专题-高考数学解答题专题攻略--函数与导数

高考数学解答题专题攻略--函数与导数 1.（本小题满分12分）已知函数 ， ． （Ⅰ）讨论函数 的单调区间； （Ⅱ）设函数 在区间 内是减函数，求 的取值范围． 2.（本小题满分14分）设函数 ． （Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值； （Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式 的解集为（0，+ ）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由． 3.已知函数 （Ⅰ）求 的极值； （Ⅱ）若函数 的图象与函数 =1的图象在区间 上有公共点，求实数a的取值范围。 4.已知函数 , （Ⅰ）求函数 的定义域； （Ⅱ）求函数 的单调区间； （Ⅲ）当 >0时，若存在x使得 成立，求 的取值范围. 5.已知函数 的图像关于原点成中心对称 ，设函数 ． (1) 求 的单调区间;    (2) 已知 对任意 恒成立．求实数 的取值范围(其中 是自然对数的底数)． 6.设函数 ，其中 为常数． （Ⅰ）当 时，判断函数 在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数 的有极值点，求 的取值范围及 的极值点； （Ⅲ）若 ,试利用（II）求证：n 3时，恒有 。 7.已知函数 （1） 求 在 处的切线方程 （2） 若 的一个极值点到直线 的距离为1，求 的值； （3） 求方程 的根的个数. 8.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部 分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设 （1）将 （O为坐标原点）的面积 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成 的函数 ； （2）若在 处， 取得最小值，求此时 的值及 的最小值. 9.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为 km． （Ⅰ）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO= (rad)，将 表示成 的函数关系式； ②设OP (km) ，将 表示成x 的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 10.某种商品的成本为5元/ 件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系： Q＝ （1）求总利润（利润＝销售额－成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式； （2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大. 参 考 答 案 1. 解：（1） 求导： 当 时， ， ， 在 上递增 当 ， 求得两根为 即 在 递增， 递减， 递增 （2） ，且 解得： 2.解：（Ⅰ） ．    2分 故当 时， ， 时， 所以 在 单调递增，在 单调递减．    4分 由此知 在 的极大值为 ，没有极小值．    6分 （Ⅱ）（ⅰ）当 时， 由于 ， 故关于 的不等式 的解集为 ．    10分 （ⅱ）当 时，由 知 ，其中 为正整数，且有 ．    12分 又 时， ． 且 ． 取整数 满足 ， ，且 ， 则 ， 即当 时，关于 的不等式 的解集不是 ． 综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在 ，使得关于 的不等式 的解集为 ，且 的取值范围为 ．    14分 3.解：（1） 令 当 是增函数 当 是减函数 ∴ （2）（i）当 时， ，由（Ⅰ）知 上是增函数，在 上是减函数 又当 时， 所以 的图象在 上有公共点，等价于 解得 （ii）当 时， 上是增函数， ∴ 所以原问题等价于 又 ，∴无解 4.解：（Ⅰ）当 时函数 的定义域为 ； 当 时函数 的定义域为                       （Ⅱ） 令 时，得 即 ， ①当 时， 时 ，当 时， ， 故当 时，函数的递增区间为 ，递减区间为 ②当 时， ，所以 ， 故当 时， 在 上单调递增． ③当 时，若 ， ;若 ， ， 故当 时， 的单调递增区间为 ;单调递减区间为 ．  （Ⅲ）因为当 时，函数的递增区间为 ;单调递减区间为 若存在 使得 成立，只须 ， 即     5.解: (1) 由已知可得C=0, ∴ , 令 ,得 ．列表如下: (0,1) - - + 单调减 单调减 单调增         所以 的单调增区间为 ,单调减区间为 和 (2)在 两边取对数,得 ．而 ．所以 由(1)知当 时, ．所以 ． 6.解：（1）由题意知， 的定义域为 ， 当 时， ，函数 在定义域 上单调递增． （2） ①由（Ⅰ）得，当 时， ,函数 无极值点．              ②当 时， 有两个不同解，                         时， ， , 此时 ， 随 在定义域上的变化情况如下表： 减 极小值 增         由此表可知： 时， 有惟一极小值点 ，  ii）  当 时，0< <1    此时， ， 随 的变化情况如下表： 增 极大值 减 极小值 增             由此表可知： 时， 有一个极大值 和一个极小值点 ； 综上所述：当 时， 有惟一最小值点 ； 当 时 ， 有一个极大值点 和一个极小值点 （3）由（2）可知当 时，函数 ，此时 有惟一极小值点 且     令函数       7.解：（1）         且 故 在点 处的切线方程为：         （2）由 得 ， 故 仅有一个极小值点 ，根据题意得： 或             （3）令 当 时， 当 时， 因此， 在 时， 单调递减， 在 时， 单调递增.            又 为偶函数，当 时， 极小值为 当 时， ， 当 时， 当 时， ， 当 时， 故 的根的情况为： 当 时，即 时，原方程有2个根； 当 时，即 时，原方程有3个根； 当 时，即 时，原方程有4个根           8.解：（1） ，切线的斜率为 ， 切线 的方程为 令 得         ,令 ,得 的面积           (2)               ,由 ,得 当 时, 当 时, 已知在 处, ,故有 故当 时,           9.（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO= (rad) ，则 , 故 ，又OP＝ 10－10ta ， 所以 ， 所求函数关系式为 ②若OP= (km) ，则OQ＝10－ ，所以OA =OB= 所求函数关系式为 （Ⅱ）选择函数模型①， 令 0 得sin ，因为 ，所以 = ， 当 时， ， 是 的减函数；当 时， ， 是 的增函数，所以当 = 时， 。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边 km处。 10.解：（1）据题意的 （2）由（1）得：当 时， 当 时， ， 为增函数 当 时， 为减函数    当 时，     当 时，   当 时， 当 时，           综上知：当 时，总利润最大，最大值为195