【word】 二元函数极限求法

【word】 二元函数极限求法 二元函数极限求法 第26卷 (2O11) 内江师范学院 J0URNALOFNEUIANGNORMALUNIVERSITY?l65? 二元函数极限求法 付艳,王玲,肖金 (内江师范学院数学与信息科学学院,四川内江641100) 摘要:极限问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 是数学分析的核心问题,也是微积分学的基础.但二元函数极限求解却是难点.本文通过对二元函数极限的 求法进行研究,着重从函数类型进行探讨,并且尝试利用二元函数洛必达法则,二重积分和泰勒展开式来作研究,并在原有教科 书,参考资料已有方法的基础上又进一步延伸了一些新方法. 关键词:二元函数}极限I存在性 中图分类号:O174.41文献标志码:A文章编号:1671--1785(2O11)S1 一O165一O2 极限概念是数学分析中最重要的概念,这不仅仅是因为 数学分析中的许多重要概念,如连续,导数,积分等都要用极 限来定义,而且由极限出发形成的极限理论是数学分析乃至 整个分析数学的基础,从极限理论出发产生的极限方法,是 数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想,掌握极限 理论,应用极限方法是继续学习数学分析的关键.关于一元 函数的极限及求法,在各种高等数学教材中都有详细的讨 论.二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的, 二者之间既有联系又有区别.比如,极限的四则运算法则是 相同的,但是随着变量个数的增加,二元函数的极限比一元 函数极限变得要复杂得多.但现有教材及参考书关于二元函 数极限求法描述不够详细,不便于初学者的学习与掌握.所 以我们试图通过研究分析系统地归纳出求解二元函数极限 的方法. 一 ,利用二元函数极限的定义求解 二元函数极限的定义设,为定义在DCR.上的二元 函数,Po为D的一个聚点,A是一个确定的实数,若对任给 的e,总存在某正数,使得当P?(P.;)nD时,都有 I,(P)一AI<e,则称,在D上当P—Po时,以A为极限,记 作lim,(P)=A. p 例1求 .(+)sin:南?.)一(OtO)ZTV 解因为当(z,)?(O,0)时,有, l1ll(+sin{了l<+yl<fxl+lyl, 所以对Ve>O,取=-b-,则当Ix-OJ<,I一0I<,且(, 3I)?(O,O)时.有 l1IJ(x+y)sinI<Ix4-yl<IzI+Iyl<e, 1 故 ,+Y南-0- 一 般这样的题型只需对『,(P)一A『作适当地放缩即可. 收稿日期:2010—05—27 基金项目:内江师范学院大学生科研究项目(1ONSD--196) 作者简介:付艳(1989,),女,四川简阳人,内江师范学院2008级学生 二,利用极限的四则运耳法则求解 二元函数极限的四则运算法则见参考文献[1]. 例2求lim—xz __r -- 2xy-4- .I y2. . 解limx2-- 1—— 2 = xy+ I y~ . :limIx-yI:O. .)一(0,o)I—YI,)一(0.o) 三,利用初等函数的连续性求解 二元初等函数在其定义域内都是连续的,由二元函数在 P.点连续的定义知,若P.(勘,yo)是二元初等函数,定义 域内的一点,则 liraf(x,j,)一,(o,0). ‘ )一(x0’YO) 例3求丽ln(x4-ey) 解因为函数,(z,)一是初等函数,而(1,.) 又是其定义域内的一点,故 丽In(x4-ey)一fltm(1,o)=,Inz. Y ——=====;一i,U,一. (?)一(1,o)~/0+. 四,利用无穷小量的相关结论求解 一 元函数关于无穷小量的某些结论对二元函数同样适 用. 例4求 .o) exz-2 吐 ~+y2 解由例2可知 , =.,故 ,)(O,O)II ? Ix 2 -- z yl一4-? , 再由复合函数极限的运算法则可得 , li , 三一o. (-y)--(O.O). 五,利用迫敛性求解 设户(,),,(z,)和g(,)在区域D上有定义, Po(zo,yo)是区域D的内点或界点,若g(x,)?lf(x.)I ?p(x,),limg(x,)=A且limP(,)=A, ,)一(xo,),)(n?) ? 166?内江师范学院第26卷 贝U有limf(z,j,)一A. (,)_.(x0’Yo) 例5求xq’-y xy干(,)一(?,?)z,1- 解由X+.?2xy,X+.--xy~xy,可得 .?l#I?I1一 l{+l?I{l+I了1I, 而 熙11+11I)一l—xl1一o, 故由迫敛性可知=x-b 而y—o? ‘,一t?’?J山山yJy 六,利用重要极限求解 可通过对给出的函数做适当的变形,使它含有重要极限 lim坚一1或lim(1+)一P的形式,从而直接求出函数rOZr?,Z, 的极限. … lim 一..(1+xy)(,)一(+?,+..), 解令,=xy,则 ,+)一蝇(+?), 故 一,(+),一一[(+)]一eo=. 七,通过变量代换.将二重极限向一元函数中的已知极 限转化 例7求lim(z.-Fy)e一’ 解原式: , 丽x2-{-y~ e ](,)斗(+..,+..)lZTzTI 当z一+..,+..时,l端l?,令t=z+ Y则 lim(z+)e-(x+=limt.e一lim等=lim?一09,9 (,y)一(+?,+?)+..+?e’ 故lim(z.+)e一0. 八,利用二元函数的洛必达法则求解 定理[若二元函数,(P)满足 (i)Po(.yo)为有限点; (ii)lim,(P)一limg(P)一0; 卢一p0p—pO (iii)f(P),g(P)在点P.的某空心领域内可微,且 g(P)与g(P)不同时为零; civ)lira描等~J…lira. =A 注:条件(ii)改为lim,(P)一limg(P)=o.时,结论仍然 P—POP—PO 成立. 例8求lim—sin(x2y— q-xy2) . 解 1im—sin(xzy— - bxy2)一 lim (,)一(o,0)xy(,)一(o.o) !?:兰?=三?!Q兰:?兰:2兰:?兰一 2xy ‚limcos(z+xy)(z+)=0.’(,)一(O,O) 九,利用初等变形求极限,特别是当函数为幂指数形式 时,可先求其对数的极限 相关结论见参考文献[3] 例9求1im(z.+z).. 解设”一(z+).,贝0 lnu=x2y2ln(X2+y2)=?xzy2(+y2)1n(z.+), 而 弗=?1一..y. lim(+.)ln(x+.)一0, 故lim(+.)一eo=1. 十,通过对分子或分母进行有理化,把未定式极限转化 成定式极限 例10求Iim—.兰, , )一(o,0jzy斗1—1 解 1im—=一 ,一(o,?+1—1 lim—兰旦I?芝皇一 1)(~/z+1+1) ((.10)(~/z+1— 1im(~/+1+1)一2 十一,利用二重积分来计算] 例11求极限 . l , i — ra ,..,(11町+11+…+1{+ 11 十 11+… +11),z1+2,22+2.1+22+3..1+12+2, 解 原式=lira …r/1 薹薹+壶X-(n1?n2)一(一?11上JJl十 南=南南z, 其中D为0?z?1,0?Y?l_ 十二,利用二元函数的泰勒展开式求极限,这与用一元 函数的泰勒展开式求一元函数的极限相类似 例12求lim—cos(x+y)— -- cosxcosy . (下转第174页) 内江师范学院第26卷 表6常见疾病种类 假设张三一家所在地一年内人均生病次数为lO次.计 算各成员需缴纳保险金额如表7所示. 表7缴纳保险金额 消费者的损失比例越大,需缴纳的保险金额就越多,所 以科学合理计算出保险金额是非常必要的.同时,以上计算 保险金额的思想还可以推广到生活中的其他领域,如:农村 家禽的风险和保险问题,建筑物的风险和保险问题等. 四,结论 本文根据分析生活中风险的存在,消费者的风险态度以 及制定保险金额的通用模型问题.讨论了城乡商业医疗保险 问题及保险金额的计算方法.通过实例对比可见,随着消费 者日常收入的提高,平均医疗费用的增加,保险金额也相应 增加.对不同消费者的不同情况,其需要缴纳的保险金额也 随着其加速因子的加速值的提高而增加.本文仅对模型在城 乡商业医疗保险的保险金额计算方面作出了一些初步研究, 还有更多领域有待进一步探究,如农村家禽保险,建筑物的 保险方面. 参考文献: [1]刘连生.保险概论[M].北京:中国金融出版社,2002. [2]茆诗松.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社, 2004. [3]高鸿业.西方经济学[M].北京;中国人民大学出版社,2007. [4]中国商业医疗保险研究课题组.中国商业医疗保险研究[M]. 北京;中国金融出版社,2002. I-5]刘京生.中国农村保险 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 论纲EM3.北京:中国社会科学出版 社,2000. (责任编辑:胡蓉) (上接第166页) 解把COS(X+)一cosxcosy在原点展开得 COS(X+)一cosxcosy一一xy+0(1口),其中lD一 , 故1im (,)一(O,0) — cos(x+y)— --cosxcosy: XY lim--—.——x——y—一——1 , )一(0,0)XY 通过对二元函数极限求法进行研究,系统地归纳出了二 元函数极限求法,并附以相关例题加以说明,从而使求解更 加通俗易懂和简单明了.克服了以往教科书,参考资料中关 于较复杂的二元函数极限求法的单调性.对于文中出现的例 题有时是可以用两种或更多方法求解的,但在此我们只用了 针对该题的较简单的方法,所以有兴趣的读者还可以进一步 进行谈论. 参考文献: [1]华东师范大学数学系.数学分析:下册[M].3版.北京:高等 教育出版社,2001. [2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育 出版社,1993. [3]陈明.泰勒公式在判定二元函数极限存在性中的应用[J].南华 大学数理学院,2004,24(4):67—69. [4]武淑琴.二元函数极限的几种求法口].山西煤炭管理干部学院 ,2004,17(2):24—25. (责任编辑:胡蓉)