2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆试题 理 北师大版
第九章 平面解析几何 9.5 椭圆试题 理 北师大版
1(椭圆的概念
把平面内到两个定点F，F的距离之和等于常数(大于|FF|)的点的集合叫作椭圆(这两个定1212
点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距(
集合P,{M||MF|，|MF|,2a}，|FF|,2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数: 1212
(1)若a>c，则集合P为椭圆;
(2)若a,c，则集合P为线段;
(3)若a
b>0) ，,1(a>b>0) 2222abab
图形
,a?x?a b?x?b ,
范围 ,b?y?b ,a?y?a
对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点
A(,a,0)，A(a,0) A(0，,a)，A(0，a) 1212顶点 性 B(0，,b)，B(0，b) B(,b,0)，B(b,0) 1212质 轴 长轴AA的长为2a;短轴BB的长为2b 1212
焦距 |FF|,2c 12
c离心率 ,e?(0,1) a
222a，b，c的关系 a,b，c
【知识拓展】
点P(x，y)和椭圆的关系 00
22xy00(1)点P(x，y)在椭圆内?，<1. 0022ab
1
22xy00(2)点P(x，y)在椭圆上?，,1. 0022ab
22xy00(3)点P(x，y)在椭圆外?，>1. 0022ab
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“?”或“?”) (1)平面内与两个定点F，F的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆(( ? ) 12
(2)椭圆上一点P与两焦点F，F构成?PFF的周长为2a，2c(其中a为椭圆的长半轴长，c1212
为椭圆的半焦距)(( ? )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆(( ? )
22(4)方程mx，ny,1(m>0，n>0，m?n)表示的曲线是椭圆(( ? )
22yx(5)，,1(a?b)表示焦点在y轴上的椭圆(( ? ) 22ab
2222xyyx(6)，,1(a>b>0)与，,1(a>b>0)的焦距相等(( ? ) 2222abab
22xy1((教材改编)椭圆，m等于( ) ,1的焦距为4，则10,mm,2
A(4 B(8 C(4或8 D(12
答案 C
解析 由题意知
,,10,m>m,2>0，m,2>10,m>0，,,,,或 ,10,m,,,m,2,,4,m,2,,,10,m,,4，,,,,
解得m,4或m,8.
22xy2((2015?广东)已知椭圆,1(m>0)的左焦点为F(,4,0)，则m等于( ) ，1225m
4 D(9 A(2 B(3 C(
答案 B
22解析 由题意知25,m,16，解得m,9，又m>0，所以m,3. 3((2016?全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短
1轴长的，则该椭圆的离心率为( ) 4
11A. B. 32
2
23C. D. 34
答案 B
11解析 如图，由题意得|BF|,a，|OF|,c，|OB|,b，|OD|,?2b,b. 42
c1在Rt?FOB中，|OF|?|OB|,|BF|?|OD|，即cb,a?b，解得a,2c，故椭圆离心率e,,2a1，故选B. 2
224(如果方程x，ky,2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________( 答案 (0,1)
22xy2解析 将椭圆方程化为,1，因为焦点在y轴上，则>2，即k<1，又k>0，所以00，所以x,，所以P点坐标为,,，15422,,2,,15. ,,，,1,,2
题型一 椭圆的定义及标准方程
命题点1 利用定义求轨迹
例1 (2016?济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
3
A(椭圆 B(双曲线
D(圆 C(抛物线
答案 A
解析 由条件知|PM|,|PF|，
?|PO|，|PF|,|PO|，|PM|,|OM|,R>|OF|.
?P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆(
命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆
的方程为__________________________________________( (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P(6，1)，P(,3，,2)，12则椭圆的方程为___________________________________________(
222xyx2答案 (1)，y,1或，,1 9819
22xy(2)，,1 93
2222xy30解析 (1)若焦点在x轴上，设方程为，,1(a>b>0)，?椭圆过P(3,0)，?，,1，即2222ababa,3，
2x2又2a,3?2b，?b,1，方程为y,1. ，9
22yx若焦点在y轴上，设方程为，,1(a>b>0)( 22ab
2203?椭圆过点P(3,0)，?，,1，即b,3. 22ab
22yx又2a,3?2b，?a,9，?方程为，,1. 819
222xyx2?所求椭圆的方程为，y,1或，,1. 9819
22(2)设椭圆方程为mx，ny,1(m>0，n>0且m?n)(
?椭圆经过点P，P， 12
?点P，P的坐标适合椭圆方程( 12
4
,6m，n,1， ?,,则 3m，2n,1， ?,,
1m,，,,9??两式联立，解得 ,1 n,.,,3
22xy?所求椭圆方程为，,1. 93
命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题
22xy??例3 已知F，F是椭圆C:，,1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF?PF.121222ab若?PFF的面积为9，则b,________. 12
答案 3
解析 设|PF|,r，|PF|,r， 1122,r，r,2a，12,,则 222 r，r,4c，,,12
222?2rr,(r，r),(r，r) 121212
222,4a,4c,4b，
1s又?,rr 12 PFF122
2,b,9，?b,3.
引申探究
1(在例3中增加条件“?PFF的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程( 12
222解 由原题得b,a,c,9， 又2a，2c,18，
所以a,c,1，解得a,5，
22xy故椭圆方程为，,1. 259
??2(在例3中将条件“PF?PF”、“?PFF的面积为9”分别改为“?FPF,60?”、121212
s“,33”，结果如何, PFF12
解 |PF|，|PF|,2a，又?FPF,60?， 1212
22所以|PF|，|PF|,2|PF||PF|cos 60? 1212
2,|FF|， 12
22即(|PF|，|PF|),3|PF||PF|,4c， 1212
222所以3|PF||PF|,4a,4c,4b， 12
5
42所以|PF||PF|,b， 123
1s又因为,|PF||PF|?sin 60? 12 PFF122
1432,?? b232
32,b,33， 3
所以b,3.
思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|FF|这一条件( 12
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组(如果焦点位置不确定，要考虑是否有两
22解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为，,1(mxnym>0，n>0，m?n)的形式( (3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F，F组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定12
义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF|?|PF|;通过整体代入可求其面积等( 12
2222:(,169:(,内部且和 (1)已知两圆Cx,4)，y，Cx，4)，y9，动圆在圆C121圆C相内切，和圆C相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( ) 12
2222xyxyA.,,1 B.，,1 64484864
2222xyxyC.,,1 D.，,1 48646448
2x2(2)(2016?大庆质检)设F、F分别是椭圆，y,1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使124
???(OP，OF)?PF,0(O为坐标原点)，则?FPF的面积是( ) 2212
A(4 B(3 C(2 D(1
答案 (1)D (2)D
解析 (1)设圆M的半径为r，
则|MC|，|MC|,(13,r)，(3，r),16>8,|CC|， 1212
所以M的轨迹是以C，C为焦点的椭圆， 12
且 2a,16,2c,8，
22xy故所求的轨迹方程为，,1. 6448
????????(2)?(OP，OF)?PF,(OP，FO)?PF,FP?PF,0， 221212
?PF?PF，?FPF,90?. 1212
6
设|PF|,m，|PF|,n， 12
22则，,m，n,4，mn12,2mn,4，
1s?,mn,1. FPF122
题型二 椭圆的几何性质
22例4 (1)已知点是该椭圆上的一个动点，那么F，F是椭圆x，2y,2的左，右焦点，点P12
??|PF，PF|的最小值是( ) 12
A(0 B(1 C(2 D(22
22xy(2)(2016?全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C:，,1(a,b,0)的左焦点，A，B22ab分别为椭圆C的左，右顶点(P为C上一点，且PF?x轴(过点A的直线l与线段PF交于点
M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( ) 1123A. B. C. D. 3234
答案 (1)C (2)A
?解析 (1)设，)，则,(，,)， P(xyPF,1,xy00100
???PF,(1,x，,y)，?PF，PF,(,2x，,2y)， 2001200
??22?|，|,4PFPFx，4y 0012
22,22,2y，y 00
2,2,y，2. 0
2?点P在椭圆上，?0?y?1， 0
??2?当y,1时，|PF，PF|取最小值2.故选C. 012
amam,,,,(2)设M(,c，m)，则E0，，OE的中点为D，则D0，，又B，D，M三点共,,c,,2,a,c,,a
mm1线，所以，a,3c，e,. ,2,a,c,，c3a
思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
?注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y
的范围，离心率的范围等不等关系(
?利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴
等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系(
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
7
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用222,，消去abcb，即可求得离心率或离心率的范围(
22xy (2016?江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆，,1(a,b,0)的22ab
b右焦点，直线y,B，C两点，且?BFC,90?，则该椭圆的离心率是________( 与椭圆交于2
6答案 3
22xy，,1，,22,ab解析 联立方程组B，C两点坐标为 解得,b y,，,,2
,,,,b3b3BCF(c,0)， ,,，,,，又,a，a，,,,,2222
,,,,?3b?3ab则FB,FC,,,，,,， ,a,c，c，,,,,,2222
??又由?BFC,90?，可得FB?FC,0，代入坐标可得
2b322c,a，,0，? 44
222又因为b,a,c.
2c2代入?式可化简为,， 2a3
c26则椭圆的离心率为e,,,. 33a
题型三 直线与椭圆
22xy11例5 (2016?天津)设椭圆，,1(a>3)的右焦点为F，右顶点为A.已知，,2a3|OF||OA|3eO为原点，e为椭圆的离心率( ，其中|FA|
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF?HF，且?MOA??MAO，求直线l的斜率的取值范围(
e113解 (1)设F(c,0)，由，,， |OF||OA||FA|
8
c113222即，,a,c,3c. ，可得ca,a,c,a
22222又a,c,b,3，所以c,1，因此a,4.
22xy所以椭圆的方程为，,1. 43
(2)设直线l的斜率为k(k?0)， 则直线l的方程为y,k(x,2)(
22xy,,，,1，43设B(x，y)，由方程组y， 消去BB, ,y,k,x,2,,
2222整理得(4k，3)x,16kx，16k,12,0.
28k,6解得x,2或x,. 24k，3
28k,6,12k由题意得x,，从而y,. BB224k，34k，3由(1)知，F(1,0)，设H(0，y)， H
29,4k12k??,,有,(,1，)，,FHyBF，. H22,，，,4k34k3
??由BF?HF，得BF?FH,0，
24k,912kyH所以，,0， 224k，34k，3
2k9,4解得y,. H12k
219,4kx因此直线MH的方程为y,,，. k12k
y,k,x,2,，,,2设M(x，y)，由方程组消去y， MM,19,4kxy,,， ,k12k,
220k，9解得x,. M212,k，1,
在?MAO中，?MOA??MAO?|MA|?|MO|，
2222即(x,2)，y?x，y， MMMM
220k，9化简，得x?1，即?1， M212,k，1,
66解得k?,或k?. 44
所以直线l的斜率的取值范围为
9
,，，,66. ,,?,,,?，,，，?,，，,44
思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题(涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单(
22，)，，),[，,,] (2)设直线与椭圆的交点坐标为A(xyB(xy，则|AB|,,1，k,xx4xx11221212
12, ,1，,[,y，y,,4yy](k为直线斜率)( 12122k
提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式(
22xy (2016?唐山模拟)已知椭圆，,1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e,22ab
5，直线l交椭圆于M，N两点( 5
(1)若直线l的方程为y,x,4，求弦|MN|的长;
(2)如果?BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式(
c5解 (1)由已知得b,4，且,， 5a
222ca,b11即,，?,， 22a5a5
22xy2解得a,20，?椭圆方程为，,1. 2016
22则4x，5y,80与y,x,4联立，
402消去y得9x,40x,0，?x,0，x,， 129
2?所求弦长|MN|,1，1|x,x| 21
402,. 9
(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，
设线段MN的中点为Q(x，y)， 00
由三角形重心的性质知
??BF,2FQ，
又B(0,4)，?(2，,4),2(x,2，y)， 00
10
故得x,3，y,,2， 00
即Q的坐标为(3，,2)(
设M(x，y)，N(x，y)， 1122
则x，x,6，y，y,,4， 1212
2222xyxy1122且，,1，，,1， 20162016
,x，x,,x,x,,y，y,,y,y,12121212以上两式相减得，,0， 2016
y,yx，x41212?k,,,? MNx,x5y，y1212
466,,?,， 5,45
6故直线MN的方程为y，2,(x,3)， 5
即6x,5y,28,0.
8(高考中求椭圆的离心率问题
考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类:一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法(
22xy典例1 (2015?福建)已知椭圆E:，,1(a,b,0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，22ab
4直线l:3x,4y,0交椭圆E于A，B两点(若|AF|，|BF|,4，点M到直线l的距离不小于，5则椭圆E的离心率的取值范围是( )
3,，3,，A.0， ,, B.0，,4，,，2
3，,3，,C.,, D.，1 ，1，4,，,2
解析
11
左焦点，连接为平行四边形( FFA，FB，则四边形AFBF0000
?||，||,4， AFBF
?|AF|，|AF|,4， 0
?a,2.
b44设M(0，b)，则b,2. ?，?1?55
2222cca,b4,b,，3离心率e,,, , ?,,，故选A. 220，aa4a,，2答案 A
2x2典例2 (12分)(2016?浙江)如图，设椭圆，y,1(a,1)( 2a
(1)求直线y,kx，1被椭圆截得的线段长(用a，k表示); (2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围(
规范
编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载
解答
解 (1)设直线y,kx，1被椭圆截得的线段为AM，
y,kx，1，,,22222由ak)x，2akx,0，[2分] 得(1，x,2，y,1， 2,a,
22ak故x,0，x,,， 12221，ak
2a|k|222因此|AM|,1，k|x,x|,?1，k.[4分] 12221，ak
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，
满足|AP|,|AQ|.
记直线AP，AQ的斜率分别为k，k，[5分] 12
且k>0，k,0，k?k. 1212
22222a|k|1，k2a|k|1，k1212由(1)知|AP|,，|AQ|,， 22221，ak1，ak12
12
2222a|k|1，ka|k|1，k221122故,， 222211，ak，ak12
22222222所以(k,k)[1，k，k，a(2,a)kk],0.[7分] 121212
222222由k?k，k>0，k,0得1，k，k，a(2,a)kk,0， 12121212
11,,,,22因此，1，1,1，a(a,2)，? 22,,,,kk12
22因为?式关于k，k的方程有解的充要条件是1，a(a,2),1，所以a,2. 12
因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1,a?2，[10
分]
2ca,12由e,,，得0b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(,22ab
22c1xy2221,0)，所以c,1，又离心率e,,，解得a,2，b,a,c,3，所以椭圆方程为，,243a
1.
22xy42(已知椭圆,1的离心率为，则k的值为( ) ，94,k5
A(,21 B(21
1919C(,或21 D.或,21 2525答案 D
解析 当9>4,k>0，即4>k>,5时，
2a,3，c,9,(4,k),5，k，
13
k5，419?k,. ,，解得3525
2当9<4,k，即k<,5时，a,4,k，c,,k,5，
,k,54?,，解得k,,21，故选D. 54,k
22xy3((2017?青岛质检)已知A，A分别为椭圆C:，,1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C1222ab
4上异于A，A的任意一点，若直线PA，PA的斜率的乘积为,，则椭圆C的离心率为( ) 12129
42A. B. 93
55C. D. 93
答案 D
yy400解析 设P(x，y)，则?,,， 00x，ax,a900
22xy00，化简得,1， 22a4a
9
2bb4452则,，e, 1,,,, 1,,，故选D. 2a993a
4.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施(如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道?绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道?绕月飞行(若用2c和2c分别表示椭12圆轨道?和?的焦距，用2a和2a分别表示椭圆轨道?和?的长轴长，给出下列式子: 12
?a，c,a，c;?a,c,a,c; 11221122
cc12?<;?ca>ac. 1212aa12
其中正确式子的序号是( )
A(?? B(??
14
C(?? D(??
答案 D
解析 观察图形可知a，c>a，c，即?式不正确;a,c,a,c,|PF|，即?式正确;由11221122
a,ca,caacc11221212a,c,a,c>0，c>c>0，知<，即<，从而ca>ac，>，即?式正确，?1122121212ccccaa121212
式不正确(故选D.
5((2016?贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则
椭圆长轴长的最小值为( )
A(1 B.2 C(2 D(22
答案 D
解析 设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为
b时面积最大，
1所以?2cb,1，bc,1， 2
22而2a,2b，c?22bc,22
(当且仅当b,c,1时取等号)，故选D.
22xy 6.(2016?济南质检)设A，A为椭圆，,1(a>b>0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于1222ab
??A，A的点P，使得PO?PA,0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是( ) 122
12A((0，) B((0，) 22
12C((，1) D((，1) 22
答案 D
解析 A(,a,0)，A(a,0)， 12
??设P(x，y)，则PO,(,x，,y)，PA,(a,x，,y)， 2
???PO?PA,0，?(a,x)(,x)，(,y)(,y),0， 2
22?y,ax,x>0，?0. 222ca2
cc2又0<<1，?<<1，故选D. 2aa
22xy227(若椭圆，,1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x，y,4的切线，切点分22ab
别为，，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________( ABAB
22xy答案 ，,1 2016
解析 设切点坐标为(m，n)，
n,1n则,,1， ?m,2m
22即m，n,n,2m,0.
22?m，n,4，?2m，n,4,0，
即直线AB的方程为2x，y,4,0. ?直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， ?2c,4,0，b,4,0，解得c,2，b,4，
222?a,b，c,20，
22xy?椭圆方程为，,1. 2016
22xy22228(已知P为椭圆M，N分别为圆(x，3)，y,1和圆(x,3)，y,4上，,1上的一点，2516
的点，则|PM|，|PN|的最小值为________( 答案 7
解析 由题意知椭圆的两个焦点F，F分别是两圆的圆心，且|PF|，|PF|,10，从而|PM|1212
，|PN|的最小值为|PF|，|PF|,1,2,7. 12
16
2x29((2017?石家庄质检)椭圆y,1的左，右焦点分别为F，F，点P为椭圆上一动点，，124
若?FPF为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________________( 12
2626答案 (,，) 33
解析 设椭圆上一点P的坐标为(x，y)， ??则FP,(x，3，y)，FP,(x,3，y)( 12
????FPF为钝角，?FP?FP<0， 1212
22即x,3，y<0，?
22xx22?y,1,，代入?得x,3，1,<0， 443822x<2，?x<. 43
26262626解得,>0)的左顶点(,，0)作直线交轴于点10((2016?长沙模拟)已知过椭圆abAaly22ab
??P，交椭圆于点Q，若?AOP是等腰三角形，且PQ,2QA，则椭圆的离心率为________(
25答案 5
解析 ??AOP是等腰三角形，A(,a,0)，?P(0，a)(
??设Q(x，y)，?PQ,2QA， 00
?(x，y,a),2(,a,x，,y)( 0000
2,x,,a，0,,x,,2a,2x，300,,?解得 , y,a,,2y，a,,00 y,，0,,3
2b1代入椭圆方程化简，可得,， 2a5
2b25?e, 1,,. 2a5
22xy11(如图，椭圆C:，,1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且|AB|22ab
5,|BF|. 2
17
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若斜率为2的直线过点(0,2)，且交椭圆于，两点，?，求直线的方程及llCPQOPOQl
椭圆C的方程(
5解 (1)由已知|AB|,|BF|， 2
522即a，b,a， 2
222,22224a，4b,5a4a，4(a,c),5a，
c3?e,,. 2a
22xy22(2)由(1)知a,4b，?椭圆C:，,1. 224bb设P(x，y)，Q(x，y)， 1122
的方程为,2,2(,0)，即2,，2,0. 直线lyxxy
2x,y，2,0，,,22由y， 消去xy,，,1 22,4bb,
222得x，4(2x，2),4b,0，
22即17x，32x，16,4b,0.
21722Δ,32，16?17(b,4)>0，解得b>. 17
2b3216,4x，x,,，xx,. 12121717
???OP?OQ，?OP?OQ,0，
即xx，yy,0，xx，(2x，2)(2x，2),0， 121212125xx，4(x，x)，4,0. 1212
25,16,4b,128从而,，4,0， 1717
217解得b,1，满足b>. 17
2x2?椭圆C的方程为，y,1. 4
18
22xy512((2015?天津)已知椭圆，,1(a,b,0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为. 22ab5
(1)求直线BF的斜率;
(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异
于点)，直线与轴交于点，||,λ||. BPQyMPMMQ
?求λ的值;
75?若|PM|sin?BQP,，求椭圆的方程( 9
c5222解 (1)设F(,c,0)(由已知离心率,及a,b，c，可得a,5c，b,2c，又因为B(0，5a
b)，F(,c,0)，
b,0c2故直线BF的斜率k,,2. ,0,,,c,c
(2)设点P(x，y)，Q(x，y)，M(x，y)( PPQQMM
22xy?由(1)可得椭圆的方程为，,1，直线BF的方程为y,2x，2c.将直线方程与椭圆方程225c4c
5c2，整理得3,0，解得,,联立，消去yx，5cxx. P3
12因为BQ?BP，所以直线BQ的方程为y,,x，2c，与椭圆方程联立，消去y，整理得21x2
c40,40cx,0，解得x,. Q21
|PM|又因为λ,及x,0， M|MQ|
|x,x|x||7MPP可得λ,,,. |x,x||x|8QMQ
|PM|7|PM|77?因为,，所以,,， |MQ|8|PM|，|MQ|7，815
15即|PQ|,|PM|. 7
75又因为|PM|sin?BQP,， 9
15554所以|BP|,|PQ|sin?BQP,|PM|sin?BQP,.又因为y,2x，2c,,c， PP733
cc545522,,,,所以|BP|, 0，，2c，,c， 3,3,,3,
5555因此c,，得c,1. 33
19
22xy所以椭圆方程为，,1. 54
22xy13((2016?长春调研)已知椭圆，,1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O22ab
为坐标原点，M为椭圆上任意一点(过F，B，A三点的圆的圆心坐标为(p，q)( (1)当p，q?0时，求椭圆的离心率的取值范围;
7???(2)若点D(b，1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(MF，OD)?MO的最小值为，2求椭圆的方程(
a,cbaa解 (1)设椭圆半焦距为c.由题意AF，AB的中垂线方程分别为x,y,(x,，,)， 222b
2a,cb,ac于是圆心坐标为(，)( 22b
2a,cb,ac所以，,?0， pq，22b
2整理得ab,bc，b,ac?0，即(a，b)(b,c)?0，
222222所以b?c，于是b?c，即a,b，c?2c.
2c122,所以e?，即?e<1. 2a22
2(2)当e,时，a,2b,2c， 2
22xy此时椭圆的方程为，,1， 222cc
设M(x，y)，则,2c?x?2c，
111???2222所以(MF，OD)?MO,x,x，c,(x,1)，c,. 222
211722当c?时，上式的最小值为c,，即c,,，得c,2; 2222
2122当0
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