函数恒成立问题
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讲义编号
学员编号: 年 级: 高三 课时数: 3
学员姓名: 谭晓彤 辅导科目: 数学 学科教师:朱敦望 学科组长签名及日期 易湘平(2010年5月22日) 学员家长签名及日期
课 题 函数恒成立问题
授课时间:2010-5-23 备课时间: 2010-5-20
教学目标 不等式恒成立问题探讨
重点、难点 转化思想
考点及考试要求
一、 讲解新课:
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
一、不等式恒成立问题的处理
方法
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、转换求函数的最值: 1
fxA,,,,,fx()fx,A,minDD(1)若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上,的下界大于A
fxB,,,,,fx()fx,BmaxDD(2)若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上,的上界小于A
,,,,0,,,,,,fx2,,例1、R上的函数既是奇函数,又是减函数,且当时,有
2,,,,fcos,,2msin,,f,2m,2,0恒成立,求实数m的取值范围.
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44f(x),axlnx,bx,c(x,0)ax,1,,3cb例2、已知函数在处取得极值,其中、为常数.
f(x)ab(1)试确定、的值; (2)讨论函数的单调区间;
2f(x),,2ccx,03)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围。 (
2、主参换位法
x,1,2,,a10x,,例3、若不等式对恒成立,求实数a的取值范围
2a,1xaxa,,,,,(4)420例4、若对于任意,不等式恒成立,求实数x的取值范围
a332fxxxax()(1)1,,,,,2,fxxxa()1,,,,a32例5、已知函数,其中为实数(若不等式对任意a,,,(0),x都成立,求实数的取值范围(
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中小学1对1课外辅导专家 3、分离参数法
gfx,,gfx,,,,,,,,,,(1) 将参数与变量分离,即化为(或)恒成立的形式;
fx,,xD,(2) 求在上的最大(或最小)值;
gfx,,()gfx,,,,,,,,max,min(3) 解不等式(或) ,得的取值范围。
适用题型:(1) 参数与变量能分离;(2) 函数的最值易求出。
2x,(1,2)xmx,,,40m例6、当时,不等式恒成立,则的取值范围是 .
132fxaxbxx()3,,,,f(x)a,ba,03例7、已知函数,其中(1)当满足什么条件时,取得极值?(2)
f(x)(0,1]aa,0b已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.
4、数形结合
||xax,axR,例8 、若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是________
2logx(1)x,a,例9、当x(1,2)时,不等式<恒成立,求a的取值范围。
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中小学1对1课外辅导专家 二、不等式能成立问题的处理方法
fxA,,,,,fx,AxmaxDD若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上;
fxB,,,,,fx,BxminDD若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.
x,4,x,3,aaR例10、已知不等式在实数集上的解集不是空集,求实数的取值范围______
2xax,ax,a,,3例11、若关于的不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是 (
12fxxaxx,,,ln2,,aa,02例12、已知函数()存在单调递减区间,求的取值范围
三、不等式恰好成立问题的处理方法
1,,xx|1,,,,,23axbx10,,,ab,,,,例13、不等式的解集为则___________
2x,x,a2fx,,,,,,,,,,x,1,,,,fx0,,,ax例14、已知当的值域是,试求实数的值.
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中小学1对1课外辅导专家 例15、已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为实数。
,(1)对任意x[-3,3],都有f(x)?g(x)成立,求k的取值范围;
,(2)存在x[-3,3],使f(x)?g(x)成立,求k的取值范围;
,(3)对任意x1、x2[-3,3],都有f(x1)?g(x2),求k的取值范围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习
2(1)(1)3(1)0mxmxm,,,,,,1、若不等式对任意实数x恒成立,求实数m取值范围
2kxkx,,6,22xR,xx,,22、已知不等式对任意的恒成立,求实数k的取值范围
932fxxxxa()6,,,,,fxm(),xm23、设函数(对于任意实数,恒成立,求的最大值。
2xpxpx,,,,12,4、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。
2xxax,,,,2023对任意实数,,,a5、已知不等式恒成立。求实数的取值范围。
2a,,2,2,,fxxaxa()(4)42,,,,,6、对任意的,函数的值总是正数,求x的取值范围
1,,0,2,,xx,,log02,,m7、 若不等式在内恒成立,则实数m的取值范围
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ax,x(4,x)x,[0,3]8、不等式在内恒成立,求实数a的取值范围。
2kxk,,,20k9、不等式有解,求的取值范围。
xxa,,,,21xa10、对于不等式,存在实数,使此不等式成立的实数的集合是M;对于任意x,[05],aMN,,使此不等式恒成立的实数的集合为N,求集合(
xxa,,,,3211、?对一切实数x,不等式恒成立,求实数a的范围。
xxa,,,,32?若不等式有解,求实数a的范围。
xxa,,,,32?若方程有解,求实数a的范围。
22xyc,,,0xy,,,(1)112、 ?若x,y满足方程,不等式恒成立,求实数c的范围。
22xyc,,,0xy,,,(1)1 ?若x,y满足方程,,求实数c的范围。
432a,,22,,,abR,,fx()1,fxxaxxbxR()2(),,,,,13、设函数,其中(若对于任意的,不等式,11,,,b在上恒成立,求的取值范围(
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132fxxaxaxa()(1)424,,,,,fx()0,aa,1x,0314、设函数,其中常数,若当时,恒成立,求的取值范围。
2f(x),a,bxab15、已知向量=(,x+1),= (1-x,t)。若函数在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围。
答案:
13(,,,,)[2,10)111、解: 2、解:
'2'2fxxx()396,,,fxm(),39(6)0xxm,,,,xR,xR,,3、解析:, 对,, 即 在上恒成立,
33,m,,,,,,,8112(6)0mm44?, 得,即的最大值为。
4、解:不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0,故有:
2,xx,4,3,0x,3或x,1,f(,2),0,,,,,2,x,1或x,,1x,1,0f(2),,,,即解得:?x<-1或x>3.
y y,ax1 [,1)x,(,,,0),(4,,,)a,0165、解: 6、解: 7、解:
y,x(4,x)y,axx,[0,3]8、解:画出两个凼数和在
0 3 x
3a,y,3x,33上的图象如图知当时,
33a,a,ax,x(4,x)x,[0,3]33当时总有所以
2,,2,,,k2,,k,,2222x,1,,,kx(1)2,,kxk,,,20maxx,19、解:不等式有解有解有解,所以k,,,(2),。
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,,,,,21(1)xx,,??,fxxxx()213(12),,,,,,,
,,,,afx()321(2).xx,,afx,()min,10、解:由又有解, Maa,,{3},,,,,,xxxagx21[05](),,,,,,,agxg()(5)9gx()max所以(令恒成立(所以
Naa,,{9}
a,[,5,5]c,[,1,2,,1,2]a,,5a,5c,2,111、解:?? ? 12、解:? ?
322a,,22,,,,fxxaxxxxax()434(434),,,,,,13、解:由条件可知
22,,fx()0,fx()0,,,,,9640a4340xax,,,x,0x,0,从而恒成立(当时,;当时,(因此函数,11,,,fx()f(1)f(1),在上的最大值是与两者中的较大者(
a,,22,,11,,,,,fx()1,fx()1,max为使对任意,不等式在上恒成立,当且仅当,
ba,,,(2)f(1)1,,,ba,,,2min,,,,a,,22,a,,22,ba,,,(2),,,,f(1)1,,ba,,,2min,,,即,即在上恒成立(即,
,,?,4,,b,,4b所以,因此满足条件的的取值范围是(
f(x)x,0x,2ax,014、解:(II)由(I)知,当时,在或处取得最小值。
143232f(2a),(2a),(1,a)(2a),4a,2a,24a,,a,4a,24af(0),24a33;
a,1,,
a,1,,4,,,a(a,3)(a,6),0,,f(2a),0,,3,,f(0),0,24a,0.,a,(1,6),16,,a,?则由题意得 即解得 。
2322,y f(x),x(1,x),t(x,1),,x,x,tx,tf(x),,3x,2x,t15、解:依定义。则,
1g(x) x,,f(x)f(x),0若在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设恒成立。 3
2,f(x),0,t,3x,2x?在(-1,1)上恒成立。
2g(x),3x,2x考虑函数,(如图)
x ? ? ? 1? o x,1 g(x)-1 3由于的图象是对称轴为,开口向上的抛物线,
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2,t,g(,1)t,3x,2xt,5故要使在(-1,1)上恒成立,即。
,,f(x)f(x)t,5时,在(-1,1)上满足>0, 而当
f(x)t,5即在(-1,1)上是增函数。故t的取值范围是.
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