下载
加入VIP
  • 专属下载特权
  • 现金文档折扣购买
  • VIP免费专区
  • 千万文档免费下载

上传资料

关闭

关闭

关闭

封号提示

内容

首页 2013高考数学复习专题总结

2013高考数学复习专题总结.doc

2013高考数学复习专题总结

财富不是一辈子的朋友
2017-09-27 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2013高考数学复习专题总结doc》,可适用于高中教育领域

高考数学复习专题总结概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能为此作为临考前的高三学生务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法其次要熟悉一些基本题型明确解题中的易误点还应了解一些常用结论最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点按章节进行了系统的整理最后阐述了考试中的一些常用技巧相信通过对本资料的认真研读一定能大幅度地提升高考数学成绩。集合与简易逻辑一(集合元素具有确定性、无序性和互异性在求有关集合问题时尤其要注意元素的互异性如()设P、Q为两个非空实数集合定义集合若则PQ中元素的有个。(答:)()设那么点的充要条件是(答:)()非空集合且满足“若则这样的S共有个(答:)二(遇到时你是否注意到“极端”情况:或同样当时你是否忘记的情形,要注意到是任何集合的子集是任何非空集合的真子集。如集合且则实数a,(答:)三(对于含有n个元素的有限集合M其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为n如满足集合M有个。(答:)四(集合的运算性质:痧痧如:设全集若则A,B,(答:)五(研究集合问题一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如:函数的定义域函数的值域函数图象上的点集如()集合N,则设集合(答:)则()设集合(答:)六(数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如:已知函数在区间上至少存在一个实数c使求实数p的取值范围。(答:)七复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真要假全假”“且命题”的真假特点是“一假即假要真全真”“非命题”的真假特点是“真假相反”。如:在下列说法中:“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。其中正确的是(答:)八(四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”则逆命题为“若q则p”否命题为“若p则q”逆否命题为“若q则p”。提醒:()互为逆否关系的命题是等价命题即原命题与逆否命题同真、同假逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价()在写出一个含有“或”、“且”命题的于直线对称,那么(答:C)(函数的图象是把函数的图象沿x轴伸缩为原来的得到的。a如()将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)再将此图像沿x轴方向向左平移个单位所得图像对应的函数为(答:()如若函数是偶函数则函数的对称轴方程是(答:((函数的图象是把函数的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的十二(函数的对称性。(满足条件的函数的图象关于直线对称。如已知二次函数满足条件且方程有等根则f(x),(答:(点(x,y)关于y轴的对称点为函数关于y轴的对称曲线方程为(点(x,y)关于x轴的对称点为函数关于x轴的对称曲线方程为(点(x,y)关于原点的对称点为函数关于原点的对称曲线方程为(点(x,y)关于直线的对称点为曲线关于直线特别地点(x,y)关于直线的对称的对称曲线的方程为。点为(y,x)曲线关于直线的对称曲线的方程为点(x,y)关于直线的对称点为曲线关于直线的对称曲线的方程。如己知函数若的图像是C,它关于直线为对称图像是C,C关于原点对称的图像为C,则C对应的函数解析式是(答:)(曲线关于点(a,b)的对称曲线的方程为。如若函数与的图象关于点()对称则g(x),(答:)(形如的图像是双曲线其两渐近线分别直线由分母为零确定)和直线由分子、分母中x的系数确定)对称中心是点。如ccc已知函数图象与关于直线对称且图象关于点(,)对称则a的值为(答:)(|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形然后擦去x轴下方的图象得到f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象擦去y轴左方的图象然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如()作出函数及的图象()若函数f(x)是定义在R上的奇函数则函数的图象关于对称(答:y轴)提醒:()从结论可看出求对称曲线方程的问题实质上是利用代入法转化为求点的对称问题()证明函数图像的对称性即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上()证明图像C与C的对称性需证两方面:证明C上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C上证明C上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C上。如()已知函数。求证:函数f(x)的图像关于点成中心对称图形将C沿x轴,y轴正方向分别平行移动t,s单位()设曲线C的方程是y长度后得曲线C。写出曲线C的方程(答:)证明曲线C与C关于点对称。十三(函数的周期性。(类比“三角函数图像”得:若图像有两条对称轴则必是周期函数且一周期为若图像有两个对称中心则是周期函数且一周期为如果函数的图像有一个对称中心A(a,)和一条对称轴则必是周期函数且一周期为函数如已知定义在R上的函数f(x)是以为周期的奇函数则方程在上至少有个实数根(答:)则f(x)是周期为a的周期(由周期函数的定义“函数f(x)满足函数”得:函数f(x)满足则f(x)是周期为a的周期函数恒成立则若f(x恒成立则若如()设f(x)是上的奇函数当时则f()等于(答:()定义在R上的偶函数f(x)满足且在上是减函数若是锐角三角形的两个十六(函数的应用。()求解数学应用题的一般步骤:审题――认真读题确切理解题意明确问题的实际背景寻找各量之间的内存联系建模――通过抽象概括将实际问题转化为相应的数学问题别忘了注上符合实际意义的定义域解模――求解所得的数学问题回归――将所解得的数学结果回归到实际问题中去。()常见的函数模型有:建立一次函数或二次函数模型建立分段函数模型建立指数函b数模型建立型。x十七(抽象函数:抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式只给出了其它一些条件(如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是:(借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数:正比例函数型:xf(x)幂函数型:yf(y)f(x)指数函数型:f(y)x对数函数型:yf(x)三角函数型:。如已知f(x)是定义在R上的T奇函数且为周期函数若它的最小正周期为T则(答:)(利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究:如()设函数表示x除以的余数则对任意的都有A、、、C、(答:A)()设f(x)是定义在实数集R上的函数且满足如果求f()(答:)()如设f(x)是定义在R上的奇函数且证明:直线是函数f(x)图象的一条对称轴()已知定义域为R的函数f(x)满足且当时f(x)单调递增。如果且则的值的符号是(答:负数)(利用一些方法(如赋值法(令x,或求出f()或f()、令或等)、递推法、反证法等)进行逻辑探究。如()若f(x)满足则f(x)的奇偶性是(答:奇函数)()若f(x)满足则f(x)的奇偶性是(答:偶函数)()已知f(x)是定义在上的奇函数当时f(x)的图像如右图所示那么不等式的解集是)x()设f(x)的定义域为对任意都有且时y又求证f(x)为减函数解不等式(答:)((答:概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一(不等式的性质:(同向不等式可以相加异向不等式可以相减:若则(若但异向不等式不可以相加同向不等式不可以相减则)(左右同正不等式:同向的不等式可以相乘但不能相除异向不等式可以相除但不ab能相乘:若则(若则)cd(左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若则(若则若则。如abab()对于实数a,b,c中给出下列命题:若则若则若则若则abba若则若则abab若则若则。其中正确的命题是(答:)()已知则的取值范围是(答:)c()已知且则的取值范围是a(答:)二(不等式大小比较的常用方法:(作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果(作商(常用于分数指数幂的代数式)(分析法(平方法(分子(或分母)有理化(利用函数的单调性(寻找中间量或放缩法(图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。如()设且比较logat和loga的大小(答:当时(时取等号)当时(时取等号))()设试比较p,q的大小(答:)()比较logx与且的大小(答:当或时logx,logx当时logx,logx当时logx,logx)三(利用重要不等式求函数最值时你是否注意到:“一正二定三相等和定积最大积定和最小”这字方针。如()下列命题中正确的是的最小值是xA、B、的最小值是C、)的最大值是D、)的最小值是(答:C)()若则的最小值是(答:则的最小值为()正数x,y满足xy(答:常用不等式有:()根据目标不等式左右的运算结构选用)()a、b、(当且仅当时取等号)()若则(糖水的浓度问题)。如如果正数a、b满足则ab的取值范围是(答:)五(证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与的大小然后作出结论。)常用的放缩技巧有:n如()已知求证:()已知求证:xy()已知且求证:若a、b、c是不全相等的正数求证:()已知求证:()若已知求证:()求证:。n六(简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是:()分解成若干个一次因式的积并使每一个因式中最高次项的系数为正()将每一个一次因式的根标在数轴上从最大根的右上方依次通过每一点画曲线并注意奇穿过偶弹回()根据曲线显现f(x)的符号变化规律写出不等式的解集。如()解不等式。(答:或)()不等式的解集是(答:或)()设函数f(x)、g(x)的定义域都是R且的解集为的解集为则不等式的解集为(答:)()要使满足关于x的不等式(解集非空)的每一个x的值至少满和中的一个则实数a的取值范围是(答:足不等式,))七(分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为再通分并将分子分母分解因式并使每一个因式中最高次项的系数为正最后用标根法求解。解分式不等式时一般不能去分母但分母恒为正或恒为负时可去分母。如()解不等式(答:)()关于x的不等式的解集为则关于x的不等式的解集为(答:)八(绝对值不等式的解法:(分段讨论法(最后结果应取各段的并集):如解不等式(答:)()利用绝对值的定义()数形结合如解不等式(答:)()两边平方:如若不等式对恒成立则实数a的取值范围为。(答:{)九(含参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提函数增减性为基础分类讨论是关键(”注意解完之后要写上:“综上原不等式的解集是„”。注意:按参数讨论最后应按参数取值分别说明其解集但若按未知数讨论最后应求并集如()若则a的取值范围是(答:或)ax()解不等式(答:时时或时或)aa提醒:()解不等式是求不等式的解集最后务必有集合的形式表示()不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式(,,))的解集为(答:的解集为则不等式十一(含绝对值不等式的性质:a、b同号或有a、b异号或有如设实数a满足求证:十二(不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式,(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题也可抓住所给不等式的结构特征利用数形结合法))恒成立问题若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上如()设实数x,y满足当时c的取值范围是(答:)()不等式对一切实数x恒成立求实数a的取值范围(答:)()若不等式对满足的所有m都成立则x的取值范围(答:())()若不等式对于任意正整数n恒成立则实数a的取值范围是n(答:)()若不等式对的所有实数x都成立求m的取值范围(答:))能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式成立,则等价于在区间D上若在区间D上存在实数x使不等式成立,则等价于在区间D上的如已知不等式在实数集R上的解集不是空集求实数a的取值范围(答:))恰成立问题若不等式在区间D上恰成立,则等价于不等式的解集为D若不等式在区间D上恰成立,则等价于不等式的解集为D概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结平面向量一(向量有关概念:(向量的概念:既有大小又有方向的量注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示注意不能说向量就是有向线段为什么,(向量可以平移)。如:已知A(,)B(,)则把向量AB按向量a,(,,)平移后得到的向量是(答:(,))(零向量:长度为的向量叫零向量记作:注意零向量的方向是任意的(单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是(相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量相等向量有传递性(平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量规定零向量和任何向量平行。记作:提醒:相等向量一定是共线向量但共线向量不一定相等两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合平行向量无传递性~(因为有)三点A、B、C共线、AC共线(相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是,a。如下列命题:()若则。()两个向量相等的充要条件是它们的起点相同终点相同。()若A则A()若A则。BCD是平行四边形。BCD是平行四边形()若则。()若ab,bc则ac。其中正确的是(答:()())二(向量的表示方法:(几何表示法:用带箭头的有向线段表示如注意起点在前终点在后(符号表示法:用一个小写的英文字母来表示如abc等(坐标表示法:在平面()已知AD,BE分别是的边BC,AC上的中线,且则BC可用向量a,b(答:B)表示为(答:)()已知中点D在BC边上且则的值是(答:)四(实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量记作它的长度和方向规定如下:当时的方向与a的方向相同当时的方向与a的方向相反当,时注意:。五(平面向量的数量积:(两个向量的夹角:对于非零向量作称为向量ab的夹角当,时ab同向当,时ab反向当,时ab垂直。(平面向量的数量积:如果两个非零向量它们的夹角为我们把数量叫做与的数量积(或内积或点积)记作:即,。规定:零向量与任一向量的数量积是注意数量积是一个实数不再是一个向量。如()ABC中则(答:,)()已知c与d的夹角为则k等于()已知则等于(答:)()已知a,b是两个非零向量且则a与的夹角为(在上的投影为它是一个实数但不一定大于。如(答:)已知且则向量a在向量b上的投影为(答:(的几何意义:数量积等于a的模|a|与b在a上的投影的积。)(向量数量积的性质:设两个非零向量ab其夹角为则:当ab同向时,ab特别地当a与b反向时,,ab当为锐角时,且a、b不同向是为锐角的必要非充分不反向是为钝角的必要非充分条件条件当为钝角时,且a、非零向量夹角的计算公式:。如ab()已知如果a与b的夹角为锐角则的取值范围是(答:或且)()已知的面积为S且若则OF,FQ夹角的取值范围是(答:(,))()已知与b之间有关系式其中用k表示求的最小值并求此时a与b的夹角的大小(答:最小值为)k六(向量的运算:(几何运算:向量加法:利用“平行四边形法则”进行但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量如此之外向量加法还可利用“三那么向量AC叫做角形法则”:设与b的和即向量的减法:用“三角形法则”:设那么由减向量的终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。如()化简:(答:ADCB)()若正方形ABCD的边长为则,(答:()若O是所在平面内一点且满足则的形状为(答:直角三角形)()若D为的边BC的中点所在平面内有一点P满足则的值为设|PD|(答:)()若点O是ABC的外心且则ABC的内角C为(答:)(坐标运算:设则:向量的加减法运算:。如()已知点A(,),B(,)C(,)若则当,时点P在第一、三象限的角平分线上(答:)()已知A(,),B(,),且则(答:或)()已知作用在点A(,)的三个力则合力的终点坐标是(答:(,))实数与向量的积:。即一个向量的坐标等于表示这个向量的若A(x,y),B(x,y)则有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设且则C、D的坐标分别是(答:)平面向量数量积:。如已知向量a,(sinxcosx),b,(sinxsinx),c,(,)。()若x,量、)若x的夹角(求向,函数的最大值为求的值(答:()或)向量的模:。如已知a,b均为单位向量它们的夹角为那么,则两点间的距离:若如关别点P心如图在平面斜坐标系xOy中平面上任一点P于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若其中e,e分为与x轴、)若的斜坐标为(,)y轴同方向的单位向量则P点斜坐标为(x,y)。(求P到O的距离,PO,()求以O为圆为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。七(向量的运算律:(交换律:(结合律:(分配律:。(答:()())如下列命题中:若则或若则。其中正确的是aa(答:)提醒:()向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式可以移项两边平方、两边同乘以一个实数两边同时取模两边同乘以一个向量但不能两边同除以一个向量即两边不能约去一个向量切记两向量不能相除(相约)()向量的“乘法”不满足结合律即为什么,八(向量平行(共线)的充要条件:,。如()若向量当x,时a与b共线且方向相同(答:)()已知且uv则x,(答:)()设则k,时A,B,C共线(答:,或)九(向量垂直的充要条件:特别地。如ABACABAC()已知若则)()以原点O和A(,)为两个顶点作等腰直角三角形OAB则点B的坐标是(答:(,)或(,))()已知向量且则m的坐标是(答:(答:或)十(线段的定比分点:(定比分点的概念:设点P是直线PP上异于P、P的任意一点若存在一个实数使PP则叫做点P分有向线段所成的比P点叫做有向线段的以定比为的定比分点(的符号与分点P的位置之间的关系:当P点在线段PP上时,当P点在线段PP的延长线上当P点在线段PP的延长线上时时若点P则点P分有向线段PP所成的比为。如分有向线段PP所成的比为若点P分AB所成的比为则A分BP所成的比为(答:)(线段的定比分点公式:设PP所成的比为(x,y)、P(x,y)P(x,y)分有向线段P则特别地当,时就得到线段PP的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时应明确(x,y)(x,y)、(x,y)的意义即分别为分点起点终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件灵活地确定起点分点和终点并根据这些点确定对应的定比。如()若M()N()且则点P的坐标为(答:)()已知A(a,),B(,直线与线段AB交于M且则a等于(答:,或,,)十一(平移公式:如果点P(x,y)按向量平移至则曲线()函数按向量平移与平常“左按向量平移得曲线注意:加右减”有何联系,()向量平移具有坐标不变性可别忘了啊~如平移到则按向量a把点平移到点()按向量a把(答:(,,,))的图象按向量a平移后所得函数的解析式是()函数则a,(答:)、向量中一些常用的结论:()一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量要注意运用()特别地当a、b同向或有反向或有、b不共线当a、当这些和实数比较类似|()在中若则其重心的坐标为。如若ABC的三边的中点分别为()、()、()则ABC的重心的坐标为(答:)为的重心特别地为的重心P为的垂心所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)向量的内心()若P分有向线段PP所成的比为点M为平面内的任一点则特别地P为PP的中点()向量PA、PB、PC中三终点A、B、C共线存在实数、使得且如平面直角坐标系中O为坐标原点已知两点若点C满足其中且则点C的轨迹是(答:直线AB)――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结三角函数、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角按顺时针方向旋转所形成的角叫负角一条射线没有作任何旋转时称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边终止位置称为终边。、象限角的概念:在直角坐标系中使角的顶点与原点重合角的始边与x轴的非负半轴重合角的终边在第几象限就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上就认为这个角不属于任何象限。终边相同的角的表示:()终边与终边相同的终边在终边所在射线上注意:相等的角的终边一定相同终边相同的角不一定相等如与角的终边相同且绝对值最小的角的度数是,,,合,,,弧度。)(答:()终边与终边共线的终边在终边所在直线上()终边与终边关于x轴对称()终边与终边关于y轴对称()终边与终边关于原点对称()终边在x轴上的角可表示为:终边在y轴上的角可表示为:终边在坐标轴上的角可表示为:如的终边与的终边关于直线对称则,。(答:)、与的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定如若是第二象限角则是第象限角(答:一、三)弧长公式:扇形面积公式:弧度如已知扇形AOB的周长是cm该扇形的中心角是弧度求该扇形的面积。(答:cm)、任意角的三角函数的定义:设是任意一个角P(x,y)是的终边上的任意一点(异yxy于原点)它与原点的距离是那么rrx。三角函数值只与角的大小有关而与yyx终边上点P的位置无关。如()已知角的终边经过点P(,)则的值为,,。(答:)()设是第三、四象限角则m的取值范围是(答:(,))试判断的符号()若(答:负)三角函数线的特征是:正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点A(,)处(起点是A)”三角函T数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等B式。如S()若则的大小关系为(答:()若为锐角则的大小关系为OMx(答:)()函数的定义域是(答:)()平方关系:()倒数关系:()商数关系:同角三角函数的基本关系式的主要应用是已知一个角的三角函数值求此角的其它三角的范围以便进行定号在具体求三角函数值时一般不需用同角三角函数的基本关系式而是先根据角的范围确定三角函数值的符号再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如()函数的值的符号为(答:大于)()若则使成立的x的取值范围是(答:)()已知则,(答:)()已知,,则(答:)()已知则等于、C、、A、aa(答:B)()已知则的值为(答:,)。k三角函数诱导公式()的本质是:奇变偶不变(对k而言指k取奇数或偶数)符号看象限(看原函数同时可把看成是锐角)诱导公式的应用是求任意角的三角函数值其一般步骤:()负角变正角再写成()转化为锐角三角函数。如()的值为(答:)()已知若为第二象限角则则。(答:)、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:令令,,下列各式中值为的是如()A、B、、D(答:C)()命题P:命题Q:则P是Q的A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件(答:C)()已知那么的值为(答:()的值是)(答:)()已知求tan的值(用a果是对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是a乙求得的结(答:甲、乙都对)三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系注意角的一些常用变式角的变换是三角函数变换的核心~第二看函数名称之间的关系通常“切化弦”第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:()巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换如如等)()已知那么的值是(答:)()已知且求的值(答:)()已知为锐角则y与x的函数关系为(答:)()三角函数名互化(切割化弦)如()求值(答:)()已知求的值(答:)()公式变形使用(。如()已知A、B为锐角且满足则,(答:()设ABC中AtanB三角形(答:等边)()三角函数次数的降升(降幂公式:。如为()若)与升幂公式:(答:sin()函数f(x))的单调递增区间为(答:)()式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如()(答:)()求证:()化简:(答:cosx)()常值变换主要指“”的变换(如已知求(答:)等)()正余弦“三兄妹、如sinxcosx”的(答:特别提醒:这里()若求的值。(答:)试用k表示的值()已知。、辅助角公式中辅助角的确定:其中角所在的象限由a,b的符号确定角的值由b确定)在求最值、化简时起着重要作用。如a()若方程有实数解则c的取值范围是(答:,,)()当函数取得最大值时tanx的值是(答:()如果是奇函数则(答:,)()求值:(答:)、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数和余弦函数图象的作图方法:五点法:先取横坐标分别为的五点再用光滑的曲线把这五点连接起来就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。、正弦函数、余弦函数的性质:()定义域:都是R。()值域:都是对当时y取最大值当时y取最小值,对当时y取最大值当时y取最小值,。如()若函数的最大值为最小值为则,(答:或)()函数()的值域是(答:,,)()若则的最大值和最小值分别是、(答:,)()函数(答:()己知求的变化范围(答:,)的最小值是此时x,)()若求的最大、最小值(答:)。特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗,()周期性:、的最小正周期都是和。如的最小正周期都是()若则,(答:)()函数的最小正周期为)()设函数若对任意都有(答:成立则的最小值为(答:)()奇偶性与对称性:正弦函数是奇函数对称中心是对称轴是直线是)偶函数对称中心是余弦函数对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线对称中心为图象与x轴的交点)。如()函数的奇偶性是、(答:偶函数)()已知函数为常数)且则(答:,)()函数的图象的对称中心和对称轴分别是、(答:(、)()已知为偶函数求的值。(答:)()单调性:在上单调递增在单调递减在上单调递减在上单调递增。特别提醒别忘了~、形如的函数:倒数)()几个物理量:A―振幅频率(周期的相位初相()函数表达式的确定:A由周期确定由图象上的特殊点确,(答:)()函数图象的画法:“五点法”――设令X,求出相应的x值计算得出五点的坐标描点后得出图象图象变换法:这是作函数简图常用方法。()函数的图象与图象间的关系:函数的图象纵坐标不变横坐标向左()或向右()平移个单位得的图象函数图象的纵坐标不变横坐标变为原来的象函数图象的横坐标不变纵坐标变为原来的A倍得到函数得到函数的图的图象函数图象的横坐标不变纵坐标向上()或向下()得到的图象。要特别注意若由得到的图象则向左或向右平移应平移个单位如()函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象,(答:向上平移个单位得的图象再向左平移个单位得的图象横坐标扩大到原来的倍得的图象最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象)要得到函数的图象只需把函数的图象向平移个单位(答:左)()将函数图像按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称这样的向量是否唯一,若唯一求出a若不唯一求出模最小的向量(答:存在但不唯一模最小的向量)()若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点则k的取值范围是(答:)性质的方法:类比于研究的性质只需()研究函数将中的看成中的x但在求的单调区间时要特别注意A和的符号通过诱导公式先将化正。如()函数)的递减区间是(答:()的递减区间是)(答:)()设函数的图象关于直线对称它的周期是则A、f(x)的图象过点(,)、f(x)在区间,上是减函数C、f(x)的图象的一个对称中心是D、f(x)的最大值是A(答:C)()对于函数给出下列结论:图象关于原点成中心对称图象关于直线成轴对称图象可由函数的图像向左平移个单位得到图像向左平移个单位即得到函数的图像。其中正确结论是(答:)()已知函数图象与直线的交点中距离最近两点间的距离为那么此函数的周期是(答:)、正切函数的图象和性质:()定义域:。遇到有关正切函数问题时你注意到正切函数的定义域了吗,()值域是R在上面定义域上无最大值也无最小值()周期性:是周期函数且周期是它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来某一周期函数解析式加绝对值或平方其周期性是:弦减半、切不变(既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值其周期性不变其它不定。如的周期都是但的周期为函数的对称中心有两类:一类是图象与x轴的交点另一类是渐近线与x轴的交点但无对称轴这是与正弦、余弦函数的不同之处。()单调性:正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图:而的周期不变()奇偶性与对称性:是奇函数对称中心是特别提醒:正(余)切型三角形中的有关公式:()b()中A、B的对边分别是a、且A那么满足条件的有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定A、(答:C)()在中A,B是成立的条件(答:充要)()在中则logsinC,(答:)()在中a,b分别是角A、B、C所对的边若则C,(答:)()在中若其面积则(答:)()在中这个三角形的面积为则外接圆的直径是)()在ABC中a、b、c是角A、B、C的对边则cos的最大值为(答:)()在ABC中AB=BC=则角C的取值范围是C的外心若且()设O是锐角三角形AB的面积满足(答:)关系式求(答:)(反三角函数:()反三角函数的定义(以反正弦函数为例):arcsina表示一个角这个角的正弦值为a,且这个角在内。()反正弦arcsinx、反余弦arccosx、反正切arctanx的取值范围分别是在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、l到l的角、l与l的夹角以及两向量的夹角时你是否注意到了它们的范围,(、求角的方法:先确定角的范围再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性二是根据条件易求出此三角函数值)。如()若且t则求的值、是方程的两根(答:)()中则,(答:)()若且求的值(答:)概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结数列一(数列的概念:数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集,,„n,)的特殊函数数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如n()已知则在数列{an}的最大项为(答:)an()数列{an}的通项为其中a,b均为正数则an与的大小关系为(答:)()已知数列{an}中且{an}是递增数列求实数的取值范围(答:)()一给定函数的图象在下列图中并且对任意由关系式得到的数列{an}满足则该函数的图象是()(答:A)ABCD二(等差数列的有关概念:(等差数列的判断方法:定义法为常数)或。设{an}是等差数列求证:以bn=为通项公式的数列{bn}为等差n数列。(等差数列的通项:an或。()等差数列{an}中则通项(答:)()首项为的等差数列从第项起开始为正数则公差的取值范围是(答:)(等差数列的前n和:。()数列{an}中前n项和则a,,n,,(答:)()已知数列{an}的前n项和求数列{|an|}的前n项和Tn*(答:)*(等差中项:若a,A,b成等差数列则A叫做a与b的等差中项且。提醒:()等差数列的通项公式及前n和公式中涉及到个元素:a、d、n、an及Sn其中a、d称作为基本元素。只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知求。()为减少运算量要注意设元的技巧如奇数个数成等差可设为„(公差为d)偶数个数成等差可设为„(公差为d)三(等差数列的性质:(当公差时等差数列的通项公式是关于n的一次函数且斜率为公差d前n和是关于n的二次函数且常数项为(若公差则为递增等差数列若公差则为递减等差数列若公差则为常数列。(当时,则有特别地当时则有()等差数列{an}中则n,(答:)()在等差数列中且Sn是其前n项和则A、都小于都大于B、都小于都大于C、都小于S,S都大于D、都小于都大于(答:B)(若{an}、{bn}是等差数列则{kan}、、p是非零常数)、、„也成等差数列而{aan}成等比数列若{an}是等比数列且则{lgan}是等差数列等差数列的前n项和为前n项和为则它的前n和为。(答:)S偶,S奇S奇偶中(在等差数列{an}中当项数为偶数n时项数为奇数时中(这里a中即an)S奇:S偶。()在等差数列中S,则a,(答:)()项数为奇数的等差数列{an}中奇数项和为偶数项和为求此数列的中间项与项数(答:)A(若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn且则n设{an}与{bn}是两个等差数列它们的前n项和分别为Sn和Tn若那么an(答:)(“首正”的递减等差数列中前n项和的最大值是所有非负项之和“首负”的递增等差数确列中前n项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组或定出前多少项为非负(或非正)法二:因等差数列前n项是关于n的二次函数故可转化为求二次函数的最值但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想,(函数思想)由此你能求一般数列中的最大或最小项吗,如()等差数列{an}中问此数列前多少项和最大,并求此最大值。(答:前项和最大最大值为)()若{an}是等差数列首项则使前n项和成立的最大正整数n是(答:)(如果两等差数列有公共项那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数注意:公共项仅是公共的项其项数不一定相同即研究四(等比数列的有关概念:(等比数列的判断方法:定义法为常数)其中或anan。如()一个等比数列{an}共有项奇数项之积为偶数项之积为则为(答:)()数列{an}中且a=若求证:数列,bn,是等比数列。(等比数列的通项:或。如设等比数列{an}中前n项和Sn,求n和公比q(答:或)(等比数列的前n和:当时当时。如()等比数列中q,S=求(答:)k)的值为()n(答:)特别提醒:等比数列前n项和公式有两种形式为此在求等比数列前n项和时首先要判断公比q是否为再由q的情况选择求和公式的形式当不能判断公比q是否为时要对q分和两种情形讨论求解。(等比中项:若a,A,b成等比数列那么A叫做a与b的等比中项。提醒:不是任何两数都有等比中项只有同号两数才存在等比中项且有两个的等差中项为A等比中项为B则A与B的大小关系为(答:A,B)提醒:()等比数列的通项公式及前n和公式中涉及到个元素:a、q、n、an及Sn其中a、q称作为基本元素。只要已知这个元素中的任意个便可求出其余个即知aa求()为减少运算量要注意设元的技巧如奇数个数成等比,,a,aq,aq„qqaa)但偶数个数成等比时不能设为„,,aq,aq„因公比不一定为(公比为q正数qq只有公比为正时才可如此设且公比为q。如有四个数其中前三个数成等差数列后三个成等比数列且第一个数与第四个数的和是第二个数与第三个数的和为求此四个数。(答:,,或,,)等比数列的性质:()当时则有特别地当时则有如()在等比数列{an}中公比q是整数则a=(答:)()各项均为正数的等比数列{an}中若则(答:)。n}是等比数列则{|an|}、、{kan}成等比数列{bn}成()若{a若{an}、等比数列则{anbn}、{an}成等比数列若{an}是等比数列且公比则数列bn„也是等比数列。当且n为偶数时数列„是常数数列它不是等比数列如()已知且设数列{xn}满足则且lx((答:a)()在等比数列{an}中Sn为其前n项和若则S的值为(答:)()若则{an}为递增数列若则{an}为递减数列若则{an}为递减数列若则{an}为递增数列若则{an}为摆动数列若则{an}为常数列这里但这是等比数列前n项和公式的一个特征据此很容易根据Sn判断数列{an}是否为等比数列。如若{an}()当时是等比数列且则r,(答:,)如设等比数列{an}的公比为q前n项和为Sn若成等差数列则q的值为(答:,)()在等比数列{an}中当项数为偶数n时S偶奇项数为奇数时S奇偶()如果数列{an}既成等差数列又成等比数列那么数列{an}是非零常数数列故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列的前n项和为Sn()关于数列有下列三个命题:若则既是等差数列又是等比数列若、则是等差数列若则是等比数列。这些命题中真命题的序号是(答:)五数列的通项的求法:公式法:等差数列通项公式等比数列通项公式。如已知数列试写出其一个通项公式:(答:)已知Sn(即)求an用作差法:。如已知{an}的前n项和满足求an(答:数列{an}满足求an)n,(答:)求an用作商法:已知。如数列{an}中对所有的都有则(答:)若求an用累加法:。如已知数列{an}满足则an=(答:)aaaa已知求an用累乘法:。如已知数列{an}中前n项和Sn若求an)已知递推关系求an用构造法(构造等差、等比数列)。特别地()形如、(答:(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后)再求an。如已知求an(答:已知)求an(答:()形如的递推数列都可以用倒数法求通项。如已知求an(答:)已知数列满足a=求an(答:)n注意:()用求数列的通项公式时你注意到此等式成立的条件了吗,(当时)()一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时常需运用关系式先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式然后再求解。如数列{an}满足求an(答:)六数列求和的常用方法:(公式法:等差数列求和公式等比数列求和公式特别声明:运用等比数列求和公式务必检查其公比与的关系必要时需分类讨论常用公式:如()等比数列{an}的前n项和S,,,,,则,(答:)()计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢进”如()表示二进制数将它转换成十进制形式是那么将二进制个转换成十进制数是(答:)(分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时常将“和式”中“同类项”先合并在一起再运用公式法求和如求:(答:)(倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联则常可考虑选用倒序相加法发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法)如求证:Cnx已知则,)(错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n和公式的推导方法))设{an}为等比数列已知如(求数(答:列{an}的首项和公比求数列{Tn}的通项公式(答:)()设函数数列{an}满足:求证:数列是等比数列令求函数h(x)在点处的导数并比较与的大小。(答:略当时,当时当时)(裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式且相邻项分裂后相关联那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有:如()求和:(答:n)()在数列{an}中且S,,,则n,(答:)(通项转换法:先对通项进行变形发现其内在特征再运用分组求和法求和。如求数列××ׄ„前n项和(答:)求和:(答:n)七(“分期付款”、“森林木材”型应用问题(这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题但在求解过程中务必“卡手指”细心计算“年限”对于“森林木材”既增长又砍伐的问题则常选用“统一法”统一到“最后”解决(利率问题:单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入本金p元每期利率为r则n期后本利和为:)复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型:(等差数列问题)若贷款(向银行借款)p元采用分期等额还款方式从借款日算起一期(如一年)后为第一次还款日如此下去分n期还清。如果每期利率为r(按复利)那么每期等额还款x元应满足:(等比数列问题)概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结直线和圆一(直线的倾斜角:(定义:在平面直角坐标系中对于一条与x轴相交的直线l如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时规定倾斜角为(倾斜角的范围。如()直线的倾斜角的范围是(答:)()过点的直线的倾斜角的范围那么m值的范围是(答:或)二(直线的斜率:(定义:倾斜角不是的直线它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k即k,倾斜角为的直线没有斜率((斜率公式:经过两点P、的直线的斜率为(直线的方向向量直线的方向向量与直线的斜率有何关系,。如(应用:证明三点共线:()两条直线钭率相等是这两条直线平行的条件(答:既不充分也不必要)()实数x,y满足则y的最大值、最小值分别为x(答:)三(直线的方程:(点斜式:已知直线过点(x,y)斜率为k则直线方程为它不包括垂直于x轴的直线。则直线方程为它(斜截式:已知直线在y轴上的截距为b和斜率k不包括垂直于x轴的直线。(x,y)P(x,y)(两点式:已知直线经过P、两点则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线。(截距式:已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为xy它不包括垂ab直于坐标轴的直线和过原点的直线。(一般式:任何直线均可写成不同时为)的形式。如()经过点()且方向向量为v=(,,)的直线的点斜式方程是(答:)()直线不管m怎样变化恒过点(答:)()若曲线与有两个公共点则a的取值范围是(答:)提醒:()直线方程的各种形式都有局限性(如点斜式不适用于斜率不存在的直线还有截距式呢,)()直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为直线两截距相等直线的斜率为或直线过原点直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点。如过点A(,)且纵横截距的绝对值相等的直线共有条(答:)四(设直线方程的一些常用技巧:(知直线纵截距b常设其方程为(知直线横截距x常设其方程为它不适用于斜率为的直线)(知直线过点(x,y)当斜率k存在时常设其方程为当斜率k不存在时则其方程为(与直线平行的直线可表示为(与直线垂直的直线可表示为提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式利用待定系数法求解。五(点到直线的距离及两平行直线间的距离:()点P(x,y)到直线的距离()两平行线间的距离为六(直线与直线的位置关系:(平行(斜率)且(在y轴上截距)(相交(重合且。ABCABABC提醒:()、、仅是两直线平行、相交、重合的充ABCABABC分不必要条件~为什么,()在解析几何中研究两条直线的位置关系时有可能这两条直线重合而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线()直线与直线垂直。如()设直线和当m,时ll当m,时当m时l与l相交当m,时l与l重合(答:,且)()已知直线l的方程为则与l平行且过点()的直线方程是(答:)()两条直线与相交于第一象限则实数a的取值范围是(答:)()设a,b,c分别是ABC中A、B、C所对边的边长则直线与的位置关系是(答:垂直)(x,y)是直线上一点P(x,y)是直线l外一点则()已知点P方程,所表示的直线与l的关系是(答:平行)()直线l过点(,,)且被两平行直线和所截得的线段长为则直线l的方程是(答:和)七(到角和夹角公式:(l到l的角是指直线l绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合所转的角且且,,。()l与l的夹角是指不大于直角的角提醒:解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点M是直线与x轴的交点把直线l绕点M逆时针方向旋转得到的直线方程是(答:)八(对称(中心对称和轴对称)问题代入法:如()已知点M(a,b)与点N关于x轴对称点P与点N关于y轴对称点Q与点P关于直线对称则点Q的坐标为(答:(b,a))()已知直线l与l的夹角平分线为若l的方程为那么l的方程是(答:)()点,(,,)关于直线l的对称点为,(,,)则l的方程是(答:y=x)()已知一束光线通过点,(,,,)经直线l:x,y=反射。如果反射光线通过点,(,)则反射光线所在直线的方程是(答:x)()已知ΔABC顶点A(,,),,边上的中线所在直线的方程为xy,=B的平分线所在的方程为x,y=求,,边所在的直线方程(答:)()直线x―y―=上有一点,它与两定点,(,,)、,(,)的距离之差最大则,的坐标是(答:(,))()已知轴C()周长的最小值为。提醒:在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。九(简单的线性规划:(二元一次不等式表示的平面区域:法一:先把二元一次不等式改写成或的形式前者表示直线的上方区域后者表示直线的下方区域法二:用特殊点判断无等号时用虚线表示不包含直线l有等号时用实线表示包含直线l设点P(x,y)Q(x,y)若与同号则PQ在直线l的同侧异号则在直线l的异侧。如已知点A()B()且直线与线段AB恒相交则k的取值范围是,)(线性规划问题中的有关概念:(答:,满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。关于变量x,y的解析式叫目标函数关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题称为线性规划问题满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解(求解线性规划问题的步骤是什么,根据实际问题的约束条件列出不等式作出可行域写出目标函数确定目标函数的最优位置从而获得最优解。如()线性目标函数z=x,y在线性约束条件下取最小值的最优解是(答:(,))()点(,,t)在直线x,y=的上方则t的取值范围是(答:)()不等式表示的平面区域的面积是(答:)()如果实数x,y满足则的最大值(答:)(在求解线性规划问题时要注意:将目标函数改成斜截式方程寻找最优解时注意作图规范。十(圆的方程:(圆的标准方程:。(DE,特别提醒:只有当(圆的一般方程:DEE,时方程才表示圆心为半径D为表示圆的充要条件是什么,(且且))(为参数)其中圆心为(a,b)半径为r。圆的(圆的参数方程:参数方程的主要应用是三角换元:t。(为直径端点的圆方程如()圆C与圆(x关于直线对称则圆C的方程为(答:)()圆心在直线上且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是()已知是圆(为参数上的点则圆的普通方程为P点对应的值为过P点的圆的切线方程是,)(答:)如果直线l将圆:xyxy=平分且不过第四象限那么l的斜率的(取值范围是(答:)()方程xy,,xyk=表示一个圆则实数k的取值范围为(答:)()若(为参数若则b的取值范围是(答:或)(答:,)十一(点与圆的位置关系:已知点及圆C:()点M在圆C外()点M在圆C内()点M在圆C上。如点P(a,a)在圆(x,,)y=的内部,则a的取值范围是(答:,)十二。直线与圆的位置关系:直线和圆C:有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断:()代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况):相交相离相切()几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆心到直线的距离则相交相离相切。提醒:判断直线与圆的位置关为d系一般用几何方法较简捷。如()圆与直线的位置关系为(答:相离)()若直线与圆切于点则ab的值(答:)()直线被曲线所截得的弦长等于(答:)出发经x轴反射到圆C:(x)(y)=上的最短()一束光线从点A(,,路程是(答:)()已知是圆(且l与圆相交C(ml且l与圆相离D(且l与圆相离(答:C)()已知圆C:直线L:。求证:对直线L与圆C总有两个不同的交点设L与圆C交于A、B两点若的倾斜角求直线L中截圆所得的弦最长及最短时的直线方程(答:或最长:最短:)十三(圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断):已知两圆的圆心分别为OO半径分别为r,r则()当时两圆外离()当时两圆外切()当时两圆相交()当时两圆内切()当时两圆内含。如xy双曲线的左焦点为F顶点为A、AP是双曲线右支上任意一点则分别ab以线段PF、AA为直径的两圆位置关系为(答:内切)十四(圆的切线与弦长:过圆上一点P(x,y)圆的切线方程是:过()切线:圆一般上一点P(x,y)圆的切线方程是:地如何求圆的切线方程,(抓住圆心到直线的距离等于半径)从圆外一点引圆的切线一定有两条可先设切线方程再根据相切的条件运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法:先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程切线长:过圆()外一点P(x,y)所引圆的切线的长为如设A为圆上动点PA是圆的切线且|PA|=则P点的轨迹方程为(答:)()弦长问题:圆的弦长的计算:常用弦心距d弦长一半a及圆的半径r所构成的直角三角形来解:过两圆、交点的圆(公共弦)系为f(当时方程为两圆公共弦所在直线方程。十五(解决直线与圆的关系问题时要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)

用户评价(0)

关闭

新课改视野下建构高中语文教学实验成果报告(32KB)

抱歉,积分不足下载失败,请稍后再试!

提示

试读已结束,如需要继续阅读或者下载,敬请购买!

文档小程序码

使用微信“扫一扫”扫码寻找文档

1

打开微信

2

扫描小程序码

3

发布寻找信息

4

等待寻找结果

我知道了
评分:

/162

2013高考数学复习专题总结

VIP

在线
客服

免费
邮箱

爱问共享资料服务号

扫描关注领取更多福利