用构造法求数列的通项公式

娄底蓝圃学校 卢立新 中心词：归纳，猜想，构造 数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法倍受高考命题者的青睐,历年来都是高考命题的热点,求数列的通项公式更是高考重点考查的内容，作为常归的等差数 列或等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造来形成 等差数列或等比数列，之后再应用各自的的通项公式求解。 例1:（06年福建高考题）数列,,a中,a,1,a,2a，1则a, n1n，1nn ( ) nnnn，1 A．22，12,12 B． C． D． 解：a,2a，1 n，1n ？a，1,2a，2,2(a，1) n，1nn ，1an，1？,2a，1,2 又 1，1an ,,a，1是首项为2公比为2的等比数列 n n,1nna，1,2,2,2,？a,2,1,所以选C nn 归纳 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ：若数列,,a,pa，q(p,1,qa满足为常数），则令n，1nn a，,,p(a，,)来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。 ,n，1n 例2：数列,,a,1,a,3,a,3a,2aaa,中，，则 。 12n，2n，1nnn解：a,a,2(a,a) n，2n，1n，1n ,,？a,a？a,a,2 为首项为2公比也为2的等比数列。 nn,121 n,1a,a,2， nn,1 ,(,)，(,)，，(,)，aaaaa？？aaannn,1n,1n,2211 n,1n,2,2，2，，2，1 ？？ n1,2n,,2,11,2 小结：先构造,,a,a等比数列，这是化归思想的具体应用，再用叠加法求出通n,1n 项公式，当然本题也利用了等比数列求和公式。 例3：（必修5教材69页） 已知数列,,a,5,a,2,a,2a，3a,(n,3)a中求这个数列的通项公式。 12nn,1n,2n 解：？a,2a，3a nnn,2？a，a,3(a，a) nn,1n,1n,2又,,a，a,7,a，a形成首项为7，公比为3的等比数列， 12nn,1 n,2则a，a,7，3………………………? nn,1 又a,3a,,(a,3a)， nn,1n,1n,2 ,,a,3aa,3a,,13，形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列 nn,121 n,2 则a,a3,(,13),(,1)………………………? nn,1 n,1n,1 ?4a,7，3，13,(,1)? ，3，n 713n,1n,1 ？a,，3，(,1) n44 小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确 定出数列的通项公式。 例4：（2008四川省高考题） n设数列,,S,若b,a,2,(b,1)Sa的前项和为成立，求证：当nnnn n,1,,b,2时,a,n,2是等比数列。 n n,1,b,a,2,(b,1)a,？a,2111 n证明：当 又？b,a,2,(b,1),S………………………? nn n，1 ？b,a,2,(b,1),S………………………? n，1n，1 n?—? b,a,b,a,2,(b,1),a n，1nn，1 n？a,b,a，2 nn，1 n当a,2a，2时，有 b,2nn，1 nnnn,1？a,(n，1)，2,2a，2,(n，1)，2,2,(a,n,2) n，1nn 1,1又a,2,1 1 n,1？,,a,n,2为首项为1，公比为2的等比数列， n n,1n,1n,1a,n,2,2,？a,(n，1),2 nn 小结：本题构造非常特殊，要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造 等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。 n，1例5：数列,,a,3,a,2a，3,2aa,满足，则 nn1n，1n nn,1n，1n,1A．(3n,1),2(6n,3),23(2n,1),2(3n,2),2 B． C． D． aan，1n，1n解：,2，3，2,？,，3？aa n，1nn，1n22 aaa3n，n11 ？,,3,又, n，n12222 a,,3n 构成了一个首项这，公差为3的等差数列， ？,,n22,, a33n ？,，(n,1)，3,3n, n222 3n,1n,1 所以选B。 a,2，2,(3n,),(6n,3)，2n2 aann，1小结：构造等比数列，注意形，当时，变为。 n,n，1nn，122 2例6：已知函数,,f(x),(x，2),(x,0)an，又数列中，其前项和a,2n1 ,为,,S,S,f(S)(n,N)an，对所有大于1的自然数都有，求数列的通项nnn,1n 公式。 22解： ？f(x),(x，2),S,f(S),(S，2)11nn,n, ？S,S，2,？S,S,2nn,1nn,1 ？S,a,211 ,,是首项为2，公差为2的等差数列。 ？Sn 2。 S,2，(n,!)2,2n,？S,2nnn 22a,S,S,2n,2(n,1),4n,2时， n,21nnn, 且当a,2,4，1,2时， 符合条件 n,11 ？a,4n,2通项公式为 n 例7：（2006山东高考题） 2已知a,af(x),x，xa,2n,1,2,3,？？，点（）在函数的图象上，其中求nn，11 数列,,a的通项公式。 n 2解：？f(x),x，2x 又？(a,a)在函数图象上 nn，1 2 a,a，2a1，nnn 22 a，1,a，2a，1,(a，1)1n，nnn ？lg(a，1),2lg(a，1)，1nn lg(a，1)，1n,2,？lg(a，1),lg31lg(a，1)n ,,lg(a，1)是首项为公比为2的等比数列 lg3n n,1n,12 lga,2,lg3,lg3n，1 n,12 ？a，1,3n n,12 a,3,1n 小结：前一个题构造出为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通Sn 项公式，后一个题构造,,，，lga，1为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的n 综合运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有 关知识，以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。 n，1n例8：(2007天津高考题)已知数列,,a,2,a,,a，,，(2,,),2a满足，n1n，1n *（）其中，求数列的通项公式 n,N,,0 方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求,,an 的通项公式提供方便，一切问题可迎刃而解。 n，1n解：a,,a,，，(2,,),2,(n,N*,,,0) n，1n aa22n，1nn，1n？,，(),()，1 n，1n,,,, aa22n，1nn，1n？,(),,()，1,。 n，1n,,,, aaa222，，，，n，n1n，n11 ,(),,(),1,？,,0n，1n,,,,,,,,,,，，，， 所以 a2,,nn所以为等差数列，其首项为0，公差为1； (),,,n,,,, a2nnnn？,(),n,1,？a,(n,1),，2 nn,, an例9：数列,,a中，若a,2，，则a, a,n，114n1，3an21683A． B． C． D． 191554 1，311aann解：,,？,,，3 ？an，11，3aaaann，1nn ,,1111 又是首项为公差3的等差数列。 ,,？,,2a2a1n,, 1156n,52,，(n,1),3,3n,,,？a, na2226n,5n 22？a,, 所以选A 46，4,519 2an变式题型：数列,,aa,中，，求 a,2,a,n1，1nn1，3an ，2a13a1311nn解：？,？,,，, a,，1n，13aa2a22an，1nnn 111,3？令，,,(，,),则,,,？,,,3 aa222n，1n 11115？,3,(,3),又,3,, a2aa2n，1n1 ,,115是首项为公比为的等比数列 ？,3,,,22an,, 151151n,1n,1,3,,(),？,3,() aa2222nn 1 a？,n51n,13,()22 小结:a,f(a)且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加n，1n 常数成等比数列，发散之后，两种构造思想相互联系,相互渗透，最后融合到一起。 总之，构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式，是求通项公式的重要方 法也是高考重点考查的思想，当然题是千变万化的，构造方式也会跟着千差万别,要 具体问题具体 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，需要我们反复推敲归纳，从而确定其形式，应该说构造方法的 形成是在探索中前进，在前进中探索。 参考文献《中学教材全解》 《五年高考，三年模拟》 《专题攻略》