2006年清华大学自主招生数学试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1．求最小正整数
，使得
为纯虚数，并求出
．
2．已知
为非负数，
，求
的最值．
3．已知
为等差数列，
为等比数列，求
的值．
4．求由正整数组成的集合
，使
中的元素之和等于元素之积．
5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数．
6．
上一点
(非原点)，在P 处引切线交
轴于
，求
．
7．已知
满足：对实数
有
，且
，求证
恒为零．
(可用以下结论：若
，
为一常数，那么
)
8．在所有定周长的空间四边形
中，求对角线
和
的最大值，并证明．
2006年清华大学自主招生数学试题解答
1解答：
，
而纯虚数的幅角为
，因此
n=3,
2解答：
(1)
（2）
（3）利用x^4为凹函数的特性
3解答：
4 解答：单元素集合{n}显然满足要求.
如果
中有两个元素a,b，其中a>b,那么a整除ab,而a不整除a+b，无解
如果
中有3个元素a,b，c，其中a>b>c,如果bc>=3，那么abc>=3a>a+b+c
因此b=2,c=1，2a=a+3 因此a=3
如果
中有k(k>=4) 个元素a1,b…,ak，其中a1>a2…>ak,
a1a2a3…ak>= a1a2a3>=a1(k-1)(k-2)>=a1(k-1)*2>a1*k>a1+a2+..ak，无解
5 解答：这个问题就是求最小的正整数n使得1-(1/2)^n>0.9,可的n=4
6．
解答：设点
7．解答：
首先f(0)=0,令g(x)=f(x)/x (x≠0) g(0)=0，由于
,因此
易得g(x+y)=g(x)+g(y) 如果存在某点z≠0 使的g(z)=t≠0
那么
g(kz)=kt(k是整数),
，矛盾
g(x)≡0 因此 f(x)≡0
8．解答：
设周长=L, 容易证明
+
,但
+
当AB->0 D->平面ABC时AC->L/2 BD->L/2 时，因此
+
是没有最大值的，但有上确界L,所以这个问题问的有些问题
空间四边形
+
另外
+
，因此
对于平面四边形
，如果
是凸的，那么
如果
是凹的，那么
浙公网安备 33021202002483