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数列求和的8种方法.doc

数列求和的8种方法

韩晓耕
2017-09-21 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《数列求和的8种方法doc》,可适用于职业岗位领域

数列求和的种方法数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习)一、总论:数列求和种方法:利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法(合并法求和)利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法等比数列的求和方法是错位相减法三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容又是学习高等数学的基础在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一除了等差数列和等比数列有求和公式外大部分数列的求和都需要一定的技巧下面就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法()()naann,n、等差数列求和公式:Snad,,n(,)naq,,n,(,)aaqaq,S、等比数列求和公式:,nn,(,)q,,,qq,nnS,k,n(n)S,k,n(n)(n)、、,,nn,,kknS,k,n(n)、,n,k,nxxx,,,x,,,logx,例已知求的前n项和log,解:由logloglogx,,x,,,x,logn由等比数列求和公式得(利用常用公式)S,xxx,,,xn(,)nnx(,x),,,,n,x,S*n例设S,…nnN,求f(n),的最大值n(n)Sn解:由等差数列求和公式得(利用常用公式)S,n(n)S,(n)(n)nnSnnf(n),,(n)Snnn,,,n(n,)nnn,()当即n,时fn,max,题等比数列的前,项和S,,,~则,,题(若…(n)=anbncn~则a=,b=,c=解:原式=答案:二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法这种方法主要用于求数列{ab}的前nnn项和其中{a}、{b}分别是等差数列和等比数列nnn,例求和:S,xxx,,,(n,)x………………………nn,n,x解:由题可知{}的通项是等差数列{n,}的通项与等比数列{}的通项之积(n,)xn设xS,xxxx,,,(n,)x………………………(设制错位)nn,n(,x)S,xxxx,,,x,(n,)x,得(错位相减)nn,,xn(,x)S,x,,(n,)x再利用等比数列的求和公式得:n,xnn(n,)x,(n)x(x)S,n(,x)n求数列前n项的和例,,,,,,,,,,,nn解:由题可知{}的通项是等差数列{n}的通项与等比数列{}的通项之积nnn设…………………………………,,,,Snnn………………………………(设制错位),,,,Snnn(),得(错位相减),,,,,,Snnnn,,,n,nnS,,nn,练习题已知~求数列,a,的前n项和Snn答案:练习题的前n项和为答案:三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法就是将一个数列倒过来排列(反序)再把它与原数列相加就可以得到n个(aa)nnn例求证:CCC,,,(n)C,(n)nnnnn证明:设S,CCC,,,(n)C…………………………nnnnn把式右边倒转过来得nn,S,(n)C(n,)C,,,CC(反序)nnnnnmn,m又由C,C可得nnn,n………………S,(n)C(n,)C,,,CCnnnnnn,nn得(反序相加)S,(n)(CC,,,CC),(n),nnnnnnS,(n),n,,,,,sinsinsin,,,sinsin例求的值,,,,,S,sinsinsin,,,sinsin解:设…………将式右边反序得,,,,,S,sinsin,,,sinsinsin…………(反序),又因为sinx,cos(,x),sinxcosx,得(反序相加),,,,,,,S,(sincos)(sincos),,,(sincos)S,题已知函数,,证明:,,,求的值解:,,先利用指数的相关性质对函数化简~后证明左边=右边,,利用第,,小题已经证明的结论可知~两式相加得:所以练习、求值:R练习。已知满足,当时,,若fxfx,,fxx,xxx,n,,,,,,,fff?ff,n,N求,S,S,,,,,,nnnnn,,,,,,解答:由知只要自变量即成立,又知S,(n)fxfx,xx,nn,,„,则易求,,,Snnn四、分组法求和有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个等差、等比或常见的数列然后分别求和再将其合并即可例求数列的前n项和:…,,,,,,,n,n,aaa解:设S,()()(),,,(n,)nn,aaa将其每一项拆开再重新组合得(分组)S,(,,,)(,,,n,)nn,aaa(n)n(n)n,Sn当a,时,(分组求和),n,,nn()a,an,n(n,)na当时,a,S,na,,a例求数列{n(n)(n)}的前n项和解:设a,k(k)(k),kkkknnS,k(k)(k)(kkk),,,n,k,k将其每一项拆开再重新组合得nnnkkkS,(分组)n,,,,,,kkk,(,,,n)(,,,n)(,,,n)()()()()nnnnnnn,(分组求和)()()nnn,五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解然后重新组合使之能消去一些项最终达到求和的目的通项分解(裂项)如:,sin,,,tan(n),tann()()a,f(n),f(n)n,,cosncos(n)n()a,,(,)a,,,()()nnn,nn,n()()n(n)nna,,,()nn(n,)(n)n(n)(n)(n)n(n),na,,,,,,,S,,()则nnnnn,nnn(n)n(n)n,(n)(n),,,a()()n,(AnB)(AnC)CBAnBAnCann,,,()nnn,,,,,,,,,,例求数列的前n项和nna,,n,n解:设(裂项)nnnS,,,,则(裂项求和)nnn,(,)(,),,,(n,n),n,na,,,,b,例在数列{a}中又求数列{b}的前n项的和nnnna,annnnnnna解:,,,,,nnnnb,,(,)(裂项)nnnnn,数列{b}的前n项和n(裂项求和)S,(,)(,)(,),,,(,)nnnn,,(,)nn,cos,,,,例求证:,,,,,,,coscoscoscoscoscossin解:设S,,,,,,,,,,coscoscoscoscoscos,sin,,,tan(n),tann(裂项),,cosncos(n)S,,,,(裂项求和),,,,,,coscoscoscoscoscos,,,,,,,,,{(tan,tan)(tan,tan)(tan,tan)tan,tan},sin,cos,,,,,,(tan,tan),cot,,,sinsinsin原等式成立?例求证<,!,!,!,!此为分数数列求和问题,仍然用裂项求和法,难点在于分母出现了阶乘,为此,需将数列的第k项作一些恒等变形,以便将其分裂为两项之差k,,,,,?,解因为(k,)(k),k!(k)!(k)!(k)!?所以,!,!,!,!,(,)(,)(,)?(,)!!!!!!!!,,<!!练习题答案:练习题。=答案:六、分段求和法(合并法求和)针对一些特殊的数列将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质因此在求数列的和时可将这些项放在一起先求和然后再求Sn例求coscoscoscoscos的值解:设S,coscoscoscoscosn,,,(找特殊性质项)cosn,,cos(,n)S,(coscos)(coscos)(coscos)n(coscos)cos(合并求和),例数列{a}:求Sa,,a,,a,,a,a,annnn解:设S,aaa,,,a由可得a,,a,,a,,a,a,annna,,,a,,,a,,,a,,a,,a,,a,,,a,,,a,,,„„a,,a,,a,,a,,,a,,,a,,kkkkkk(找特殊性质项)aaaaaa,kkkkkkS,(合并求和)aaa,,,a,(aaa,,,a)(aa,,,a),,,(aa,,,a)kkk,,,(aa,,,a)aaaa,aaaa,aaaakkkk,例在各项均为正数的等比数列中若aa,,求logaloga,,,loga的值解:设S,logaloga,,,loganmn,pq,aa,aa由等比数列的性质(找特殊性质项)mnpq和对数的运算性质得logMlogN,logM,Naaa(合并求和)S,(logaloga)(logaloga),,,(logaloga)n,(loga,a)(loga,a),,,(loga,a),loglog,,,log,练习、求和:练习题设~则,答案:n练习题(若S=…()〃n~则SS,等于()nABCD解:对前n项和要分奇偶分别解决~即:S=答案:An练习题…的值是ABCD解:并项求和~每两项合并~原式=()()…()=答案:B七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析找出数列的通项及其特征然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和是一个重要的方法,,,,,,例求之和,,,n个k,,,,,,,,(,)解:由于(找通项及特征),,,,,,,,个k个k,,,,,,,,,n个n,(分组求和)(,)(,)(,),,,(,)n,(,,,),(,,,),,,,,,,n个n()n,,,,,n,(,,n),a,,求(n)(a,a)例已知数列{a}:的值n,nnn(n)(n)n,na,a,n,()()()解:(找通项及特征)nnnnnn()()()(),,(设制分组)(n)(n)(n)(n),(裂项),(,)(,)nnnn,,,na,a,,,()()()()(分组、裂项求和),,,nnnnnnnnn,,,,(),,,提高练习:(已知数列中是其前项和并且,,SSana,,,(,,),annnnn设数列求证:数列,,是等比数列b,a,a(n,,,??)bnnnnan设数列求证:数列是等差数列c,,(n,,,??),,cnnn八、组合数法求和,mmmCC,C求解原数列各项可写成组合数形式,则可利用公式nnn,,,?,?n例求的和C由知可利用“组合数法”求和?n,nn,n解S,??nnn(n),,CCC?Cn,CCC?Cn,„,Cn,n(n)(n)待定归纳法例求数列,,,„,的前项和Sn(n,)nn因为数列的通项公式为它是关于的多项式,与之类似的a,n(n,),n,nnnn数列求和问题我们熟悉的有()?n,,n()?n(n),n(n)(n)()?n,n(n)以上各式中左端的通项公式及右端的和展开后都是关于的多项式,对其次数进行比较n便可得到这样的结论:若数列,,的通项公式是关于的多项式,则其前项和是比通项公式annn高一次的多项式对本题来讲,因为通项公式a,n(n,),n,nnn是关于的三次多项式,所以我们猜想该数列的前项和是关于的四次多项式,故可设SnnnnAnBnCnDnES,nAnBnCnDnE解令满足数学归纳法的各个步骤,S,nn,,n,k,n,k即时上式均成立,有S,ABCDE,a,S,AkBkCkDkEkS,A(k)B(k)C(k)D(k)Ek,Ak(AB)k(ABC)k(ABCD)k(ABCDE)又因为S,Sakkk,AkBkCkDkE(k),(k)(k),Ak(B)k(C)k(D)k(E)比较、两式同类项系数可得AA,,,AB,B,,,ABC,C,,,ABCD,D,,,ABCDE,E,解方程得代入式有,E,A,,B,,C,,,D,,故S,nn,n,nn,n(n)(n,n,)例求数列,,,,,,„的前项和Snn考虑数列的各差数列:原数列:,,,,,,„一阶差数列:,,,,,„二阶差数列:,,,,„由于二阶差数列是等比数列,可用逐差法求数列的通项,然后再求其前项和Snn,,,,,,解设原数列为,一阶差数列为,二阶差数列为abcnnn那么b,b,c,b,b,c,b,b,c,„b,b,cnn,n,n,以上个式子相加,有b,b,ccc?cnn,n,,?n,(,),,n,,nn因为,所以b,,,,b,n又a,a,b,a,a,b,a,a,b,„a,a,bnn,n,n,n,m,b,(,)所以a,a,bbb?b,,mnn,m,m,n,mn,,(n,),,n,,m,nn,,n因为,所以a,,n,a,n数列,,的前项和为annnnnmm(,m),,mnS,,,,n,,,mmmn(,)n(n),,n,(,)nnn,,,(设二次方程xx=(nN)有两根α和β且满足ααββ=(aann()试用表示aann*n,N(数列,,中且满足a,a,aaa,,a,nnnn求数列,,的通项公式an设求S,|a||a|?|a|Snnn说明:本资料适用于高三总复习也适用于高一“数列”一章的学习。

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