立体几何(命题人:黄埔区教育局教研室

立体几何(命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 人:黄埔区教育局教研室 zxsx127@163.com 2007.5 1．（人教A版，必修2．P17．第4题） 图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称． 正视图 侧视图 图1 俯视图 变式题1．如图1－1是一个几何体的三视图（单位：cm） （?）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （?）求这个几何体的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积及体积； （?）设异面直线 ,,与所成的角为，求． AABCcos,, A,AA 132,BBBC正视图 侧视图 ,CC 1 ,AA13,BB 俯视图 图1－1 解：（?）这个几何体的直观图如图1－2所示． （?）这个几何体是直三棱柱． 由于底面22A,AB,，,112A的高为1，所以． ,ABC ,CC故所求全面积SSSS,，，22 ,,,,,ABCBBCCABBA2 ,3BB 1图1－2 2(cm),，，，，，，，，,，22132232862． 2 系列资料 版权所有@ WWW.ZXSX.COM zxsx127@163.com 13,(cm)这个几何体的体积 VSBB,,,，，，,2133,ABC2 （?）因为,,,,,,，所以与所成的角是． AAAABB//BC，BBC 2222 在,,,,,,中，， RtBBC,BCBBBC,，,，,3213 ,BB33 故cos13,,,,． ,BC1313 2．（人教A版，必修2，P20．例3） 如图2，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图． PP ,,OO OO 正视图 侧视图 俯视图 变式题2－1．如图2－1．已知几何体的三视图（单位：cm）． 图2 （?）画出它的直观图（不要求写画法）； （?）求这个几何体的表面积和体积． PP 2222 ,,OO 22 22 OO 正视图 侧视图 俯视图 图2－1 系列资料 版权所有@ WWW.ZXSX.COM zxsx127@163.com 解（?）这个几何体的直观图如图2－2所示． （?）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm，高为3cm）． 22所以所求表面积(cm)， S,，，，，，，，,,,,,1212127 P13223所求体积,，，，，，，,，,,,,V12132(cm)． 33 ,变式题2－2．如图2－3，已知几何体的三视图（单位：cm）． O（?）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （?）求这个几何体的表面积及体积； （?）设异面直线AQ、所成角为，求．（理科考生） PDO,cos,1 图2－2 PQP 22 AB1D1A11 22 22AABD 正视图 侧视图 DC11 1 PQ 12AB11 俯视图 图2－3 解：（?）这个几何体的直观图如图2－4所示． （?）这个几何体可看成是由正方体 ACBCQADP,及直三棱柱的组合体． 11111 由ADAD,,2，， PAPD,,2Q1111P D1C1可得PAPD,． 11A1B1故所求几何体的全面积 2122(cm)S,，，，，，，，,，52222222242 ，，C2D所求几何体的体积 E A2B133(cm)V,，，，,22210 图2－4 ，，2系列资料 版权所有@ WWW.ZXSX.COM zxsx127@163.com （?）由，且，可知， PQCD//PQCD,PDQC// 故AQ，AQC为异面直线、所成的角（或其补角）． PD11 22222由题设知，， AQABBQ,，,，,226AC,，,322311111 取中点，则，且， QEBC,QE,3EBC 22222QCQEEC,，,，,3110． 222，,AQQCAC11由余弦定理，得 ,，,coscos,AQC1,2AQQC1 6101215，, ． ,,152610, 3．（北师大版．必修2．P31．第4题） 如图3，已知E，F分别是正方体ABCDABCD,CCAECF,AA的棱和棱上的点，且，1111111 求证：四边形EBFD是平行四边形 1 D1C1 FA1B1 DCE AB 图3 变式题：如图3－1．已知ABCDABCD,CCAA、分别是正方体的棱和棱的中点． EF111111（?）试判断四边形EBFD的形状； D11C1（?）求证：平面AEBFD,BBD平面． 1B1111F E解（?）如图3－2，取DAMBB的中点，连结、． MMF11C A?CCBB、分别是和的中点， MFB11图3－2 //?D， MFBC1,11C1 F在正方体AABCDABCD,中，有 1B11111 系列资料 DCE A 版权所有@ WWW.ZXSX.COM B图3－1 zxsx127@163.com ////MFADADBC， ?， 111111,, ?四边形AMFD是平行四边形， 11 //?AMDF． 11, 又AABB、分别是、的中点， EM11 //?AEBM， 1, ?四边形AEBM为平行四边形， 1 //?EBAM． ,1 //故EBDF． ,1 ?四边形EBFD是平行四边形． 1 又?， RtEAB,RtFCB, ?， BEBF, 故四边形EBFD为菱形． 1 （?）连结BDEBFDAC、、． ?四边形为菱形， EF1111?EFBD,． 1 在正方体ABCDABCD,中，有 1111BDAC,， 1111 BDAA, 111 ?BD,AACC平面． 1111 又AACC平面， EF,11 ?EFBD,． 11 又BDBDD,， 111 ?BBD平面． EF,11 又EBFD平面， EF,系列资料 1 版权所有@ WWW.ZXSX.COM zxsx127@163.com EBFD,BBD故平面平面 111 4．（人教A版，必修2，P74．例2） 如图4，在正方体ABCDABCD,ABABCD中，求直线与平面所成的角． 1111111 DC11 B1 A1 DC AB图4 变式题：如图4－1，已知正四棱柱 ABCDABCD,中，底面边长D11111C1 BBCCCBB，侧棱的长为4，过点作的的垂线交侧棱于点AB,2BA11111 EBC，交于点． EF1FDC（?）求证：AC,平面； BED1 AB 图4－1 （?）求AB与平面所成的角的正弦值． BDE1 解：（?）如图4－2，以zDDx为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直DDAyDC1 角坐标系Dxyz,． ?DABCABCD(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),(0,2,4),(0,0,4)． 1111 设Et(0,2,)，则． BEtBC,,,,,(2,0,),(2,0,4)1 z?BEBC,，?． BEBCt,,，,,404011D1C1 B?A1BE,,(2,0,1)E(0,2,1)，?，． t,11 E又， ACDB,,,,(2,2,4),(2,2,0)1FDyC?且． ACBE,,，,,4040ACDB,,,，，,440011ABx图4－2 系列资料 版权所有@ WWW.ZXSX.COM zxsx127@163.com 且． ACDB,ACBE,11 ??且．?平面． BDEACBD,ACBE,AC,111 （?）由（?）知是平面的一个法向量，又， BDEAC,,,(2,2,4)AB,,(0,2,4)11 ACAB,3011?． cos,ACAB,,116||||ACAB11 30?AB与平面所成角的正弦值为． BDE16 5．（人教A版，必修2，P87，第10题） 如图5，已知平面，且是垂足，试判断直线与,,,,,,,,,,ABPCPDCD,,,,ABCD的位置关系？并证明你的结论． ,P B C, D A 图5 变式题5－1，如图5，已知平面,,,，且,,,,,,,ABPCPDCD,,,,是垂足． ,（?）求证：平面； AB,PCD P（?）若PCPDCD,,,1,2,，试判断平面与平面,的位置关 DC系，并证明你的结论． AB变式题5－1，如图5，已知平面Q,,,， , 图5－1 且,,,,,,,ABPCPDCD,,,,是垂足． （?）求证：平面； AB,PCD （?）若PCPDCD,,,1,2,,，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论． 解（?）因为PCAB,,,,,，所以．同理． PDAB,PCAB, 又PCPDP,，故平面． AB,PCD （?）设与平面的交点为，连结、． ABDHHPCDCH 因为ABCHABDH,,,平面，所以， AB,PCD系列资料 版权所有@ WWW.ZXSX.COM zxsx127@163.com 所以是二面角的平面角． ，CHDCABD,, 2220又PCPDCD,,,1,2，所以，即． CDPCPD,，,2，,CPD90 0在平面四边形中，， ，,，,，,PCHPDHCPD90PCHD 0所以． ，,CHD90 故平面平面． ,,, 变式题5－2．如图5－1，已知直二面角,，与平面、所成的角,,,,ABPQPQ,,,,,,, 0都为，． PQ,430, P 为垂足，为垂足． PCABC,,QDABD,, CDAB（?）求直线PQ与所成角的大小； CD EQ,（?）求四面体PCDQ的体积． 图5－2 //解：（?）如图5－2，在平面CEDQ内，作，连结、．则四边形为平行四,QECDQEPE, //边形，所以EQCD，即，PQE为直线PQ与所成的角（或其补角）． CD, 因为,,,,,,,,,ABPCAB． 所以PC,,QD,,．同理． 000又,，,PQC30，,QPD30PQ与平面、,所成角为，所以，，所以30 3100CQPQ,,，,cos30423，DQPQ,,，,sin3042． 22 22在EQ,22RtCDQ,中，CDCQDQ,,,,,12422，从而． 因为QDAB,CDQE，且为平行四边形， 所以EQCE,． 又PCEQ,,,,,EQPC,，所以． 故EQ,EQPE,平面，从而． PCE 系列资料 版权所有@ WWW.ZXSX.COM zxsx127@163.com EQ222在中，． RtPEQ,cos，,,,PQEPQ42 0所以，,PQE45， 0即直线与所成角的大小为． PQ45CD 0（?）在PQPQC,，,4,30中，，所以． RtPCQ,PC,2 11三角形的面积， CDQSCDDQ,,,，，,22222,CDQ22 故四面体的体积 PCDQ 114． VSPC,,,，，,2222,CDQ333 6．（人教A版，必修2，P87，B组第1题） 如图5，边长为2的正方形ABCD中， （1）点是的中点，点是的中点，将,,AEDDCF,分别沿DEDF,折起，使AC,EABFBC ,,两点重合于点，求证：． ADEF,A 1（2）当,时，求三棱锥的体积． BEBFBC,,AEFD,4 ,ADA EDE CFBFB 图6 变式题．如图5－1，在矩形ABADE,,2,1,中，是的中点，以为折痕将AE,DAEABCDCD ,,向上折起，使为，且平面平面． DDDAE,ABCE （?）求证：,； ADEB, （?）求直线,与平面所成角的正弦值． ABDAC ED,CD EC AABB 图6－1 系列资料 版权所有@ WWW.ZXSX.COM zxsx127@163.com 22解（?）在中，， RtBCE,BEBCCE,，,2 22在,,,AEDADE,，,2中，， RtADE, 2222?， ABBEAE,,，2 ?． AEBE, ?平面,平面，且交线为， AED,AEABCE,D?,平面． BE,AED ?,,平面， AD,AED ?,． ADBE,GCE（?）设与相交于点，由（?）知BEFAC ,， ADBE,F?,,， ADED,AB ?,,平面， AD,EBD图6－2 ?,,平面， AD,AED ?平面,,,平面，且交线为， ABD,EBDBD 如图6－2，作,,，垂足为，则平面， ABDFGBD,GFG, 连结,，则是直线与平面所成的角． ABDAG，FAGAC 12EFEC1由平面几何的知识可知EFEB,,，?． ,,33FBAB2 22522在AFAEEF,，,，,2中，， RtAEF,93 ,26FGDE在FG,,中，,，可求得． RtEBD,9,FBDB 26 FG309?sin，,,,FAG． AF1525 3 30?直线,与平面所成的角的正弦值为． ABDAC15 系列资料 版权所有@ WWW.ZXSX.COM