【志鸿优化】2015届高三数学(文)一轮课时作业:4.6 倍角公式及简单的三角恒等变换( 2014高考)
第6讲 倍角公式及简单的三角恒等变换
基础巩固
221.函数f(x)=cos-sin+sin x的最小正周期是( )
A. B.π C. D.2π 答案:D
解析:f(x)=cos x+sin x=sin,
故函数f(x)的最小正周期是T=2π.
22.函数y=sin2x是( )
A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数 答案:D
22解析:?y=sin2x=,?函数y=sin2x是周期为的偶函数,故应选D. 3.已知α,β?,且2sin β=sin(α+β),则β的值为( ) A. B. C. D. 答案:A
解析:由,得tan α=.
?α?,?α=.
?2sin β=sincos β+sin β.
?tan β=,β=.
4.设a=sin 14?+cos 14?,b=sin 16?+cos 16?,c=,则a,b,c的大小关系是( ) A.a1+,c=,所以a0)的最小正周期为π.
(1)求f(x);
(2)当x?时,求函数f(x)的值域.
解:(1)f(x)=sin ωxcos ωx
=sin 2ωx-cos 2ωx+
=sin.
?函数f(x)的最小正周期为π,且ω>0,
?=π,解得ω=1.?f(x)=sin.
(2)?x?,?2x-.
根据正弦函数的图象可得:
当2x-,即x=时,f(x)取得最大值为1+;当2x-=-,即x=-时,f(x)取得最小值为-.故f(x)的值域为.
拓展延伸
13.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
22?sin13?+cos17?-sin 13?cos 17?;
22?sin15?+cos15?-sin 15?cos 15?;
22?sin18?+cos12?-sin 18?cos 12?;
22?sin(-18?)+cos48?-sin(-18?)cos 48?;
22?sin(-25?)+cos55?-sin(-25?)cos 55?.
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解法一:(1)选择?式,计算如下:
22sin15?+cos15?-sin 15?cos 15?=1-sin 30?=1-.
22(2)三角恒等式为sinα+cos(30?-α)-sin α?cos(30?-α)=.
证明如下:
22sinα+cos(30?-α)-sin αcos(30?-α)
22=sinα+(cos 30?cos α+sin 30?sin α)-sin α?(cos 30?cos α+sin 30?sin α)
222222=sinα+cosα+sin αcos α+sinα-sin α?cos α-sinα=sinα+cosα=. 解法二:(1)同解法一.
22(2)三角恒等式为sinα+cos(30?-α)-sin α?cos(30?-α)=.
证明如下:
22sinα+cos(30?-α)-sin αcos(30?-α)
=-sin α(cos 30?cos α+sin 30?sin α)=cos 2α+(cos 60?cos 2α+sin 60?sin 2α)-sin αcos α- 2sinα=cos 2α+cos 2α+sin 2α-sin 2α-(1-cos 2α)
=1-cos 2α-cos 2α=.
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