二四年全国高中数学联合竞赛试题

全国高中数学联合竞赛 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、设锐角 使关于x的方程 有重根，则 的弧度数为（    ） A.         B.         C.         D. 2、已知 。若对所有 ，则b的取值范围是（    ） A.     B.     C. D. 3、不等式 的解集为（    ） A.         B.             C.         D. 4、设O点在 内部，且有 ，则 的面积与 的面积的比为（    ） A. 2                B.             C. 3                D. 5、设三位数 ，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（    ） A. 45个            B. 81个            C. 165个            D. 216个 6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心， ，垂足为B， ，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（    ） A.             B.             C.             D. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、在平面直角坐标系xoy中，函数 在一个最小正周期长的区间上的图像与函数 的图像所围成的封闭图形的面积是________________。 8、设函数 ，且对任意 ，则 =_____________________。 9、如图、正方体 中， 二面角 的度数是____________。 10、设p是给定的奇质数，正整数k使得 也是一个正整数，则k=____________。 11、已知数列 满足关系式 ，则 的值是__________________。 12、在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当 取最大值时，点P的横坐标为___________________。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13、一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于 ，则算过关。问： （Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？ （Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？ （注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。） 14、在平面直角坐标系xoy中，给定三点 ，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。 （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）若直线L经过 的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。 15、已知 是方程 的两个不等实根，函数 的定义域为 。 （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）证明：对于 ，若 。 全国高中数学联合竞赛试题参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、解：因方程 有重根，故   得 ，于是 。  故选B。 2、解： 相当于点（0，b）在椭圆 上或它的内部 。        故选A。 3、解：原不等式等价于 设     解得 。 即 。        故选C。 4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点， 则 由（1）（2）得， ， 即 共线， 且 ， 故选C。 5、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即 （1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为 ，由于三位数中三个数码都相同，所以， 。 （2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为 ，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有 。但当大数为底时，设a>b，必须满足 。此时，不能构成三角形的数码是 a 9 8 7 6 5 4 3 2 1 b 4，3 2，1 4，3 2，1 3，2 1 3，2 1 1，2 1，2 1 1                       共20种情况。 同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有 种情况。 故 。    综上， 。 6、解： 。C是PA中点， 最大， 也即 最大。 此时， ， 故选D。 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、解： ，它的最小正周期为 ，振幅为 。由 的图像与 的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为 、宽为 的长方形，故它的面积是 。 8、解： = 即 。 9、解：连结 ，垂足为E，延长CE交 于F，则 ，连结AE，由对称性知 是二面角 的平面角。 连结AC，设AB=1， 则 中， ， 在 的补角， 。 10、解：设 ，从而 是平方数，设为 。（负值舍去） 11、解：设 即 故数列 是公比为2的等比数列， 。 12、解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为 S（a，3－a），则圆S的方程为： 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当 取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足 解得  a=1或a=－7。    即对应的切点分别为 ，而过点M，N， 的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以 ，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等 （Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而 ，因此，当 时，n次出现的点数之和大于 已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关。                                                                .......5分 （Ⅱ）设事件 为“第n关过关失败”，则对立事件 为“第n关过关成功”。            第n关游戏中，基本事件总数为 个。 第1关：事件 所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况）， 过此关的概率为： 。 第2关：事件 所含基本事件数为方程 当a分别取2，3，4时的正整数解组数之和。即有 （个）。 过此关的概率为： 。                        ........10分 第3关：事件 所含基本事件为方程 当a分别取3，4，5，6，7，8时的正整数解组数之和。即有 （个）。 过此关的概率为： 。                    .........15分 故连过前三关的概率为： 。        ........20分 （说明：第2，3关的基本事件数也可以列举出来） 14、解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为 。点 到AB、AC、BC的距离依次为 。依设， ，即 ，化简得点P的轨迹方程为 圆S：             ......5分 （Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分 圆S：                 ① 与双曲线T：         ② 因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。 的内心D也是适合题设条件的点，由 ，解得 ，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为 ③ （i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线 平行于x轴， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分 （ii）当 时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况： 情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率 ，直线L的方程为 。代入方程②得 ，解得 。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。 故当 时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。                        ......15分 情况2：直线L不经过点B和C（即 ），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组 有且只有一组实数解，消去y并化简得 该方程有唯一实数解的充要条件是         ④ 或                     ⑤ 解方程④得 ，解方程⑤得 。 综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集 。        ......20分 15、解：（Ⅰ）设 则 又 故 在区间 上是增函数。                                    .......5分 ......10分 （Ⅱ）证：         ....15分 ，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立， ......20分 继续阅读