偶数阶幻方矩阵行列式的研究

偶数阶幻方矩阵行列式的研究 企肥学院(自然科学版)JournalofHefeiUniversity(NaturalSciences) 2010年2月第20卷第l 偶数阶幻方矩阵行列式的研究 汪潘义 (1.合肥学院数理系,合肥230601;2.河海大学商学院,南京210098) 摘要:针对偶数阶幻方矩阵的一种构造,运用Matlab软件对4,6阶幻方矩阵行列式 进行了研究,并用矩阵的初 等变换方法对所有偶数阶幻方矩阵的行列式的进行了研究,证明出所有偶数阶幻 方矩阵的行列式都等于零. 关键词:偶数阶;幻方矩阵;初等变换;行列式 中图分类号:O157文献标识码:A文章编号:1673—162X(2010)01—0023—04 StudyontheDeterminantAboutMagicSquareofEvenRank WANGPan-yi, (1.DepartmentofMathematicsandPhysics,HefeiUniversity,Hefei230601; 2.SchoolofBusiness,HohaiUniversity,Nanjing210098,China) Abstract:Fortheeven-ordermagicsquarematrixofakindofstructure,4,6一 ordermagicsquarematrix determinanthavebeenstudiedbyuseofMatlabsoftware,andusedofelementarymatrixtransf ormation methodforalleven— ordermagicsquarematrixthedeterminantoftheconductoftheresearch,toprove thatoutalleven—ordermagicsquarematrixdeterminantisequaltozero. Keywords:evennumberrank;magicsquare;elementarytransformation;determinant 在高等数学的学习中,矩阵作为高等代数的一个重要组成部分,有着广泛的研究与 应用.而矩阵中的 一 类特殊形式——幻方,及对它的研究,这些年来也受到专业人士越来越多的重视.文献[1—2]给出了偶 数阶幻方矩阵的构造,文献[1—5]给出了奇数阶幻方矩阵的构造,文献[6]给出了任意阶幻方矩阵的构 造,文献[7]研究了奇数阶幻方矩阵的一些性质,文献[8]研究了偶数阶幻方矩阵的一些奇妙性质,但无一 例外都没有研究偶数阶幻方矩阵行列式的性质,故针对文献[1]给出的偶数阶幻方矩阵的一种构造, 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 了偶数阶幻方矩阵的行列式,并进行了证明. 1偶数阶幻方矩阵的定义及构造 1.1偶数阶幻方矩阵的定义 n阶幻方矩阵是指1到,t.这个n自然数摆成一个方阵,使每一行,每一列,对角线上的数字相加都有 同样的和.若n为偶数时,此时的幻方矩阵为偶数阶幻方矩阵. 1.2偶数阶幻方矩阵的构造 4n+2阶幻方矩阵的构造是由奇数幻方矩阵的构造演变而来,而4n阶幻方矩阵的构造与之不同,下面 先构造奇数阶幻方矩阵. 作2n+1阶幻方矩阵如下:2川:(2n+1)A2川+2+日2川, 收稿日期:2009—07—06修回日期:2009—12—28 基金项目:教育部高校教学研究中心重点项目(FIB070335一A2—12),安徽省教育厅教学研究重点项目(2008jyxm138),安 徽省教育厅自然科学重点基金项目(KJ2008Al40),安徽省高校省级自然科学项目(KJ2009B245Z),合肥学院自然科学研究 项目(08KY022ZR)基金资助. 作者简介:汪潘义(1970一),男,安徽怀宁人,合肥学院数学与物理系副教授,河海大学商学院2008级博士研究生. 24合肥学院(自然科学版)第20卷 c第n+列作轴对称得到,日= f?]. F4 : I3 l8 [【; r331r5 llIL33JL5 [88][ 91『221 9J【22j ] :] 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 一个由2阶块组成的满足相等条件的6阶方阵A,每个2阶块由0,l,2,3组成, A6= 【【 r031r0【 12J【2 【[ ][ i] ] 设计的顺序是:先确定中间的块[]使它的两条对角线元素之和都为3,再填写它的 右边和下面的块使 已确定的3块满足相等条件,剩下的6块每两块作为一组(其中第(1,1)与(1,2)块为 一组,第(2,1)与 (3,1)块为一组,第(1,3)与(3,3)块为一组),让每组分别满足关于行和列的相等条件, 并兼顾对角线的 相等条件. 将A的9倍与B相加,就得到一个满足条件的6阶幻方: =9A6+B6= 41327 3122l8 33O5 122123 26l728 35810 36292 920l1 142534 32167 11524 19633 仿照6阶幻方可以对任意奇数?1构造出4+2阶幻方.与构造6阶幻方时的类似, 在任一2n+l阶 幻方:()(…)中每个元素换成2阶块『1,可以得到一个满足相等条件的4n+2阶方阵 LJ 曰m,以构造6阶幻方时的A为中心向各方向扩展,可以得到一个由2阶块组成的 满足相等条件的4n+2 阶方阵A棚,其中每个2阶块由0,1,2,3组成的2阶方阵,如下: rl112l3] Am=l23l, L,j 列 — t 习的 司 中 正 于 关 + A 将 是 + , 为 素 元 大 最 中 其 , 1??,??????j 12 一一n l1 n一+ n —..........................L = +h A 中 苴一 = 68 Tr 1?????J 276 951 第1期汪潘义:偶数阶幻方矩阵行列式的研究 其中的A就是构造6阶幻方时的6阶方阵,M全部由2阶块[]组成,M.,,.全部由2 阶块 ]组成全部由2阶块]组成全部由2阶块】组成一M全部由2阶块成, M32全部由2阶块【]组成. 1.2.24n阶幻方矩阵的构造 『81213] 4阶幻方矩阵=++日=I:三1.1I, 2偶数阶幻方矩阵的行列式 2.14n+2阶幻方矩阵的行列式 6阶幻方矩阵用Matlab软件或用初等变换的方法都可求得Jl=0 由4n+2阶幻方矩阵的构造法得: X4+2=(2n+1)A4+2+B4+2=(2n+1) [ [ [ [ + 其中0?{1,2,…,(2+1)}. 对矩阵作变换:第1列减去第2列,第4n+1列减去第4n+2列,则X4作变换得: 1_____J ++ n 220口 ++ nn 2200 .-__________L 1_____J 00 口0 —-__-._______L 1l__?IJ 22 ++ n 22 o 22 ^^ ++ 22 0o ?.........L 1l????J ++ 22 十+ 440口 +十 nH 22 ++ 44 00 ?.........L 26合肥学院(自然科学版)第2O卷 (2n+1) ] ; [】 + 由于第l列与第4n+1列元素行对应成比例,故f蜀+f=0. 故得证:2k(k为奇数)阶幻方矩阵的行列式都为0. 2.24阶幻方矩阵的行列式 4阶幻方矩阵用Matlab软件或用初等变换的方法都可求得IX4l=0. 由4阶幻方矩阵的构造法得: : (2n)A4+B4= fo.(2n+1)21 l0口川J 其中C?{[】??t,2,…,4n2),?,2,…,4n? 每个矩阵看成4×4阶方块矩阵,对矩阵作变换:第1行减去第2行,第4n一1行减去第4凡行,易知,第 1行和第4n—l行对应成比例,故有ll:0. 综上所述:所有偶数阶幻方矩阵的行列式都等于0. 3结束语 对于文献[1]构造出的偶数阶幻方矩阵的行列式已经证明出其行列式都等于0,至于其他方法构造出 的偶数阶幻方矩阵的行列式,笔者用Matlab数学软件验证了l00以内的偶数阶幻方矩阵的行列式也都等 于0,其他方法构造出的偶数阶幻方矩阵的行列式是不是都等于0,是一个值得研 究的课题! 参考文献: [1]李尚志.线性代数精彩应用案例:之一[J].大学数学,2006,22(3):6-8. [2]BrualdiRA.组合数学[M].冯舜玺,罗平,裴伟东,译.北京:机械工业出社,2001:6-7. [3]RouseBallWW.MathematicalRecreationsandEssays[M].NewYork:Macmilllian,196 2:193221. [4]曹小琴.奇数阶幻方的一种构造法及其个数[J].浙江师范大学:自然科学版,1999,22(4):9-11 [5]赵丽华.幻方的简易合成[J].太原理工大学,2003(4):496-499. [6]龚奇夫.构造任意阶幻方的一种构造方法[J].淮南师范学院:自然科学版,2002,4(2):4-6. [7]汪潘义,代诗平.神奇的奇数阶幻方[J].合肥学院:自然科学版,2007,17(4):20—23. [8]汪潘义,张霞.偶数阶幻方矩阵的一些奇妙性质[J].韩山师范学院,2007,28(6):8-11. [9]汪潘义,张霞.奇数阶幻方通项公式的推导[J].合肥学院:自然科学版,2009,19(3):1-4. [责任编校:张永军] ++ 1__II?Jn O0.0 r_______..L00 ; ; + A;A A;A 2