2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系含解析新人教a版(可编辑)

2015届高考数学第一轮知识点巩固 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 库 第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系含解析新人教a版(可编辑) 第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题 1.直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于 . A B.2C D.4 解析 直线4kx-4y-k=0,即y=k,即直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点.设Ax1,y1,Bx2,y2,则|AB|=x1+x2+=4,故x1+x2=,则弦AB的中点的横坐标是,弦AB的中点到直线x+=0的距离是+=. 答案 C 2.设斜率为的直线l与椭圆+=1ab0交于不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为 . AB CD. 解析 由于直线与椭圆的两交点A,B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1,F2,故|AF1|=|BF2|=,设直线与x轴交于C点,又直线倾斜角θ的正切值为,结合图形易得tan θ===,故|CF1|+|CF2|==|F1F2|=2c,整理并化简得b2=a2-c2=ac,即1-e2=e,解得e=. 答案 C 3.抛物线y2=2px与直线2x+y+a=0交于A,B两点,其中点A的坐 标为1,2,设抛物线的焦点为F,则|FA|+|FB|的值等于 . A.7 B.3 C.6 D.5 解析 点A1,2在抛物线y2=2px和直线2x+y+a=0上,则p=2,a=-4,F1,0,则B4,-4,故|FA|+|FB|=7. 答案 A 4.设双曲线-=1a0,b0的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若?F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2= . A.1+2 B.4-2 C.5-2 D.3+2 解析 如图,设|AF1|=m,则|BF1|=m,|AF2|=m-2a,|BF2|=m-2a,?|AB|=|AF2|+|BF2|=m-2a+m-2a=m,得m=2a,又由|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,可得m2+m-2a2=4c2,即得20-8a2=4c2,?e2==5-2,故应选C. 答案 C 5.已知直线l:y=kx-2k0与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|AF|=2|BF|,则k的值是 . ABC.2 D. 解析 法一 据题意画图,作AA1?l′,BB1?l′,BD?AA1. 设直线l的倾斜角为θ,|AF|=2|BF|=2r, 则|AA1|=2|BB1|=2|AD|=2r, 所以有|AB|=3r,|AD|=r, 则|BD|=2r,k=tan θ=tan?BAD==2. 法二 直线y=kx-2恰好经过抛物线y2=8x的焦点F2,0,由可得ky2-8y-16k=0,因为|FA|=2|FB|,所以yA=-2yB.则yA+yB=-2yB+yB=, 所以yB=-,yA?yB=-16,所以-2y=-16,即yB=?2.又k0,故k=2. 答案 C 6.过双曲线-=1a0的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围是 . A.,5B., C.1,D.5,5 解析 令b=,c=,则双曲线的离心率为e=,双曲线的渐近线的斜率为?. 据题意,23,如图所示. ?=, ?23, ?5e210, ?e. 答案 B 二、填空题 7.椭圆+y2=1的弦被点平分,则这条弦所在的直线方程是________. 解析 设弦的两个端点为Ax1,y1,Bx2,y2, 则x1+x2=1,y1+y2=1. ?A,B在椭圆上,?+y=1,+y=1. 两式相减得:+y1+y2y1-y2=0, 即=-, ?x1+x2=1,y1+y2=1, ?=-,即直线AB的斜率为-. ?直线AB的方程为y-=-, 即该弦所在直线的方程为2x+4y-3=0. 答案 2x+4y-3=0 8.已知椭圆C:+=1ab0,F,0为其右焦点,过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为________. 解析 由题意,得 解得?椭圆C的方程为+=1. 答案 +=1 9.过椭圆+=1a>b>0的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M,与y轴的交点为B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为________. 解析 由题意知A点的坐标为-a,0,l的方程为y=x+a,?B点的坐标为0,a,故M点的坐标为,代入椭圆方程得a2=3b2,?c2=2b2,?e=. 答案 10.已知曲线-=1a?b?0,且a?b与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且?=0O为原点,则-的值为________. 解析 将y=1-x代入-=1,得b-ax2+2ax-a+ab=0.设Px1,y1,Qx2,y2, 则x1+x2=,x1x2=.?=x1x2+y1y2=x1x2+1-x1?1-x2=2x1x2-x1+x2+1.所 以-+1=0,即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以-=2. 答案 2 三、解答题 11.在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同 的A,B两点. 1如果直线l过抛物线的焦点,求?的值; 2如果?=-4,证明:直线l必过一定点,并求出该定点. 1解 由题意:抛物线焦点为1,0, 设l:x=ty+1,代入抛物线y2=4x, 消去x得y2-4ty-4=0,设Ax1,y1,Bx2,y2, 则y1+y2=4t,y1y2=-4, ??=x1x2+y1y2=ty1+1ty2+1+y1y2 =t2y1y2+ty1+y2+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3. 2证明 设l:x=ty+b,代入抛物线y2=4x, 消去x得y2-4ty-4b=0, 设Ax1,y1,Bx2,y2, 则y1+y2=4t,y1y2=-4b, ??=x1x2+y1y2=ty1+bty2+b+y1y2 =t2y1y2+bty1+y2+b2+y1y2 =-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b. 令b2-4b=-4,?b2-4b+4=0,?b=2, ?直线l过定点2,0. ?若?=-4,则直线l必过一定点. 12.给出双曲线x2-=1. 1求以A2,1为中点的弦所在的直线方程; 2若过点A2,1的直线l与所给双曲线交于P1,P2两点,求线段P1P2的中点P的轨迹方程; 3过点B1,1能否作直线m,使得m与双曲线交于两点Q1,Q2,且B是Q1Q2的中点?这样的直线m若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由. 解 1设弦的两端点为P1x1,y1,P2x2,y2,则两式相减得到2x1-x2x1+x2=y1-y2y1+y2,又x1+x2=4,y1+y2=2, 所以直线斜率k==4. 故求得直线方程为4x-y-7=0. 2设Px,y,P1x1,y1,P2x2,y2, 按照1的解法可得=, ? 由于P1,P2,P,A四点共线, 得=,? 由??可得=,整理得2x2-y2-4x+y=0,检验当x1=x2时,x=2,y=0也满足方程,故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2-y2-4x+y=0. 3假设满足题设条件的直线m存在,按照1的解法可得直线m的方程为y=2x-1. 考虑到方程组无解, 因此满足题设条件的直线m是不存在的. 13.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1. 1过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一 条渐近线及x轴围成的三角形的面积. 2设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点.若l与圆x2+y2=1相 切,求证:OP?OQ. 3设椭圆C2:4x2+y2=1.若M、N分别是C1、C2上的动点,且OM? ON,求证:O到直线MN的距离是定值. 1解 双曲线C1:-y2=1,左顶点A,渐近线方程:y=?x. 不妨取过点A与渐近线y=x平行的直线方程为 y=,即y=x+1. 解方程组得 所以所求三角形的面积为S=|OA||y|=. 2证明 设直线PQ的方程是y=x+b. 因为直线PQ与已知圆相切,故=1,即b2=2. 由得x2-2bx-b2-1=0. 设Px1,y1、Qx2,y2,则 又y1y2=x1+bx2+b,所以 ?=x1x2+y1y2=2x1x2+bx1+x2+b2 =2-1-b2+2b2+b2=b2-2=0. 故OP?OQ. 3证明 当直线ON垂直于x轴时, |ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为. 当直线ON不垂直于x轴时,设直线ON的方程为y=kx, 则直线OM的方程为y=-x. 由得所以|ON|2=. 同理|OM|2=. 设O到直线MN的距离为d, 因为|OM|2+|ON|2d2=|OM|2|ON|2, 所以=+==3,即d=. 综上,O到直线MN的距离是定值. 14.在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段,D为垂足, 点M在线段PD上,且|DP|=|DM|,点P在圆上运动. 1求点M的轨迹方程; 2过定点C-1,0的直线与点M的轨迹交于A,B两点,在x轴上是 否存在点N,使?为常数,若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理 由. 解 1设Px0,y0,Mx,y,则x0=x,y0=y. ?Px0,y0在x2+y2=4上,?x+y=4. ?x2+2y2=4,即+=1. 点M的轨迹方程为+=1x??2. 2假设存在.当直线AB与x轴不垂直时, 设直线AB的方程为y=kx+1k?0,Ax1,y1,Bx2,y2,Nn,0, 联立方程组 整理得1+2k2x2+4k2x+2k2-4=0, ?x1+x2=-,x1x2=. ??=x1-n,y1?x2-n,y2 =1+k2x1?x2+x1+x2k2-n+n2+k2 =1+k2×+k2-n×+k2+n2 =+n2 =+n2 =2n2+4n-1-. ??是与k无关的常数,?2n+=0. ?n=-,即N,此时?=-. 当直线AB与x轴垂直时,若n=-,则?=-. 综上所述,在x轴上存在定点N,使?为常数.