一元二次方程之求根公式
形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．
求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法．
【例题求解】
【例1】满足的整数n有 个．
【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ）
A． 一4 B．8 C．6 D．0
【例3】 解关于的方程．
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【例4】 设方程，求满足该方程的所有根之和．
【例5】 已知实数、、、互不相等，且， 试求的值．
注： 一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程（）直接作零值多项式代换；
(2)把方程（）变形为，代换后降次；
(3)把方程（）变形为或，代换后使之转化关系或整体地消去．
解合字母系数方程时，在未指明方程类型时，应分及两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如．
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巩固练习
1．已知、是实数，且，那么关于的方程的根为 ．
2．已知，那么代数式的值是 ．
3．若，，则的值为 ．
4．若两个方程和只有一个公共根，则( )
A． B． C． D．
5．当分式有意义时，的取值范围是( )
A． B． C． D．且
6．方程的实根的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
7．解下列关于的方程：
(1)；
(2)； (3)．
8．已知，求代数式的值．[来源:Zxxk.Com][来源:学科网ZXXK]
9．是否存在某个实数m，使得方程和有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．
注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式
表
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示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口．
10．若，则＝ ．
11．已知、是有理数，方程有一个根是，则的值为 ．
12．已知是方程的一个正根。则代数式的值为 ．
13．对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于( )
A．1 n．2 C． D．2．5
14．自然数满足，这样的的个数是( )
A．2 B．1 C．3 D．4
15．已知、都是负实数，且，那么的值是( )
A． B． C． D．
16．已知，求的值．
17．已知m、n是一元二次方程的两个根，求的值．
18．在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为，求的值．
19．已知方程的两根、也是方程的根，求、的值．
20．如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中为不小于3的自然数．求证：需为无理数．
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