一道指数函数
题
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的引申与推广
一道指数函数题的引申与推广,数学教学与研究,
杨金忠 约2352字
原题:(高中数学必修一55页)对任意的x,x?R,若函数f(x)=2,比较与f()的大小关系。
分析:比较大小,常用的方法是比较法,有作差比较和作商比较两种,本题最好用作差比较法。
解:?f(x)=2
?=,f()=2。
?-f()=-2
===?0
??f()
引申:若x?x,则图形如下:其函数曲线任意两点A与B之间的部分位于弦AB的下方。
其几何意义为:与f()的大小关系为梯形的中位线与中点的函数值所表示的线段之间的大小关系,显然,>f()。
当x=x时,=f(),??f()。
从上题可以发现函数f(x)=2的图像是下凹的。
推广:在讨论函数图像时,我们经常会遇到具有以下两种特性的函数:凹函数、凸函数。
凹凸函数定义(根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页):
设函数f(x)为定义在区间I上的函数,若对(a,b)上任意两点x、x,恒有:
(1)f()<,则称f为(a,b)上的凹函数;
(2)f()>,则称f为(a,b)上的凸函数。
凹凸函数的几何特征:
几何特征1(形状特征)
如图,设A,A是凹函数y=f(x)曲线上两点,它们对应的横坐标x
恒成立的函数的个数是(?摇?摇)。
A.0?摇?摇B.1?摇?摇C.2?摇?摇D.3
分析:运用数形结合思想,考察各函数的图像。注意到对任意x,x?I,且x时,函数f(x)在区间I上的图像是“上凸”的,由此否定y=2,y=x,y=cos2x,应选B。
评注:本小题主要考查函数的凹凸性,
试题
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给出了四个基本初等函数,要求考生根据函数的图像研究函数的性质——凹凸性,对试题中的不等关系式:f()>,既可以利用函数的图像直观的认识,又可以通过代数式的不等关系来理解。考查的重点是结合函数的图像准确理解凹凸的含义。
例2:(2005北京卷理13)对于函数f(x)定义域中任意的x,x(x?x),有如下结论:
?f(x+x)=f(x)•f(x);?f(x•x)=f(x)+f(x);
?>0;?f()<。
当f(x)=lgx时,上述结论中正确结论的序号是。
答案
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:(??)。
评注:本题把对数的运算(??)、对数函数的单调性(?)、对数函数图像的凹凸性(?)等知识有机地合成为一道多项填空题,若对函数的性质有较清楚的理解便不会有困难,而靠死记硬背的考生就会有问题。
例3:(1998全国高考题)
向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图像,如图12所示,那么水瓶的形状是(图13中的)( )。
解:因为容器中总的水量(即注水量)V关于h的函数图像是凸的,即每当h增加一个单位增量Δh,V的相应增量ΔV越来越小。这说明容器的上升的液面越来越小,故选B。
例4:(2006重庆理)如图所示,单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍,则函数y=f(x)的图像是( )。
解:易得弓形AxB的面积的2倍为f(x)=x-sinx。由于y=x是直线,每当x增加一个单位增量Δx,y的对应增量Δy不变;而y=sinx是正弦曲线,在[0,π]上是凸的,在[π,2π]上是凹的,故每当x增加一个单位增量Δy时,y对应的增量i(i=1,2,3„)在[0,π]上越来越小,在[π,2π]上是越来越大,故当x增加一个单位增量Δx时,对应的f(x)的变化,在x?[0,π]上其增量越来越大,在x?[π,2π]上,其增量则越来越小,故f(x)关于x的函数图像,开始时在[0,π]上是凹的,后来在[π,2π]上是凸的,故选D。
练习:(2008全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图像可能是(A)。
通过以上的例子可以看出,在复习时,有必要留意以高等数学知识为背景的创新题与信息题,也有必要让学生了解简单高等数学与初等数学结合的知识,这样既可以达到简化运算、避免易错点的目的,又可以突破难点,找到规律性的解题途径,更为高等数学的学习打下良好的基础。同时使学生认识到知识学得越多、越深入,解决起问题来越有规律性、越简单,从而使他们渴望学习,渴望积累,更进一步增加分析问题、解决问题的能力。
参考文献:
[1]同济大学数学教研室主编.高等数学.
浙公网安备 33021202002483