空间向量知识点
空间向量的有关概念和公式
概念
空间向量与平面向量的概念与性质相似，只是由二维平面拓展到三维空间
如果一个向量所在直线垂直于一个平面，则该向量是这个平面的一个法向量。
坐标
表
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示
，
,
．
运算
则
，
，
，
，
定比分点公式
设点P分有向线段
所成的比为λ，即
＝λ
，
，
，
（
）
中点公式：
，
，
三角形重心公式：
，
，
模
，
，则
=
=
；
=
；
=
;
=
平行
，
（或
=
=
）
垂直
．（
）
夹角
cos =
=
●建立空间直角坐标系常用方法：1、底面是正方形，常以底面两条邻边为
轴，
轴；2、底面是菱形，常以底面两条对角线为
轴，
轴；3、底面是等腰三角形，常以底边及底边上的高为
轴，
轴；4、底面为平行四边形，常以一条边为
轴，并作一条与这一条边垂直的直线作为
轴。
空间向量的应用（1）
方法分类
图形
1、求平面
的法向量
若
，
，
是平面
的法向量，
则
（取
，得到其中的一组解：
而
常取简单整数）
2、证明线面平行
设
是平面
的法向量，
，则：
3、证明面面垂直
设
分别是平面
的法向量, 则：
4、求两条异面直线间的距离
先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长设
、
是异面直线，
是
、
的公共法向量，点
，则异面直线
、
之间的距离
5、求点到平面的距离
设
为平面
外一点，点
为平面
内的任一点，平面
的法向量为
，过点
作平面
的垂线
，记
，则点
到平面
的距离：
因此，点
到平面
的距离：
空间向量的应用（2）
方法
图形
6、求直线和直线所成的角
若直线
所成的角是
，
7、求直线和平面所成的角
已知
为平面
的一条斜线，
为平面
的一个法向量，过
作平面
的垂线
，连结
，则
为斜线
和平面
所成的角，记为
，易得
8、已知两平面的法向量, 求二面角的大小
在二面角中
，
和
分别为平面
和
的法向量，若二面角
的大小为
，则：
(依据两平面法向量的方向或实际图形，来确定
是锐角或是钝角)
8、已知二面角棱的两垂线, 求二面角的大小
在二面角
内，
，
设
为二面角
的大小，则：
例题：
1、如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出A、B1、E、D1的坐标；
（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．
解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)
(2)∵
＝(0, -2, 2)，
＝(0, 1, 2) ∴ |
|＝2
，|
|＝
，
·
＝0－2＋4＝2,
∴ cos
，
＝
＝
＝
．∴ AB1与ED1所成的角的余弦值为
．
2、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知CA⊥平面ABB1A1，AB＝AA1＝1.(1)求证：A1B⊥平面AB1C；(2)若AC＝2，求点A到平面BB1C1C的距离；(3)若二面角B－B1C－A为600，求AC的长.
（1）证：
A1B⊥平面AB1C
（2）解：∵平面ABC⊥平面BB1C1C，∴点A到平面BB1C1C的距离即为A到BC的距离，作AD⊥BC
，BC＝
，∴A到平面BB1C1C的距离AD＝
＝
＝
（3）解：（空间向量法）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A-BA1C，则B（ 1，0，0），B1（1，1，0），C（0，0，c），平面AB1C法向量
＝（—1，1，0），平面BB1C法向量
＝（x，y，z），
=（0，1，0）,
=（—1，0，c）, ∴
,∴令z=1,则x＝c，∴
＝（c，0，1），
Cos600＝
＝
＝
，∴
＝
，
，解得c＝1，
所以AC长为1 。
浙公网安备 33021202002483