第二章 通信信源模型和M/M/1排队系统－习题
答案
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2-1 验证性质2-4，并且说明性质2-1和性质2-4一致。
解：两个独立的Poisson过程，参数为
和
。根据定理2－2，两个Poisson过程的到达间隔为参数
和
的负指数分布
,
。下面说明混合流的到达间隔，设参数
的Poisson流为红球，参数为
的Poisson流为黑球。
不妨设这个时刻到达为黑球，则下一个黑球的到达间隔为
，而下一个红球到达间隔为
的残余分布，由于间隔服从负指数分布，故此残余分布于原始分布一致。
所以，混合流的到达间隔服从
,也就是参数为
的负指数分布。
性质2－4的验证
（1）
是一个以
为参数的负指数分布
（3）
2-2 验证M/M/1的状态变化为一个生灭过程。
解：M/M/1排队系统在有顾客到达时，在时间
内从状态k转移到k+1（k>=0）的概率为
，
为状态
的出生率；
当有顾客服务完毕离去时，在时间
内从状态k转移到k-1（k>=1）的概率为
，
为状态
的死亡率；
在时间
内系统发生跳转的概率为
；
在时间
内系统停留在状态
的概率为
；
故M/M/1排队系统的状态变化为生灭过程。
2-3 对于一个概率分布
，令
称为分布
的母函数。 利用母函数求M/M/1队长的均值和方差。
解：对于M/M/1
2-4 两个随机变量X,Y取非负整数值，并且相互独立，令Z=X+Y，证明：Z的母函数为X,Y母函数之积。根据这个性质重新证明性质2-1。
证：设X的分布为：
，Y的分布为：
由于
所以 g(Z)=g(X)g(Y)
对于两个独立的Poisson流，取任意一个固定的间隔T，根据Poisson过程性质，到达k个呼叫的概率分别为：
i=1,2 这两个分布独立
分布列的母函数分别为：
他们母函数之积为合并流分布列的母函数，而母函数之积
所以 合并流为参数
的 Poisson过程。
2-5 如果一个连续分布满足无记忆特性，证明它就是负指数分布。
无记忆特性：对于
，有
证明：
代入初始值
，则
，故
2-7 求k+1阶爱尔兰（Erlang）分布
的概率密度。
可以根据归纳法验证，
的概率密度为
x>=0
证明：
利用两个随机变量的和的概率密度表达式：求
的分布，当X和Y相互独立时，且边缘密度函数分别为
和
，则
。
阶Erlang分布是指
个彼此独立的参数为
的负指数分布的和。
用归纳法。
当
时，需证2阶Erlang分布的概率密度为
令
时成立，即
则当
时，
得证
浙公网安备 33021202002483