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拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理的证明拉格朗日中值定理的证明拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。罗尔定理:函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点?，使f(?)==o (如图1)。拉格朗日定理:若f(x)满...

拉格朗日中值定理的证明拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。罗尔定理:函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点?，使f(?)==o (如图1)。拉格朗日定理:若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ?，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式:我们令……(1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点?，使f(? t就可以了。由有，f(b)-tb=f(a)-ta……(2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点?，使F。(?)=O。也就是f(?)-t=O，也即f(? )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数我们知道其导数为且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点?，使F’ 从而有结论成立.

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