《超级画板》第三篇代数运算

《超级画板》第三篇代数运算 顾名思义，《超级画板》以画为主。但数理学科中的画不是一般的画，是科学的画。动态的图像， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现出的是数量的关系。以形表数，以数御形，形数结合，是所有动态几何软件的灵魂，超级画板中这个特点尤其突出。 其实，超级画板已经突破了动态几何的框架，发展成为集动态图形与动态计算于一体的逻辑动漫平台。把数和代数式的运算掌握好，有助于运用超级画板作出更具启发性的作品。在教学中也有助于把相对抽象的代数知识，用具体的图像呈现出来。 一 赋值语句和定义函数 超级画板中的赋值语句和数学中常用的一样，用等号。要给a赋值5，可在英文输入状态键入 a=5; 这里，分号表示一个语句的结束。注意，在中文状态下键入的分号是不行的！ 执行程序的操作 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，是把鼠标的光标放在分号后面，按着Ctrl键打Enter键(这是超级画板程序工作区中执行程序的操作方法，以下只说“执行”，不再解释)，计算机返回： >>5 # （计算机执行下面的语句时，从这个# 后开始阅读，所以这个#是有用的） 这是计算机对所执行的程序的回答，叫做“返回”表示已经将a 赋值为5. 不信你再键入： a+3; 执行后返回 >>8; # 这说明计算机已经知道a的当前值是5. 如果要让a的值增加2，可键入 a=a+2; 这行命令的含义是把a 的当前值加2后作为a 的新值，我们知道这是赋值语句. 执行后返回： >> 7 # 这表明a的当前值已经改变为7. 如不放心，要确认, 可键入 a; 执行后返回 >>7 # 现在将b 赋值为6, 键入“b=6;”， 执行，于是a、b都被赋值, a=7,b=6。 例1 编写一段程序，使a、b交换所赋的值。 解  要有第3个变量作为过渡，才能实现交换. 程序为： c=a; a=b; b=c; 执行上述程序（鼠标的光标放在最后一行的分号后面，用Ctrl+Enter键执行），再检查一下，a和b的当前值是不是已经交换了？ 例2 圆台上下底半径分别为a=3, b=7,高h=4; 编写一段程序计算圆台体积V. 解 程序为 a=3; b=7; h=4; V=π*(a^2+b^2+a*b)*h/3; 注意，在程序语言中一般用*表示乘号，不能省略。执行后返回 >> (316*pi)/(3) # 这里pi表示圆周率π。上面有4句程序语句，前面的几句计算机只执行而不显示其返回值；最后一句才显示返回值。如果希望每一句都显示返回值，只有写一句执行一句了。 《超级画板》的程序工作区在缺省情形作符号计算，把圆周率π作为符号处理。若要求出近似值来，可以执行一个做浮点计算的命令： Float(1); 返回为： >> 计算结果显示浮点数 # 再执行计算V的命令： V=π*(a^2+b^2+a*b)*h/3; 这回的返回就是近似值： >> (316*pi)/(3)=330.914 # 想要回到符号计算，则执行： Float( ); 返回为： >> 计算结果不显示浮点数 # 这时再执行V=π*(a^2+b^2+a*b)*h/3; 又会返回“(316*pi)/(3)”。 上面的运行情形，保存为文件“3-1赋值语句.zjz”，如图3-1。 图3-1 你会想，直接键入 “V=π*(3^2+7^2+3*7)*4/3;”，执行后不是一样吗，何必先给a、b、h赋值呢？ 先给a、b、h赋值的好处在于，如果要计算其他圆台的体积，只要复制这段程序，把前面的数据改一下就可以执行，而不必改动公式中的数据. 如果所用的公式比较复杂，这样先赋值再用公式计算的优越性就很明显了. 如果想再方便一些，可以把这段程序做成一个计算圆台的体积的函数. 为此只要键入 V(a,b,h){ π*(a^2+b^2+a*b)*h/3;} 执行后返回： >>V(a,b,h) # 这说明，函数V(a,b,h)的定义已经完成. 这里，V叫做函数名，a、b、h叫做变元或参数；花括弧中的语句，可以是1行或几行，叫做函数体；这是定义函数的一般方法。 要使用这个函数计算上下底半径分别为a=2, b=5,高h=6的圆台的体积，只要键入 V(2,5,6); 执行后就会返回答案，即78*pi。 例3 编写一个由三角形三边a、b、c计算其面积m的函数程序. 解  使用海伦公式，即秦九韶的三斜求积公式，可写成下列函数程序： m(a,b,c){s=(a+b+c)/2; (s*(s-a)*(s-b)*(s-c))^(1/2);} 执行后就建立了函数m(a,b,c)；要计算三边长为5、6、7的三角形面积，只要键入 m(5,6,7); 执行即可. 例4 编写解二元一次方程组的程序，并用来解下列方程组。 解 一般的二元一次方程组的形式是 (ad-bc≠0) 用消元法解此方程组，得到 ， 据此，可以分别写出计算x,y的函数程序： x(a,b,c,d,e,f){(e*d-b*f)/(a*d-b*c);}  y(a,b,c,d,e,f){(a*f-c*e)/(a*d-b*c);} 执行后就建立了二元一次方程组求解函数. 要解例中的具体问题，只要执行： x(3,2,4,-3,5,18); 就得到3, 即x=3; 若执行 y(3,2,4,-3,5,18); 则得到 -2, 即y=-2. 上面的例子的运行结果，保存为文件“3-2定义函数”，见图3-2。 图3-2 我们看到，赋值语句虽然简单，用它还是可以做不少事的。 上面所举的例子，都是把数字赋予字母变量. 其实，也可以将字母或数学表达式赋予字母变量。如果键入 a=1+y; 执行后返回 >> y+1 # 再键入 a^3; 执行后得到 >> # 例5 把 (x+y+z) 的9次方的展开式看成y的多项式，写出求其中y7项的系数的程序. 解 函数Coeff(f,u,k) 可以求出多项式f 中u的k次项的系数, 使用它容易写出所要程序： p=(x+y+z)^9; Coeff(p,y ,7 ); 执行后返回 >> 36*x^2+72*x*z+36*z^2# 如果要求(x+2y+xy)的9次方的展开式中x5y8项的系数，可以两次调用函数Coeff: q=(x+2*y+x*y)^9; A=Coeff(q,x,5); Coeff(A,y,8); 执行后返回： >> 10080 # 要注意的是，把表达式赋值给变量后，表达式中的符号的赋值并不能影响该变量。也就是说，该变量所代表的表达式得到了“保护”。例如，把变量b赋值为u+2后，再给u赋值为2，这时u+2的值为7，但变量b仍保持u+2的形式。因此，不宜通过变量赋值来作多次代换。需要作代换，可以使用定义函数的方式。 下面的操作说明把表达式赋值给变量后，表达式中的符号的赋值并不能影响该变量： b=u+2; >> u+2 # b; >> u+2 # u=7; >> 7 # b; >> u+2 # u+2; >> 9 # b-(u+2); >> u-7 # 这时u-7为0，但仍写成u-7，就是为了保持b的形式。 如果定义B(u)=u+2, 则B(x)=x+2，这是赋值和函数的不同。 上面的运算过程保存为文件“3-3把表达式赋值给变量.zjz”，如图3-3。 图3-3 二 乘幂和代数式的运算 《超级画板》提供了符号计算的功能，并且把符号计算和公式书写联系在一起。使用这些功能，可以帮助学生建立有关乘幂和代数式运算的基本概念，以及验算 练习题 用券下载整式乘法计算练习题幼小衔接专项练习题下载拼音练习题下载凑十法练习题下载幼升小练习题下载免费 或习题的计算结果。例如，讲乘幂的概念时，在程序工作区作图3-4所示的计算，就容易理解了(参看本书配套资源中的文件3-4乘幂的运算.zjz)。 图3-4 图中左边是程序工作区，是实际运算的地方。双斜杠“//”表示后面一行是注解，不参加运算。运算命令要再英文输入状态下键入，用英文分号“;”结尾。鼠标的光标放在分号后，按着Ctrl键击Enter键执行运算命令，在“>>”号后面就是运算的结果，叫做“返回”。 记住，指数前用“^”号，乘法用“*”号，除法和分数线用“/”表示。 如果你找不到程序工作区，可以执行菜单命令“查看|工具栏|程序工作区”，使程序工作区显示出来。 如图所示，当你在程序工作区作计算时，你输入的文字符号和计算结果，都会在作图区的一个文本框里以通常的格式显示出来。不过，“*”号仍然不变。要想把它省略或改成空格，改成普通的乘号或圆点，可以用右键单击文本框，在右键菜单中单击“属性”打开属性设置对话框，在文本栏下面选择用什么代替“*”号，如图3-5。 图3-5 对文本框里显示的公式可以进行编辑，或复制。直接双击文本框，也能进入编辑状态， 并且也能复制。复制后，单击上方工具栏里的文本生成图标，打开新的文本输入对话框，可以将复制的内容粘贴并编辑。图3-4左下方的文本框，就是复制后粘贴编辑的结果。 有时可能需要把《超级画板》生成的文本公式或图形粘贴到其它地方，例如Word文档或wps文档之中，就要用另外的复制方法了。一个方法是直接使用“屏幕拷贝”，也就是按一下“PrtSc”(PrintScreen )键，然后打开Windows的附件中的“画图”工具，执行其菜单命令“编辑|粘贴”，生成屏幕拷贝的图片（BMP或JPG格式）供剪裁备用（注：此处有一个小技巧，当按住Alt键，再按“PrintScreen”键，则只会拷贝屏幕的当前活动窗口）。。另一个方法是，先选择所要的文本或图形，再按Ctrl+C键或用鼠标单击上方工具栏里的“复制”图标，就把它变成图元格式(Emf格式)并复制到Windows的剪贴板上了。然后打开Word文档，按Ctrl+V键或用鼠标单击上方工具栏里的“粘贴”图标即可。但是，这样复制得到的公式有时会变形，不如屏幕拷贝的图片美观。 使用程序工作区的符号运算功能，还可以用来说明更多的运算法则。如图3-8，这是文件3-4乘幂的运算.zjz的第二页。图中右边的文本框已经过编辑。 图3-6 在“程序区”里输入下面的运算式子，每输入一个式子，执行一次，最后的运行情形如图3-7所示；参看本书配套资源中的文件“3-5探索函数性质.zjz”。 f(x){x^2+1;} f(2); f(-2); f(a); f(b); f(a+b); g(x){a*x^2+b*x+c;} g(0); g(1); g(-b/(2*a)); 图3-7                    图3-8 [习题3-2] 在课本上找更多的例题和习题，在程序工作区计算验证。 三 解方程和方程组 （1）探索根与系数关系 在“程序区”里输入下面的运算式子，每输入一个式子，执行一次，最后的运行情形如图3-8所示；参看本书配套资源中的文件“3-5探索函数性质.zjz”的第二页。 F(a,b,c,x){a*x^2+b*x+c;} A=F(a,b,c,u); B=F(a,b,c,v); (A-B)/(u-v); F(a,-(a*u+a*v),c,u); (u+v)^2-4*u*v; Factor(u^2-2*u*v+v^2); p=-(u+v); q=u*v; p^2-4*q; Factor(p^2-4*q); 我们假设已知u、v是a*x^2+b*x+c=0的两个根,u≠v,a≠0，该怎样来两根之积与两根之和呢？当得到a*u+a*v+b=0时，即u+v=-b/a；再将b=-(a*u+a*v)代入F(a,b,c,u)可得u*v=c/a； 我们假设已知a*x^2+b*x+c=0的两根之积与两根之和分别是呢-p和q，该怎样来求两个根呢？关键就在于求出两根之差。设u、v是a*x^2+b*x+c=0的两个根，则u+v=-p, u*v=q. 当求出(u-v)^2=p^2-4*q时，要注意开方有正负。 （2）解二元一次方程组 。 在“程序区”里输入下面的运算式子，每输入一个式子，执行一次，最后的运行情形如图3-9所示；参看本书配套资源中的文件“3-6解二元一次方程.zjz”。 A=3*x+2*y-5; B=4*x-3*y-18; 4*A-3*B; 3*A+2*B; D2(a,b,c,d){a*d-b*c;} d=D2(3,2,4,-3); x=D2(5,2,18,-3)/d; y=D2(3,5,4,18)/d; 图3-9 上面我们用两种解法得出：y=-2，x=3。前者是利用系数相消，高等数学中的克莱姆（Cramer）法则,读者可以利用函数的嵌套计算余子式，尝试解一个三元一次方程组。（提示：D2(a,b,c,d){a*d-b*c;}，D3(a1,b1,c1,a2,b2,c2,a3,b3,c3)，{a1*D2(b2,c2,b3,c3)+a2*D2(b3,c3,b1,c1)+a3*D2(b1,c1,b2,c2);}）。 （3）方程和方程组课件制作 从本节开始，我们逐步学习如何从用《超级画板》创作的文档中读出制作方法。 打开本书配套资源中的文件“3-7方程和方程组.zjz”, 其第一页如图3-10: 图3-10 按照右上方的说明“顺次单击红蓝绿白按钮”，则屏幕上顺次出现“一元一次方程的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式…”,“一元一次方程的求解方法”和例子。 拖动右上方标有“调整a”和“调整b”字样的变量尺，可以改变例子中的数据。这种“动态数据显示”的方法，在本篇第一小节有所介绍。这里是一个复习的机会。 如果复习后还吃不准，不妨看看这块文本的输入。不过这块文本被一个多边形覆盖，不好选择。要克服这个困难，只需在对象工作区单击编号为28的“多边形”前的小方框， 把多边形隐藏掉，再双击这块文本，便可看到输入的文字，如图3-11。 图3-11 这里的测量数据m000,m001和m002又是什么呢？ 在对象工作区单击编号为12，13和14的“测量…”前的小方框，把隐藏的测量数据显示出来。但是，从测量数据文本中仍然看不出所测量的是什么。这是因为，数据文本中的数据名是可以编辑修改的。为了把测量数据的来历测地查出来，只能看它的属性表。例如，右键单击m000的测量数据，再在右键菜单中单击“属性”，打开该测量数据的属性对话框，如图3-12，在记号$$$的下面，就是被测量数据的表达式。而上面一行中等号的前面，则是测量数据文本框里显示的名字。无论是表达式还是显示的名字，都是可以编辑修改的。 图3-12 在这里看到，m000的表达式为floor(a)+3*sign(2,a)*sign(a,-1)。仔细分析这个表达式可知，当-11时该文本显示，否则隐藏。附带说明，例子的文本框里用了多色，“动态alpha”参数功能失效，就又用一个白色的多边形来覆盖它。当t>3时，多边形透明，例子就显示出来了。 总之，使用免费版本的《超级画板》，由于不能从菜单直接生成隐藏显示按钮，就要在“动态alpha”参数方面下点功夫。关于用文本命令制作隐藏显示按钮的方法，后面在第7篇中有所介绍。 同一个文件的第二页，如图3-15，给出了用二元一次方程组解鸡兔同笼问题的过程。 图3-15 拖动下方变量尺上的滑钮，可以调整题目中的数字，提供更多的练习题。 制作类似这样的作品，要注意题目中数据应当满足的条件，不要让问题是去意义。这里，只要鸡和兔的数目都是非负整数就可以了。设置变量尺的变化范围可以让基本变量取非负值，用floor函数可以取整数。 这一页只有10个对象，测量数据和文本形式都能查清楚。注意，方程组前面的大括弧是用控制符“$fc{ }”生成的。“fc”是“方程”之意，花括弧内是要显示的一些表达式，两个表达式之间用分号“；”隔开，注意用英文输入下的分号。 文件的第三页是一元二次方程求根公式的表述。如图3-16。 [习题3-3] 查清楚图3-16中有关对象的数目和生成方法，参考这些方法，自己设计并制作一个讲解或复习一元二次方程求根公式的课件或学件。 图3-16 这里的难点，是对应于判别式的值，如何显示出有关方程实根的不同结论。 附带提一句，判别式记号△可用清华紫光中文输入法附带的软键盘里的特殊符号或希腊字母作出。 四 等差数列和等比数列 使用《超级画板》，不但能快速准确地计算等差数列和等比数列的任意指定的项和若干项的和，还能用图形直观地表示数列的第n项及前n项的和随n的增长而变化的趋势。并且可以调整首项、公差和公比，作全面的动态观察和分析。 打开本书配套资源中的文件”3-8等差数列.zjz”, 如图3-17。 图中有一排竖直的粗线段，每根线段表示数列的一项。线段的长度表示对应项的绝对值。在x轴下方的红色线段表示对应的项为负值。灰色的虚线线段表示从a0 到an 这n+1项的和Sn 的大小。 直接拖动y轴上的点a0 可以改变首项a0 的大小，这里设置它只取整数值。单击红色和绿色按钮，可以使公差d取值为1/k或k；而k为-5到5之间的整数，其值可以用变量尺来调整。 可以看出，图3-17中所画出的等差数列公差为0.5。当前计算出了对应于n=30的项和从a0 到an 这31项的和Sn。拖动n的变量尺上的滑钮可以调整n值来计算所要求的项和对应的和。也可以启动动画让n由0开始增长，依次求出各项。 从图上看出，公比为正的等差数列依直线型增长，而其前n+1项和则依抛物线型增长。 图3-18是公差为负数的情形。 图3-17 图3-18 这个文件中的图形和数据看来比较复杂，但只要步步为营地做起来，难度并不大。下面按文件中的顺序列出主要的操作步骤。 1. 用文本作图功能作对象[5]，[6]，[7]，[8]，[9]，[10]，顺次为：坐标点a0=(0,floor(a))； 坐标点d=(0,d)； 变量尺x；坐标点 C=(floor(x), floor(a)+d*floor(x))，D=(floor(x),0)； 注意将a0 拖动参数设置为a；将C, D的拖动参数设置为x；连线段CD； 2. 测量m000=floor(x), 显示数据名为n；测量m001=点a0的y坐标，显示数据名为a0；编号分别为[11],[12]； 3. 作变量d的两个动画，变化范围一个是1/floor(k)到1/floor(k)，一个是floor(k)到floor(k)；频率设置为1，类型都是“一次运动”；编号分别为[13],[14]； 4．测量floor(k), 显示数据名为k；用文本作图命令作k的变量尺；测量点d的y坐标，命名为d；编号分别为[15],[16],[17]； 5．自点C向y轴引垂足，命名为an；连接点C和an成线段；编号分别为[18],[19]； 6．用文本作图命令Locus(8, , , ,10 )作线段CD的轨迹，频率设置为52，变量范围设置为0到50；编号为[20]； 7．测量点C的y坐标，命名为an；测量表达式(m001+m006)*(1+m000)/2，命名为Sn；编号为[21],[22]； 8．把点C和点a0连接得线段[23]；该线段交x轴于点[24]；再隐藏线段[23]； 9．用文本命令作坐标点E=(floor(x), (floor(a)+d*floor(x)/2)*(floor(x)+1)/10)；连线段DE；编号为[27],[28]； 10．用文本作图命令Locus(9, , , ,28 )作线段DE的轨迹，频率设置为52，变量范围设置为0到50；编号为[29]； 11. 用文本作图命令Locus(9, , , ,27 )作点E的轨迹，频率设置为52，变量范围设置为0到50；编号为[30]； 12. 作点E到y轴的垂足，命名为Sn/10；编号为[32]；垂线段编号为[33]。 上述步骤省略了几个次要的对象，所以编号不全。对照文件中的对象列表，就知道省略了哪些对象。 对文件做一些修改，可得关于等比数列的课件。如图3-19，图3-20和图3-21。参见“3-9等比数列.zjz”。 图3-19    图3-20 图3-21      对照画面，细心的读者会提出疑问：图中线段CD的轨迹，为何有两种颜色呢？ 这是因为我们为线段CD设置了动态颜色。要知道具体的设置方法，不妨把线段CD的属性对话框打开，单击上方“画笔”按钮打开画笔设置栏，便可看到这里已经点选了“动态颜色”，如图3-22。 图3-22 要进一步了解设置动态颜色的方法，再单击“动态颜色”，打开“动态颜色”对话框，如图3-23： 图3-23 对话框下部三行可填的栏目，分别是红(Red)绿(Green)蓝(Blue)三种颜色的饱和度。 第三行是0，说明没用蓝色。把前两行复制出来，分别是： sign(0,floor(a)+d*floor(x))*255 sign(floor(a)+d*floor(x),0)*255 里面的floor(a)+d*floor(x)正是数列中某一项的值。当它为正时，第一行为0，第二行等于255，线段CD为绿色；反之为红色。线段CD的轨迹继承CD的颜色，所以会变色。 我们还可以编程求出数列各项，如图3-24，3-25所示，参见文件“3-10等差数列数据表”和“3-11等比数列数据表”。 图3-24 图3-25 [习题3-4] 参考上述两个课件，制作一个关于等比数列的类似课件。 五 复数和向量的运算 复数的有关概念和复数的运算，都有鲜明的几何意义。在《超级画板》的注册版本中，可以使用菜单命令方便地用几何图形表示复数的运算。但是，在文本作图的对话框里，找不到有关复数的作图的函数。为了使用免费版本的读者的方便，本节将补充几个有关的函数。 文件“3-12有关复数的概念.zjz”的图形虽然简单，但右方的测量却涉及了有关复数的基本概念，如图3-26。 图3-26 单击“文本命令”按钮，可以看到作图时用到的函数。其中有些是文本作图对话框的函数列表中查不到的，说明如下： Z=ComplexPoint(a+b*i,a,b,Z);（作代表复数a+bi的点Z ， a、b为拖动参数） B=ComplexConjugate(Z,B); （作代表Z的共轭复数的点B） MeasureComplex(Z); (测量复数的代数形式) MeasureTfForm(Z); （测量复数的三角形式） MeasureReal(Z); （测量复数的实部） MeasureImage(Z); （测量复数的虚部） MeasureAbs(Z); （测量复数的模） MeasureArg(Z); （测量复数的幅角的主值） 上面这些作图或测量命令中，使用的都是代数语言。图上显示的另一些测量，则使用了几何语言；两相比较，可以帮助理解有关复数的这些概念的几何意义。 文件“3-13复数的四则运算.zjz”中，展示了两个复数的和、差、积、商的几何意义。如图3-27，图上画有代表两个复数Z1和Z2的点和向量。单击按钮“+”，图上出现表示两复数之和Z的点和向量。容易看出，复数的加法和向量的加法一样，满足平行四边形法则。 单击按钮“－”，图上出现表示两复数之差W的点和向量。 单击“还原”按钮，表示和与差的点和向量隐藏。单击“×”按钮，图上出现表示两复数之积X的点和向量和一些测量数据。这时从画面上不容易看出复数的积的几何意义。但从测量数据中可以看出复数的积的模和幅角与相乘的两复数的模和幅角的关系。类似地，单击“÷”按钮，图上出现表示两复数之商Y的点和向量和一些测量数据。 图3-27 单击“文本命令”按钮，可以了解有关复数的四则运算的作图函数名： Z=ComplexPlus(Z1,Z2,Z); （作代表复数和Z1+Z2的点Z） W=ComplexMinus(Z1,Z2,W); （作代表复数差Z1-Z2的点W） X=ComplexMult(Z1,Z2,X); （作代表复数积Z1×Z2的点X） Y=ComplexDiv(Z1,Z2,Y); （作代表复数商Z1÷Z2的点Y） 其他命令都是已经用过的或在文本作图对话框里有的。 从文件“3-14复数的乘方.zjz”和“3-15复数的方根.zjz”中，可以看到复数的乘方和方根的几何特征。图3-28显示出表示复数Z=a+bi 的2次到10次乘方的点和向量。当Z的模大于1时，乘方的模随次数的增加而增大，当Z的模小于1时，乘方的模随次数的增加而变小。两种情形下，乘方的幅角总等于次数与底数的乘积。 图3-28 图3-29显示出表示一个复数Z的5次方根的点；他们共有5个，恰是一个正五边形的5个顶点。拖动点Z，可以使这个正五边形放大缩小或旋转。一般说来，表示一个复数Z的n次方根的点有n个；当n>2时，恰是一个正n边形的n个顶点。通过测量，不难验证图上的五边形是正五边形。 图3-29 查看文件中的文本命令，又多知道两个作图函数： ComplexPow(Z,n, );  (作出表示复数Z的n次乘方的点，n是非负整数)  ComplexSqrt(Z,n,k,); (作出表示复数Z的第k个n次方根的点，k=0,1,…,n-1)  [习题3-5] 只用菜单命令和文本对话框里的函数，如何作出本节中几个文件中的动态图形？ [第三篇的小结] 为了用动态几何图形直观地表示代数运算的规律或结果，需要知道一些方法。本篇介绍了几种常用的操作方法。 （1） 刻度尺的制作方法。如果画许多垂直线段作为刻度，十分繁琐；并且由于对象较多，也影响图形拖动时的流畅。这里介绍了用线段的轨迹作刻度的操作方法，方便多了。 （2） 含有动态数据的文本输入方法，也就是控制符号$bl{}的用法。 （3） 同一个文本对象中，改变字体颜色的方法，也就是控制符号$ys{}的用法。 （4） 使线段的轨迹改变颜色的设置方法。 （5） 利用动态alpha参数制作控制对象隐藏和显示的方法。 按照说明操作，把文件中的动画自己制作一遍两遍，上述方法自然就会了。 在介绍复数的运算时，引进了几个在文本对话框里没有列入的作图或测量函数。这些函数也可以用其他几何作图或测量函数代替，不过有了专用的函数更方便些。