第六节 连续函数的多项式逼*
从前一节可以知道，一个函数f(x) 在区间（x0-R，x0+R）上有任意阶导数，如果它的Taylor公式的余项趋于0，那么一定有一个多项式列{Pn(x)}在该区间中内闭一致收敛于f(x). 现在要问的是对于[a,b]上的连续函数来说，是否也存在一个多项式列{Pn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x)？回答是肯定的。
为了方便起见，不妨设区间为 [0，1].
定义 设f(t) 是[0，1]上的连续函数, 则称
为f(t)的Bernstein多项式,记为Bn(f, x) .
Bernstein多项式.有如下性质:
(1) 设f(t), g(t)是[0，1]上的连续函数, a,b 为任意两实数,那么
Bn(af+bg, x)= aBn(f, x)+ bBn(g, x).
事实上,
Bn(af+bg, x)=
=
+
= aBn(f, x)+ bBn(g, x).
(2) 设f(t), g(t )是[0，1]上的连续函数, 并且f(t)≥g(t ), t∈[0，1],那么对任意
x∈[0，1] 有 Bn(f, x)≥Bn(g, x) .
方法同(1) (略).
(3) Bn(1, x)=1
事实上 Bn(1, x)=
。
(4）Bn(t, x)=x.
证明 Bn(t, x)=
.
(5) Bn(t 2, x)=
.
证明 Bn(t 2, x)=
.
例 设s是一个常数, 那么
Bn((t-s) 2, x)= Bn(t 2-2ts+ s2 , x)
= Bn(t 2 , x) -2s Bn(t, x)+ s2
.
下面将给出结论.
定理 11.27 (Weierstrass第一逼近定理)设f(x)是闭区间[0，1] 上的连续函数,则对任意ε>0, 存在一个多项式列P(x), 使得对任意x∈[0，1],有
.
证明 对任意正整数, 令关于x的多项式
Pn(x)= Bn(f, x)=
,
由于f(t)是闭区间[0，1] 上的连续函数,所以在[0，1] 上一致连续,且有界
即对任意ε>0, 存在δ>0,对所有的t,s∈[0，1],当|t - s|<δ,
|f(t) - f(s) |<0.5ε,
并存在M>0, 有 |f(t)| ≤ M，t∈[0，1].
当|t - s|≥δ时， |f(t) - f(s) |≤2 M≤
.
所以对一切t,s∈[0，1], |f(t) - f(s) |≤
+0.5ε,
即 - 0.5ε-
≤f(t) - f(s) ≤
+0.5ε.
有性质（2），Bn(- 0.5ε-
，x) ≤ Bn(f(t) - f(s), x) ≤ Bn(
+0.5ε,x),.
由其它性质得，
-0.5ε-
≤Bn(f(t), x)- f(s) ≤ 0.5ε+
.
再令x=s, 又x∈[0，1]时, 0≤x(1-x) ≤0.25,即
|Bn(f(t), x)- f(x)| ≤0.5ε+
≤0.5ε+
.
当取N=
, n>N, |Bn(f(t), x)- f(x)|<ε,
故 |
- f(x)|<ε
即 P(x)=
就是所求的.
推论 设f(x)是闭区间[0，1] 上的连续函数, 则
Pn(x)= Bn(f, x)=
,
在[0，1] 上一致收敛于f(x).
这个结论
表
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明在较弱的条件下得到了较好的结果.
一般区间[a ,b]上的结果,只需要作一个变换即可.
习题 11-6
1． 能否找到一个[a,b]上的多项式列，使得在[a,b]上一致收敛于Riemann函数。
2． 找[0,1]上的多项式列，使得它在[0,1]上一致一致收敛于|x-0.5|.
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