随机事件的概率

一、随机现象 1）必然现象：在一定条件下必然发生某种结果的现象叫做必然现象； 2）随机现象：在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象叫做随机现象； 3）试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验；把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次． 二、事件与基本事件空间 1）事件： ① 不可能事件：在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； ② 必然事件：在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件； ③ 随机事件：在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．通常用大写英文字母.来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示随机事件，简称为事件． 2）基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件；它包含所有可能发生的基本结果． 3）基本事件空间：所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用 表示． 三、频率与概率 1）频率：在相同的条件下重复 次试验，观察，某一事件 是否出现，称 次试验中事件 出现的次数 为事件 出现的频数，称事件 出现的比例 为事件 出现的频率． 2）概率的统计定义：一般地，在 次重复进行的试验中，事件 发生的频率 ，当 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件 的概率，记为 ． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率 满足： ． 当 是必然事件时， ，当 是不可能事件时， ． 3）频率与概率的区别： ① 频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象． ② 当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率． 四、概率的加法公式 1）互斥事件与事件的并： ① 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件． ② 事件的并：由事件 和事件 至少有一个发生（即 发生，或 发生，或 发生）所构成的事件 ，称为事件 与 的并（或和），记作 ． 2）互斥事件的概率加法公式 ① 若 、 是互斥事件，有 ② 若事件 两两互斥，有 ．事件“ ”发生是指事件 中至少有一个发生. 3）对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件 的对立事件记作 ．有 五、一条规律 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件． 一、事件及样本空间 【 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 干】在 个同类产品中，有 个正品， 个次品，从中任意抽出 个检验，据此列出其中的不可能事件，必然事件，随机事件． 【答案】（1）不可能事件： 件都是次品.（2）必然事件：至少有一件是正品.（3）随机事件: 件都是正品； 件正品， 件次品； 件正品， 件次品. 【解析】因为共有 个次品，从中任意抽出 个.所以，（1）不可能出现 件都是次品；（2）抽出的 个，至少有一件是正品；（3）抽 次会出现 种情况： 件都是正品； 件正品， 件次品； 件正品， 件次品.属于随机事件. 【点评】 【题干】将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数． （1）写出这个试验的基本事件空间和基本事件总数； （2）“两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件； （3）“两次点数之和为 ”这一事件包含了几个基本事件； （4）“两次点数之差为 ”这一事件包含了几个基本事件． 【答案】（1）这个试验的基本事件空间为 ，共 个基本事件； （2）“两次得到的点数相同”包含的基本事件有 ， 个； （3）“两次点数之和为 ”包含的基本事件有 ， 个． （4）“两次点数之差为 ”包含的基本事件有 ， 个． 【解析】略 【点评】 【题干】在天气预报中，如果预报“明天的降水概率为 ”，这是指（    ）. A．明天该地区约有 的地区降水，其它 的地区不降水 B．明天该地区约有 的时间降水，其它时间不降水 C．气象台的专家中，有 的人认为会降水，另外 的专家认为不会降水 D．明天该地区降水的可能性为 【答案】D； 【解析】概率是指某一事件发生的可能性，故选D． 【点评】 二、随机事件的概率 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率 【题干】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下： 投篮次数 进球次数 进球频率                                   （1）在表中直接填写进球的频率； （2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？ 【答案】（1）进球频率依次为： ， ， ， ， ， ， ， . （2） . 【解析】（1）进球的频率分别为： ， ， ， ， ， ， ， . （2）用频率来估计概率，频率一般都在 左右摆动. 【点评】 【题干】李老师在某大学连续 年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课 年来的考试成绩分布： 成绩 人数 分以上 分～ 分 分～ 分 分～ 分 分～ 分 分以下     经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)（1） 分以上；（2） 分～ 分；（3） 分以上． 【答案】（1） ；（2） ；（3） . 【解析】人数总数为 ，那么 分以上的概率为 ； 分～ 分的概率为 ； 分～ 分的概率为 ； 分～ 分的概率为 ； 分～ 分的概率为 ； 分以下的概率为 .所以， 分以上的概率为 . 【点评】 【题干】袋子中装有编号为 的 个黑球和编号为 的 个红球，从中任意摸出 个球． （1）写出所有不同的结果； （2）求恰好摸出 个黑球和 个红球的概率； （3）求至少摸出 个黑球的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1） （2）记“恰好摸出 个黑球和 个红球”为事件 ，则事件 对应的基本事件为 ，共 个基本事件，所以 答：恰好摸出 个黑球和 个红球的概率为 （3）记“至少摸 出 个黑球”为事件 ，则事件 包含的基本事件为 ，共 个基本事件，所以 答：至少摸出 个黑球的概率为 【点评】 三、互斥事件与对立事件及其概率 互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件同时发生的概率；实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力． 【题干】若 ， 互斥， ， ，则 ________. 【答案】 【解析】根据题意， ， 互斥， ， . 【点评】 【题干】 某商场有奖销售中，购满 元商品得 张奖券，多购多得， 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 个，一等奖 个，二等奖 个．设 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 、 、 ，求： （1） ； （2） 张奖券的中奖概率； （3） 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 【答案】（1） ；（2） ；（3） . 【解析】（1） ， ， . （2） 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“ 张奖券中奖”这个事件为 ，则 ， ∵ 、 、 两两互斥， . （3）设“ 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事 ，则事件 与“ 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， . 【点评】 【题干】抛掷一枚骰子，记事件 为“落地时向上的数是奇数”，事件 为“落地时向上的数是偶数”，事件 为“落地时向上的数是 的倍数”，事件 为“落地时向上的数是 或 ”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（  ） A． 与   　B． 与   　C． 与   　D． 与 【答案】C 【解析】 与 是对立事件； 与 可同时发生，不是互斥事件； 与 不是互斥事件；选项C满足条件． 【点评】 四、高考汇编 【题干】（2014江西）随机将 ，这 个连续正整数分成 ， 两组，每组 个数， 组最小数为 ，最大数为 ； 组最小数为 ，最大数为 ，记 ， . （1）当 时，求 的分布列和数学期望； （2）令 表示事件 与 的取值恰好相等，求事件 发生的概率 ； （3）对（2）中的事件 ， 表示 的对立事件，判断 和 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）           （2） （3）见解析 【解析】（1）当 时， 所有可能值为 ， ， ， .将 个正整数平均分成 ， 两组，不同的分组方法共有 种，所以 的分布列为：           （2） 和 恰好相等的所有可能值为 ， ， ， ，又因为 和 恰好相等且等于 时，不同的分组方法有 种； 和 恰好相等且等于 时，不同的分组方法有 种； 和 恰好相等且等于 时，不同的分组方法有 种；所以当 时， ，当 时， （3）由（2）当 时， 因此 ，而当 时， ，理由如下： ，等价于 ①用数学归纳法来证明： 当 时，①式左边 ，①式右边 ，所以①式成立. 假设 时①式成立，即 成立那么，当 时，①式左边 ①式右边，即当 时①式也成立，综合 得，对于 的所有正整数，都有 成立. 【点评】 【题干】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 ．现安排甲组研发新产品 ，乙组研发新产品 ．设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求至少有一种新产品研发成功的概率； （2）若新产品 研发成功，预计企业可获利润 万元；若新产品 研发成功，预计企业可获利润 万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）记 =｛甲组研发新产品成功｝， =｛乙组研发新产品成功｝.由题设知 ， ， ， ，故所求的概率为 . （2）设企业可获利润为 （万元），则 的可能取值为 ， ， ， .因 ，  ，  ， 故所求的分布为：           数学期望为： 【点评】 【题干】（2014江西）随机将 ，这 个连续正整数分成 ， 两组，每组 个数， 组最小数为 ，最大数为 ； 组最小数为 ，最大数为 ，记 ， . （1）当 时，求 的分布列和数学期望； （2）令 表示事件 与 的取值恰好相等，求事件 发生的概率 ； （3）对（2）中的事件 ， 表示 的对立事件，判断 和 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）           （2） （3）见解析 【解析】（1）当 时， 所有可能值为 ， ， ， .将 个正整数平均分成 ， 两组，不同的分组方法共有 种，所以 的分布列为：           （2） 和 恰好相等的所有可能值为 ， ， ， ，又因为 和 恰好相等且等于 时，不同的分组方法有 种； 和 恰好相等且等于 时，不同的分组方法有 种； 和 恰好相等且等于 时，不同的分组方法有 种；所以当 时， ，当 时， （3）由（2）当 时， 因此 ，而当 时， ，理由如下： ，等价于 ①用数学归纳法来证明： 当 时，①式左边 ，①式右边 ，所以①式成立. 假设 时①式成立，即 成立那么，当 时，①式左边 ①式右边，即当 时①式也成立，综合 得，对于 的所有正整数，都有 成立. 【点评】 【题干】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 ．现安排甲组研发新产品 ，乙组研发新产品 ．设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求至少有一种新产品研发成功的概率； （2）若新产品 研发成功，预计企业可获利润 万元；若新产品 研发成功，预计企业可获利润 万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）记 =｛甲组研发新产品成功｝， =｛乙组研发新产品成功｝.由题设知 ， ， ， ，故所求的概率为 . （2）设企业可获利润为 （万元），则 的可能取值为 ， ， ， .因 ，  ，  ， 故所求的分布为：           数学期望为： 【点评】 【题干】（2014江西）随机将 ，这 个连续正整数分成 ， 两组，每组 个数， 组最小数为 ，最大数为 ； 组最小数为 ，最大数为 ，记 ， . （1）当 时，求 的分布列和数学期望； （2）令 表示事件 与 的取值恰好相等，求事件 发生的概率 ； （3）对（2）中的事件 ， 表示 的对立事件，判断 和 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）           （2） （3）见解析 【解析】（1）当 时， 所有可能值为 ， ， ， .将 个正整数平均分成 ， 两组，不同的分组方法共有 种，所以 的分布列为：           （2） 和 恰好相等的所有可能值为 ， ， ， ，又因为 和 恰好相等且等于 时，不同的分组方法有 种； 和 恰好相等且等于 时，不同的分组方法有 种； 和 恰好相等且等于 时，不同的分组方法有 种；所以当 时， ，当 时， （3）由（2）当 时， 因此 ，而当 时， ，理由如下： ，等价于 ①用数学归纳法来证明： 当 时，①式左边 ，①式右边 ，所以①式成立. 假设 时①式成立，即 成立那么，当 时，①式左边 ①式右边，即当 时①式也成立，综合 得，对于 的所有正整数，都有 成立. 【点评】 【题干】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 和 ．现安排甲组研发新产品 ，乙组研发新产品 ．设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求至少有一种新产品研发成功的概率； （2）若新产品 研发成功，预计企业可获利润 万元；若新产品 研发成功，预计企业可获利润 万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）记 =｛甲组研发新产品成功｝， =｛乙组研发新产品成功｝.由题设知 ， ， ， ，故所求的概率为 . （2）设企业可获利润为 （万元），则 的可能取值为 ， ， ， .因 ，  ，  ， 故所求的分布为：           数学期望为： 【点评】