastfiveelementsLet(F)bethenX几fullmatrixalgebraoverFTheformsflinearmapspreservingcommutative{}一inversesofmatricesover(F)arecharacterizedUsingtheconclusionsofidempotentpreserving,itisprovedthatfisthenonzerolinearmapsfrom(F)to(F)preservingcommutative{}一inversesofmatrices,ifandonlyifthereexistsPGL(F),suchthat厂(A):PAP一,VA(F),=F,orthereexistsPGL(F),suchthatA)=ePA'P一,VAM(F),=FKeywords:fieldlinearmapcommutative{}一inverse线性保持问题是矩阵理论中活跃的研究领域J文在chF的情形下,给出了保持矩阵群逆的加法映射门拘形式文在chF=的情况下,刻画了保持矩阵群逆的可逆线性算子厂的形式以上两篇文献研究的不变量是矩阵的群逆,而本文研究的不变量是矩阵的可交换{l}一逆,在chF的情形下,刻画了(F)上保持矩阵可交换{}一逆的线性映射的形式收稿日期:基金项目:黑龙江省教育厅科学技术研究项目()作者简介:周洪玲(一),女,讲师,Email:zhouhonglingcorn范广慧(l一),男,副教授h长江(一),男,教授定义与记号定义设F是一个域,F为F中非零元素构成的集合,(F)为F上全矩阵代数对于任意一个矩阵A(F),如果(,)是矩阵方程AXA=A的解,则称是A的{l}一逆,用A'''表示矩阵A的所有{}一逆的集合设厂为(F)上的线性映射,哈尔滨理工大学第卷如果对于A(F),有XA【'且AmXA时,必有,()A)',且A)=厂(x)f(a),则称为保持矩阵可交换{}一逆的线性映射故设F是特征不为,且至少含有个元素的域设厂为从(F)到(F)所有保持矩阵可交换{}一逆的线性映射的集合GL(F)为一般线性群为n阶单位阵为tXt零矩阵,,表示自然数集合{,,…,n}表示(F)中的,位置是其余是的矩阵,Vi,E,nA为A的转置,trA表示A的迹,VA(F)引理引理设ql,q,q,q为F中四个不同的元素,若AqCqD=,=,,,,对A,,C,DEF(F)成立,则A=B=C=D=引理【'若A=A(F),则存在P倪(F)和非负整数r,使得A=Pdiag(Ir,…)P,,其中rankA=r弓l理若A=A^(F),贝存在PGL(F)和AlEMr(F),使得A=Pdiag(A,…)P,其中A=J,rankA=r引理设F是特征不为的域,若,F,则层)f()=f()f()=,Vi,,,,i证明:取口F,设A=层,X=E"口一E,Vi,j,n,『,贝XEA'且A=XA由AX=XA及厂F,有A)X)=x)f(a)即"n)E"aE)=nIEn)()由式()得(口一口)E)一),(E)=()因为F中至少包含个元素,可以取oF,使得口,由式()得EE)=EE)()由EE:,,厂厂,有E")露)',))'所以有)=E),)=)()取nF',由(E口层)(E)',V,,,,及F,可得E"口一)E")所以有EiEiE))()由式(),式()及chF,得口)E)f(E)=()因为F中至少包含个元素且chF~,取口为F中个不同的元素,由引理及式()得))=()所以有E)=厂()f(E)=))=故E))=,(E)=()引理设F是特征不为的域,若存在,n,使得E)=,~lJf=O证明:不妨设(曰)=,取口F,由(laE,)(Ell口El)',V,,,厂,有层llaE),(EI口El)',故,(E口,)=层lll,)()所以有af(Elf)=,(El,)分另取C,D,(F),即得E)l()同理E)=,Vi,n取口F,设=aEllff,A=l,一,VjE,n,则A',由厂厂,有,()A)',故Ax)f(a)=A)()由)=及式()得A)=一):故)=()如此继续得A)=O,VAM(F),故f=o引理设F是特征不为的域,若,E,,则(,)=,f(E)=ef(E),Vi,n,占=证明:若存在i,n,使得E)=,则由引理知,f=o所以层),Vi,由(E)''及,厂,有E))'",故,()=E)()由引理知,存在P(F),使得=P(吕)Pf其中A=lr令,(EP,XEF)第期周洪玲,等:保域上矩阵可交换{}一逆的线性映射(=X=Ol,l,Y=O,I(nrI),Z=D(一)l,()=(P且=w,w(F)w=Q(三)Qf,其中A:=J=()(:(O)(=其中P=P(QO,)GLcFEi)=e(Or,…一A…Or)P由十层(LxE)'",(十翘)(J一xE)=InxEqI一xE:l一xE,)双IRxE)因为ehF且F,由式()得J)E)=厂(Ef)I)()由f(IxE,)f(一xE,)u,南f(,ln一Ef(,lRxE,)fInxE:厂(LxE)()因I,厂,有,(J)厂(I),故(I,)=,)由式(),J):J)和式()得到E)一))一f))E)=由引理l得)I)=()E)=()由式()知,(I)=厂(,n),故厂()可逆,由()得E)=()由EE(E)',Vi,,n,i,,F,有E)E)故EE)=EEf)由此利用式(),(o),()及ehF,即得厂()I厂(E)Ef)I厂(E)E)E)E)设E):P(J')P,因厂(E)=iPEP,,其中{一,},于是有E")=P(E(口)E"(')(n)E)P()同理有f(E=f(,EzfEfE《fEfE七E,)),()=P((口)(口)…(口))P()由式(),()得f(E):P(口层)JP()由()及()有口口:o()则或o分两种情况考虑:)如果n'=,则)=口PEP()由式(),()及式()得口''(一,)=因占f,故口:因此Ef)=哈尔滨理工大学第l卷)如果口=,同以上讨论类似,同样可以得到,()=综合以上两种情况,有)=()同理可证)=()由露E(层一),V,,n,ijJF,南")E一)彀f{,EE一E,)fEEEii,)EEE,)=f{,EEE由式(),(),()及上式可得)=这与Vi,,)矛盾因此=,V,,n,i工进而有sl=s=…=:,其中占=故L)=L,(E)=EE),i,,其中=引理【设R为有交换的局部环,记R的单位元素乘群,E詹,则为冠一模(R)的保非零幂等的自同态的充要条件是存在PGL(R),使()=PXP,,V(R)或()=PX'P,,V(足),其中为之转置主要结果定理设F是特征不为的域,fE厂(n),当且仅当具有如下形式之一:存在PC,L(F),使得A)=sPAP,,VA(F),占=F存在PGL(F),使得(A)=PA'P一,VA^f(F),s=F证明:充分性显然,下面只证必要性首先证明,是保幂等的线性映射设,F,则由引理及引理有E)=E)层))=层E")=Vi,jE,厅,i因占{一},分两种情况讨论:)当=时,)=E)(),(冒"层)=)E)=()ViJ,n,i对于Va=A(F),由引理知,存在Q吼(F)和非负整数r,使得A=Qdiag(,,,一,)Q()其中rankA=r对于任意一个厂jr',令)=T(Qxt),V(F)()易知厂,由式(),式(o),式()和式(z)得A)=T(diag(L,一,))=((层))=r((E))=r(E)=A)所以厂为(F)上保幂等的线性映射,故有引理的形式之一)当s=一时,令g(A)=一f(A),V,(F),显然gEEF,由引理及引理有g(E)=g()g(E)g()=g()g()=同理类似),可得g有引理的形式之一结论本文解决的是线性映射保持矩阵的可交换{f一逆的问题若能在不同维数上或在F={,}上解决保持矩阵{}一逆的问题,将会更有意义若将线性映射变为加群同态,问题的难度和技巧性都将会大大增加参考文献:LICK,TSINGNKLinearPlerProblems:ABriefIntroductionandSomeSpecialTechniquesJLinAlgApp,,:CAOCGZHANGXLinearPi'ef~l'velsbetweenMatrixModulesoverConnectedCommutativeRingsJLinearAlgebraanditsAp~cation,OO:ZHANGX,CAOCG,BUCJAdditiveMapsPIeIvingMPInversesofMatricesoverFieldsJLinl~lultilinearAlg,,:I】卜长江,曹重光域E矩阵群逆的加法保持映射J数学研究与评论,OO,():郝立丽,曹重光保矩阵群逆的线性算子J黑龙江大学自然科学,O,():刘玉,张显保矩阵MP逆的线性算子【J南昌大学,,():华罗庚,万哲先典型群M上海:上海科技出版社,BUChangjiang,ZHOUHone,lingLinearMapsPIIgGroupInvig,rseofl~lalrieesoverFid~J数学研究,OO,():曹重光局部环上矩阵模的保幂等自同态J黑龙江大学自然科学,l,():(编辑:付长缨)…嘲

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