素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0104
2001年 第 4期 数学通报 48
?ADN
EFG;
数学问题解
,则 E在答 2
线段 B1 D
的中垂面
上 ;
(2)求平面 EFG与平面 = ABCD所成的锐二面角 ; ?MAN
(3)求 A1?AMN,AB = AB1 = BC, Rt ?AMB ?Rt ?AMG ,
?MAN ,AM为公共边 , ??AMQ ?
2001年 3月号问题解答
(解答由问题提供人给同理 ,F、G也在 B1 出 ) D的中垂面上 . 1301 正方体 AB 而 E、F、G不在同
CD —A1 B1 C1 D1一直线上 ,它们确定的
中 ,E、F、G分别是平面是唯一的.所以 B1
棱 AB、CC1、D1 A1D?平面 EFG.
的中点 ,如图 .若 (2)由 B1 D?平面 EFG ,则平面 BB1 D1 AB = 1 , D?平面 EFG;且平面 BB1 D1 D?平面 AB
(1)
证明
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B1 D?平面 CD.取 A1 B1中点 M,连 GM与 ME,则? GM
?B1 D1 ,ME ?BB1 ,则平面 EMG?平面 BB1
D1 D. 431703)解 (1) 连 DE与B1 E,依题
意 ,DE = B1 E=
1303 ? AB C中 ,BC = a,CA ?平面 EMG?平面 EFG ,平面
= b,AB = c,D、 E、F分别是三EMG?平面 AB CD.则? EGM为平面
条边 BC、CA、AB上的点 ,EFG与平面 A1 B1 C1 D1所成锐二面角
:DE 求证 的平面角 .
+ EF+ FD ? acosA+bcosB+ccos EM 1
C (浙江衢州市教研室 李世杰 tg ?EGM == 324002)证 记 AF = x,BD =
GM y,CE = z,则 BF =c-x,
CD =a-y,AE =b-z根据2/ 2 则平面 余弦定理 ,在? A EFG与平面 AB CD所成角为 EF中 2 arctg
2 2 (3)过 M作 EG的垂线交 EG于 N,EF= x +(b-z) 2 x(b-z) cosA 则由平面 EMG?平面 EFG于 EG ,则
MN?平面 EFG;在 2
Rt ?EMG中 ,MN = 2 = x +(b-z) + 2 x(b-z) cos(B + C) = 2 . [xcos C+ (b-z) cosB]+[xsin C(b-z) sin 6 2 2 B]?[xcos C+ (b-z) cosB] 1302 正方形 ABCD的边 BC、CD上各?EF ? xcos C+ (b-z) cosB(1)同理 DF ? 有一点 M, ycosA+ (c-x) cos C(2) DE ? zcosB+ (a-y) N,满足 ? MAN = 45?,求证 : 2 cosA(3) BM ?DN =BC-BC ?MN . (福建厦(1) +(2) +(3)即可得 DE+ EF+ FD ? 门市九中 陈四川 361004) acosA+bcosB+ccos C.
1304 x,y,z ? 条高 AG、
0 ,
使 DN = π
,求证 :
2 BM =MG,BQ = GN =ND. ?ANF 2 , = 90?-?NAF = 45?=
= ?NA F , ?AF 2.
= NF,又? 4 + ?AMN = 90?, ?5 +
?AMN = 90?, ??4 = ?5 , Rt ?A
2 FP ? Rt ?NFM,AP = .ME+ ?ME MG 3 MN . 2 = MG连 A1 PG C1交 MG于 又? N PG ??AMG, MG P,则 A1 P = ,MG ?GN = ?MG,且
MP = PG, A1 NG AG AG ?PG =
P?平面 AG ?(AG -AP) ?
EFG , ?A1
到平面 2 BM ?DN =BC-BC ?MN . EFG的距离
为
2 cos(y-z) cos(z-x) cos(x-y) ?sin2 xsin2 ysin2 z. (江西永修县一中 宋庆 330304)证明 ?cos (y-z) =(cos 2 2 2 2 2 ycosz+ sin zsin y) = cos ycos z+ sinzsiny
+ 2cos ycoszsin ysin z ?4cos ycoszsin ysin z = sin2 ysin2 z. 且 sin2 ysin2 z ?0 ,cos(y-z) ?0 , ?cos(y-z) ?
ysin2 sin2
z,
满足题目条件 ;
(2)求合于题设条件的 a5的最小值. (湖南吉首大学数学与计算机科学系 彭明
海 416000) 1308 已知递推式 3 an=
+ 2 n(1)求证 : an可被 2 整除 ;
1000(2)求证 :a2000能被 10整除.
(江苏省江都市滨湖中学 王庆国 225268) 1309 已知 a1 ,a2 , ?, an, b1 ,b2 , ?, bn ?
[1 ,2 ],
nn
i = bi ,求证 : 且a??i= 1 i= 1 a
? ai
2 i 3
? ?
i = n1 bi 2 i = n1
(广东省中山市中山纪念中学 吴新华 528454) 1310
n 11 n
n a-1 + n+1 ?an-1 ab-1 + an ?an -1 c-1 + (n ? N) , a0 = 1 ,a1
= 16. nn ?
n c a b
1 (陕西武功县绿野中学 贺中杰 712203)
+? R,且 设 1 ,n ?N,: abc = a,b,c 证明
浙公网安备 33021202002483