四边形中的折叠问题
折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。
一、例题讲解
例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿
折叠，点A、B分别落在
、
处，线段
与
交于点
，再将纸条的另一部分
沿
折叠，点C、D分别落在
、
处，且使
经过点
．
（1）求证：四边形
是平行四边形；
（2）当翻折角
度时，
四边形
是菱形．（将
答案
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直接
填写在横线上）
（1）
证明
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：由题意可知
，
∵
∥
,
∴
.
∴
.
∴
同理
.
∴
.
又∵
∥
,
∴四边形
是平行四边形.
（2）60
例2 如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F.
（1）求证：△FAC是等腰三角形；
（2）若AB=4，BC=6，求△FAC的周长和面积.
（1）证明：由题意可知△ABC≌△ACD≌△ACE,
所以∠DAC=∠ACE,所以△FAC是等腰三角形；
（2）解：设CF=AF=x，且AD=BC=6,CD=AB=4
Rt△CDF中，DF=AD-AF=6-x
由勾股定理得，
6-x=
Rt△ABC中，AC=
△FAC的周长=
+
△FAC的面积=△ACD的面积-△CDF的面积=
例3如图，将矩形
沿直线
折叠，顶点
恰好落在
边上
点处，已知
，
，求
的长．
解：由题意可知△
≌△
.
∴
，
.
在矩形
中，
，
，
,
∵
,
∴
.
在
△
中，
.
设
，则
,
∴
.
在
△
中，
,
即
,
解得
，即
（cm）.
例4 在梯形纸片
中，
，
，将纸片沿过点
的直线折叠，使点
落在
上的点
处，折痕
交
于点
，连结
．
（1）求证：四边形
是菱形；
（2）若
，试判断四边形
的形状，
并加以证明．
（1）证明：根据题意可知
，
．
，
．
．
．
．
四边形
为菱形．
（2）解：当
时，四边形
为平行四边形．
证明：由（1）知
．
又
，
．
又
，
四边形
为平行四边形．
浙公网安备 33021202002483