多元函数的极值

多元函数的极值 数学与统计学院,重庆400715 摘 要:本文引入了广义条件极值的概念,讨论了普通极值与条件极值的联系和区别.并在隐 函数情形推广了Lagrange乘数法。 关键词:条件极值;广义条件极值;Hessian矩阵;Lagrange乘数法 The Extremum in Multivariable Functions The School of Mathmatics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: Base on the conception of generalized constrained extremum. The ralation between extremum and constrained extremum is discussed . Then we extend the Lagrange multiplier in the condition of implicit function. Key word:constrained extremum; generalized constrained extremum; Hessian matrix; Lagrange multipliers 第一章 绪论 1.1 引言和符号交代 极值问题分为两类:普通极值问题和条件极值问题，普通极值问题又称为无 22fxyxyxy(,)56106,，,，，条件极值问题。例如，求函数的极值，就属于无条 件极值问题。但是在实际中我们往往遇到这样的问题，例如:要设计一个容量为 的开口长方体水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，用的材料最少,为V 此设水箱的长，宽，高分别为，则表面积为 xyz,, Sxyzxzyzxy(,,)2(),，，， 但上述函数的各自变量还必须满足 xyzVxyz,,,,(0,0,0) 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题。两类极值问题是相辅相成的， 也就是说，解决好无条件极值问题有助于解决条件极值问题;反之解决好条件极 值问题将对解决无条件极值起促进作用。因此首先，我们必须弄清两者的区别和 第 1页 共15页 联系是什么。事实上，我们可以用一个统一的定义将两者加以概括。其次，研究多元函数的极值问题不得不回答隐函数的极值问题，因为我们遇到的大部分函数都是以隐式给出的，要真正解决好极值问题必须解决隐函数的极值问题。本文主要目的是要通过利用求条件极值的方法讨论求隐函数极值的方法。 本文要用到的主要符号:(有特殊说明的除外) n1、为中的区域， RD ,,,fff,,,,,(,,),,,fgradf(,,)()2、为Hamilton算符，， ,,,xyz,,,xyz 2,f(0)3、为Hessian矩阵， ()Qx,nn，,,xxij n2xxxx,(,,,)4、为欧氏范数，若，则， xx,12n,i,i1 1.2 两种极值问题的联系和区别 n(0)定义1fx()R 设定义在中的区域D上,为D的内点,如果存在>0,使 x, (0) uxxxD,,,,:,,, (0)fxfx()(),,(),,xu (0)(0)fx()则称为的极大值，称为fx()的极大值点。 fx()x 如果 (0)fxfx()(),,(),,xu (0)(0)fx()fx()则称为fx()的极小值，称为的极小值点 x nDxxxx,(,,,)R定义2 设函数fx()定义于中的区域上,满足条件 12n ,(,,,)0,1,2,,()xxxkmmn,,, kn12 fx()此时的极值问题称为满足约束条件(1)的条件极值问题 上述两个定义给出了函数极值的两类问题,定义1为普通极值(无条件极值),定义2为条件极值问题,令 第 2页 共15页 Mxxxxxxkmmn,,,,{(,,,):(,,,)0,1,2,,()}, 1212nkn 则 nMRMD,,,,, (0)对满足定义2的条件极值点,必有 x (0) xMD,, n,如果视为拓扑空间,其拓扑由的通常距离诱导出,令,则为RD,,',,M,' u的拓扑，为的子空间.设为中的开集,则为(,')MD,,(,)D,(,)D,MD,uM, 的开集,这样,定义2中的条件极值问题事实上可以理解为一种“普通(,')MD,, 极值”。因此,我们有如下 nn2'MRMD,,,,,定义 设函数定义于R中的区域上, ,对于fx()D (0)(0)u,若存在在上的某邻域,使 xMD,,xD (0)fxfxxuM()()(),,,, (0)则称为限制在集合上的极大值点.如果 xfx()M (0)fxfxxuM()()(),,,, (0)则称为限制在集合上的极小值点。 xfx()M 注1 上述定义中的集合可以是任给的区域，如求在[0,1]上的极值;也可Myx,以是方程(组)或不等式的解集合，如定义2;或其他。称定义中的为广义约2'M束条件，称由该定义所得到的极值问题为广义条件极值问题。这样，定义2只是 定义的特殊情形。 2' n(0)R注2 如果为中的开集,则由上述定义中定义的极值点x必为定义1中的极M nMR,值点.反之,定义1中的极值点必为定义中的极值点(只要取),从而定义12' 也是上述定义的特殊情形. nR注3 由1,2可看出,定义事实上是中极值问题的统一定义. 2' 第 3页 共15页 第二章 基本结果 2(1 普通极值问题的一个充分条件 (0)000(0)xxxx,(,,,)定理1 设为函数的极值点,如果于处存在fx()fx()xn12 偏导数,则有 (0),,fx()0 ,考虑一元函数 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 :对任意in,{1,2,,} 000,()(,,,,,)xfxxxx, iin12 00xx,()x,()x则为的极值点,且在处可微,.由Fermat定理 iiii ,f0000,'()(,,,)0xxxx,, in12,xi i故由 的任意性知 (0),,fx()0 (0)(0)x称满足,,fx()0的为的驻点，则显然若可微，为其极值点，则fx()fx()xx 必为其驻点。 (0)定理2 设fx()在驻点的某邻域内二次可微，则 x (0)Q1、若为正定的，则是极小值点 x (0)Q2、若为负定的，则是极大值点 x (0)Q3、若为不定的，则不是极值点 x Q4、若为半定的，则需要进一步判断 其中 (0)000xxxx,(,,,) n12 2,f(0) ()Qx,nn，,,xxij 第 4页 共15页 为Hessian矩阵 为证明定理2，先给出 [1]nn引理1 设为定义于开区域上是元二次可微函数，DR,fx() (0)000xxxxD,,(,,,)，则带Peano余项的二阶Taylor展式可写为 n12 12TT(0)(0) fxxfxfxxxQxox，,,，,,,，,,，()()()()2!其中 ,,,,,xxxx(,,,) 12n n22,,,xx() ,ii1, 2,f(0) ()Qx,nn，,,xxij注:见参考文献[1] [2],,,n引理2 (Rayleigh)设阶矩阵Q正定，分别为其最小特征值和最大12 xxxx,(,,,)特征值。则对任意有 12n TxQx,,,, 12Txx,证明:见参考文献[2] 定理2的证明: (0),,fx()01、因，故 12T(0)(0)fxxfxxQxox，,,，，, ()()2QQ由正定，故的特征值全大于0。 ,,,设分别为其最小特征值和最大特征值，由引理2 12 TxQx,,,, 12Txx,而 2T,,,,xxx 第 5页 共15页 且 2ox(),lim0, 220,,x,x 2故存在，当时，有 ,,x,,,0 2ox(),11,,,,, 11244,x从而当充分小时，有 ,x 2ox(),1112TTT(0)(0) ,,fxxfxxQxoxxxxx()()()()()()0，,,,,,，,，,,,,,,,,1122!24,x (0)因此为的极小值点 fx()x ,,,负定，故其特征值全小于0，设分别为其最小特征值和最大特征2、由于Q12 值，从而由引理2 TxQx,,,, 12Txx,类似于1的讨论可知，当充分小时，有 ,x T,,xQx22,,, T44,xx从而 1(0)(0)T fxxfxxx，,,,,,,,,()()()024 (0)即为fx()的极大值点 x ,,,QQ3、由于不定，故存在正特征值和负特征值，设相应的特征向量为和12,，并令 (0)(0)xxtyxt,，,，,,, 从而与1类似讨论可知，当充分小时，有 ,x 111(0)(0)22TTTfxxfxtQttt，,,,,,,,,,,,,,,,, ()()()()()()011244 第 6页 共15页 111(0)(0)22TTT fxxfxtQttt，,,,,,,,,,,,,,,,,()()()()()()011244 (0)故不是的极值点 xfx() 4、不给出正面的证明，而是以二元函数情形给出反例: 设 4434fxyxyfxyfxyfxyxy(,),(,)(,),(,),，,,,， 1213 fxy(,)容易验证(0，0)是它们的驻点，且在此处的Hessian矩阵均不定。但是它是1 fxy(,)fxy(,)的极小值点，从而是的极大值点，但不是的极值点。 23因此，当Hessian矩阵不定时，需要进一步判断。 2(2 条件极值 这里只给出重要结论的叙述，不给出证明。 fxxx(,,,),(,,,)(1,2,,)xxximmn,,且1、 定理3 设函数与在区域12nin12 n000pxxx(,,,)DR,内有连续的一阶偏导数，是的内点，且Jacobi矩阵Dn012 ,,,,ipm的秩为。如果是函数 ,,0,,x,j,,，mn yfxxx,(,,,) 12n在条件 ,(,,,)(1,2,,)xxximmn,,且 in12 000000000(,,,,,,,)xxx,,,,,,,,,限制下的极值点，则存在常数使为 nmm121212 m Lxxxf(,,,,,,,),,,,,,， ,1212nmii,1i的驻点。 [3]2、Lagrange乘数法。 参看文献[3] 2,,L,pQ3、对由2中方法求得的驻点，求出Hessian矩阵，记为， ()p,,00,,xx,,ij,,，nn 第 7页 共15页 p(1) 若为正定的，则为(条件)极小值点 Q0 p(2) 若为负定的，则为(条件)极大值点 Q0 至于其他情形由于讨论相当复杂，且无实际价值，故省略。 第三章 求一类隐函数极值的两种方法 nXRYRFXYR,,，,,,:,定义3 设对于方程 Fxy(,)0,若存在集合IXJY,,,，使对于任意，恒有唯一确定的yY,使 xX, Fxy(,)0, 则称由该方程确定了一个定义在上，值域含于的隐函数。若把它记为 IJ yfx,() 则成立恒等式 Fxfx(,())0, [3]定理4 如果 0000n，1pxxxy(,,,,)Fxxxy(,,,,)DR,(1)函数在以为内点的区域上连n12n012 续， 0000Fxxxy(,,,,)0,(2) n12 FinF,(1,2,,),,(3)偏导数在内存在且连续 Dxyi 0000(4) Fxxxy(,,,,)0,yn12 pupD(),Fxxxy(,,,,)0,则在的某邻域内，方程唯一地确定了一个定义0012n 000nQxxx(,,,)uQR(),yfxxx,(,,,)n在的某邻域内的元连续函数使 n001212n (,,,)()xxxuQ,1、当时 120n (,,,,(,,,))()xxxfxxxup, 12120nn 第 8页 共15页 且 Fxxxfxxx(,,,,(,,,))0, 1212nn yfxxx,(,,,)uQ()在内有连续偏导数 2、12n0 fin,(1,2,,), xi 且 Fxi ,(1,2,,)fin,,,xiFy 该定理的证明见参考文献[3]。 令 nMxyFxyxXRyYR,,,,,,{(,):(,)0,,} n，1n，1则MR,R为中的一个超曲面，如果满足定理4的条件，则就确定了FF n在R中某点邻域中的连续可微函数 p yfxxx,(,,,) 12n yfxxx,(,,,)记该邻域为up()，则函数的极值问题为定义中的广义条件2'12n极值问题。 下面我们来说明满足定理4条件的隐函数满足能用Lagrange乘数法计算极 值的条件。 作Lagrange函数 LxxxyfFxxxy(,,,,,)(,,,,),,,， 1212nn 考虑Jacobi矩阵 ,,,,,,FFFF(),,,,Hp, ,,,,,,,xxxy12n,, ,F,0显然当满足定理4条件时，必有，因此 ,y Hp()0, 0()1,,rankHp而，所以有 第 9页 共15页 rankHp()1, 由定理4，对满足定理3条件确定的隐函数可以用Lagrange乘数法计算其极值。下面我们以一个例子来阐述这样的方法: 例4.1 求由方程 2222222440xyzxyxyz，，，,,,，, (4.1) 的极值。 所确定的函数zzxy,(,) 解:作Lagrange函数 222Lxyzfxyzxyxyz(,,,)(222243),,,，，，，,,,， (4.2) 令 Lxy,，,,4420,,, (4.3) x Lxy,，,,2220,,, (4.4) y Lz,，，,1240,, (4.5) z 由(4.5)知，故由(4.3)(4.4)知 ,,0 21,1xyxy，,，, 得到驻点(,)(0,0)xy,，代入(4.1)得到 zz,,1,3 12 2222fxyzxyzxyxyz(,,)222243,，，，,,,，R因为函数的定义域为，由定理3 (0,0,1)(0,0,3)(0,0,1)zzxy,(,)知道:与为所有的可疑极值点，故为的极小值点，(0,0,3)zzxy,(,)为的极大值点。 进一步分析定理4的结论可以得到 yfxxx,(,,,) 12n n，1up()R的广义约束条件为，它是中的开集，从而由第一章的注2知，0 yfxxx,(,,,)的极值问题为普通极值问题，因此可以用普通极值的判别法判断隐函数12n 第 10页 共15页 yfxxx,(,,,)的极值。 12n 0000pxxxy(,,,,)定理5 如果在处满足 Fn012 pup()(1) 在的某邻域内二次可微， 00 0000(2) ， Fxxxyin(,,,,)0,(1,2,,),,xn12i 0000(3) ， Fxxxy(,,,,)0,yn12 Fxxxy(,,,,)0,(4) ， 12n up()则对由在内确定的函数有 fx()F0 fp()1)若是正定的，则是(条件)极小值 Q0 fp()2)若Q是负定的，则是(条件)极大值 0 fp()3)若Q是不定的，则不是极值 0 4)若Q是半定的，则需要进一步判断 pupup()(()),证明:由条件，在的某邻域内确定了一个函数 F0100 yfxxx,(,,,) 12n 000(,,,)xxxQQuQ()设为，则在的某邻域内有连续偏导数 n00120 Fxi ,(1,2,,)fin,,,xiFy upup()(()),up()f由于在内二次可微，故在内二次可微。再由条件(2)F1000 知 ,,fQ()0 0故由定理2知，待证结论成立 以此方法再解例4.1: zzxy,(,)由(4.1)对求导得到 ,,zz422240xzy，，,,, (4.6) ,,xx 第 11页 共15页 ,,zz222240yzx，，,,, (4.7) ,,yy令 ,,zz,,0 ,,xy则 21,1xyxy，,，,由此得到驻点，代入(4.1)得到 ， (,)(0,0)xy, zz,,1,2 12对(4.6)(4.7)两边求导得到 222,,,,zzz, (4.8) 42240，，,,z,,22,,,xxx,, 22,,,,zzzz22240,，，,,z (4.9) ,,,,,,xyxyxy 222,,,,,zzz22240，，,,z (4.10) ,,22,,,yyy,, 令 (,,)(0,0,1)xyz, 由以上三式得 AzBzCz,,,,,,2,1,1 xxxyyyHessian矩阵 ,21, ,,11,,正定 (,,)(0,0,1)xyz,zzxy,(,)故为的极小值点 (,,)(0,0,3)xyz,令由以上三式知 AzBzCz,,,,,,,,,2,1,1 xxxyyy 第 12页 共15页 Hessian矩阵 ,,,21, ,,,,11,, 负定 为的极大值点 故(,,)(0,1,3)xyz,zzxy,(,) 注:比较两种方法，我们看到Lagrange乘数法比利用普通极值的充分条件判别极值要简单，因为省去了求Hessian矩阵并判断其性状的麻烦。 第四章 结论 多元函数的极值问题无论是实际生产生活中还是理论应用中都极其重要，对于多元函数极值问题的研究就显得十分重要且有意义。本文通过引入广义约束条件和广义条件极值讨论了多元函数中的极值问题，比较了普通极值(无条件极值)和条件极值问题的联系和区别。并通过对隐函数极值问题的探讨指出，相比于利用Hessian矩阵判断极值，Lagrange乘数法对于求函数的极值有其特别的功用，这是因为每一个函数都可以看成隐函数。这样Lagrange乘数法就显示出其更广泛的应用性。而且在判断极值时用Hessian矩阵要求的条件就很强(要求函数二阶可微，不妨称这种方法为直接法)，问题是对于没有这么强的条件的函数我们怎么办，回答是目前无法找到统一的方法处理，因为用Lagrange乘数法求极值时我们也要求函数有连续偏导数，事实上就是二阶可微。尽管如此，我们仍然可以看到Lagrange乘数法在进行计算时要比直接法要简便，这就是Lagrange乘数法的优越性。特别是对于函数的定义域是闭集时就更为明显了，因为此时函数的极值分布在可疑极值点处和边界点处，我们可以通过用Lagrange乘数法求出可疑极值点，再比较各点处函数值的大小和边界点处函数值的大小就可以得到函数的极值(最值)点了。对于其他情形讨论的情况就很复杂了，需要发展更好的方法。 参考文献: 第 13页 共15页 [1]谢惠民等，数学分析习题课讲义(下):北京，高等教育出版社，2004:231页到232页 [2]张贤科 许甫华，高等代数学:北京，清华大学出版社，1998:267页到268页 [3]华东师范大学数学系，数学分析(下)(第三版):北京，高等教育出版社，2001:164页到169页 [4]陈文原 范先令，隐函数定理:甘肃，兰州大学出版社，1986:126页到127页 [5]熊金城，点集拓扑讲义(第二版):北京，高等教育出版社，1991:89页到95页 [6]马富明 高文杰，数学分析(第二册):北京，高等教育出版社，2005:47页到50页 [7]江泽坚 孙善利，泛函分析(第二版):北京，高等教育出版社，2005:41页到42页 致谢: 首先非常感谢我的论文指导老师教授。吴老师工作非常忙，但她对论文的指导非常细致认真，从内容取材到 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 字体，吴老师都作了认真审阅，并批评指正。 第 14页 共15页 这种对学生认真负责，对工作一丝不苟的精神让我深受感动。论文的选题，修改，再到定稿都是与吴老师的指导分不开的。我在这里谢谢吴老师。还要提到的是大三下期时我在04级吴老师带的班听了一学期实变函数课。她的实函课节奏明快，思路清晰，信息量大。使我印象深刻，受益匪浅，借此机会再次谢谢吴老师。其次，我要感谢大学期间的各位任课老师以及两位辅导员蓝老师和赵老师，我大学的成长和成熟是和他们分不开的。特别要提到的是陈清明老师，陈老师是我的数学分析和实变函数老师，陪伴我们两年，对我的帮助最大。借此机会我特别感谢陈老师。最后，我要感谢这四年来，关心我帮助我的同学和朋友。四年里，有过很多挫折，是他们的热情鼓励，使我找回了自信，克服了困难。借此机会，我谢谢我的好同学和好朋友。 第 15页 共15页