初一数学 第三讲 绝对值 教师版
唯思达教育 初一数学精讲班 第三讲绝对值 教师版
第三讲 绝对值
内容概述
绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。
绝对值的定义及性质
绝对值 简单的绝对值方程
化简绝对值式，分类讨论(零点分段法)
绝对值几何意义的使用
绝对值的定义及性质
绝对值的定义:在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质:
(1) 绝对值的非负性，可以用下式表示:|a|?0，这是绝对值非常重要的性质;
a (a,0)
(2) |a|= 0 (a=0) (代数意义)
-a (a,0)
(3) 若|a|=a，则a?0;若|a|=-a，则a?0;
(4) 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|?a，
且|a|?-a;
(5) 若|a|=|b|，则a=b或a=-b;(几何意义)
a|a|(6) |ab|=|a|?|b|;||=(b?0); b|b|
222(7) |a|=|a|=a;
(8) |a+b|?|a|+|b| |a-b|?||a|-|b|| |a|+|b|?|a+b| |a|+|b|?|a-b|
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唯思达教育 初一数学精讲班 第三讲绝对值 教师版 [例1]
(1) 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个,
(2) 若ab<|ab|，则下列结论正确的是( )
A.a,0，b,0 B.a,0，b,0 C.a,0，b,0 D.ab,0
) 下列各组判断中，正确的是( ) (3
A(若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|,|b|,则一定有a,b
22C. 若|a|,b，则一定有|a|,|b| D.若|a|=b，则一定有a=(-b)
(4) 设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值,其值是多少, 分析:
(1) 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有?3，?4，有4个
(2) 答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。
(3) 选择D。
(4) 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|?0，则|a+b|?9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些,它们的和为多少,
<分析>:绝对值小于3.1的整数有0，?1，?2，?3，和为0。 [巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确( )
A.a,b B.a=b C.a0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值
a分析:(1)若a<-b且，a<0,b<0,a+b<0,ab>0 ,0b
|a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a
(2)因为-2?a?0，所以a+2?0，a-2?0，|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4
(3)由x<00可得:y<0|z|>|x|,可得:y，2x-1>0，|2x-1|=2x-1。也可将(2)与(1)合并写出结果 2
【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值
分析:先找零点，m=0，m-1=0，m-2=0，解得m=0,1,2
依这三个零点将数轴分为四段:m,0,0?m,1,1?m,2，m?2。
当m<0时，原式=,m,(m-1)-(m-2)=-3m+3
当0?m,1时，原式=m-(m-1)-(m-2)=-m+3
当1?m,2时，原式=m+(m-1)-(m-2)=m+1
当m?2时，原式m+(m-1)+(m-2)=3m-3
绝对值几何意义的应用
|a|的几何意义:在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离
|a-b|的几何意义:在数轴上，表示数a，b对应数轴上两点间的距离
【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值
分析:由上题可知，本题中的式子值应为x所对应的点分别到3,5,2，-1，-7所对应的点距
离和。通过数轴可以看到，当x=2时，五段距离的和有最小值16。这里我们可以把
小学奥数中的相关知识联系到一起讲解:
【小学奥数相关题目】如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，
为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处,
A B C D E
分析:我们来分析以下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的哪一点，A到邮筒的距
离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到
邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使
B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。最后，只需要考虑C点到邮筒
的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C点了。这里就体现了一个“向中
心靠拢的思想”
题后小结论:
求|x-a|+|x-a|+„+|x-a|的最小值: n21
当n为奇数时，把a、a、„a从小到大排列，x等于最中间的数值时，该式子的值n21
最小。
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当n为偶数时，把a、a、„a从小到大排列，x取最中间两个数值之间的数(包括n21
最中间的数)时，该式子的值最小。
【巩固】探究|a|与|a-b|的几何意义
分析:|a|即为表示a的点A与原点之间的距离，也即为线段AO的长度。
关于|a-b|，我们可以引入具体数值加以分析:
当a=3，b=2时，|a-b|=1; 当a=3，b=-2时，|a-b|=5;
当a=3，b=0时，|a-b|=3; 当a=-3，b=-2时，|a-b|=1;
从上述四种情况分别在数轴上标注出来，我们不能难发现:|a-b|对应的是点A与点
B之间的距离，即线段AB的长度。
【巩固】设a、a、a、a、a为五个有理数，满足a< a< a< a< a,求|x- a|+|x- a|+|x- 353524242111
a|+|x- a|+|x- a|的最小值 354
分析:当x= a时有最小值，a+ a- a- a 35421
【例14】设ab>c,那么a+b-c=,,,,,,
分析:根据题意可得:a=?1，b=-2，c=-3，那么a+b-c=0或2
2【例2】 已知(a+b)+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=,,,,,,
2分析:因为(a+b)+|b+5|=b+5,我们可以知道b+5>0，所以原式可以表示为:
22(a+b)+b+5=b+5，(a+b)=0，a=-b，又因为|2a-b-1|=0，进而2a-b-1=0，进而
1112a-b-1=0,3a=1，a=，b=-，ab=- 339
【例3】 对于|m-1|，下列结论正确的是( )
A.|m-1|?|m| B.|m-1|?|m| C. |m-1|?|m|-1 D. |m-1|?|m|-1
分析:我们可以分类讨论，但那样对于做选择题都过于麻烦了。我们可以用特殊值
法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要带入正数、负数、0,3种数帮助找到
准确答案。易得答案为C。
【例4】 设a，b，c为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|
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分析:|a|+a=0，|a|=-a，a?0;|ab|=ab，ab?0;|c|-c=0，|c|=c，c?0。 所以可以得到a?0，b?0，c?0;
|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+(a+b)-(c-b)-(a-c)=b
【例5】 化简:||x-1|-2|+|x+1|
-1=0，x=1，|x-1|-2=0，|x-1|=2，x-1=2或x-1=-2，可得x=3或 分析:先找零点。x
者x=-1;x+1=0，x=-1;综上所得零点有1.，-1,3，依次零点可以将数轴分成几段。 (1) x?3，x-1>0，|x-1|-2?0，x+1>0, ||x-1|-2|+|x+1|=2x-2; (2) 1?x<3，x-1?0，|x-1|-2<0，x+1>0，||x-1|-2|+|x+1|=4; (3) -1?x?1，x-1<0，|x-1|-2<0，x+1?0，||x-1|-2|+|x+1|=2x+2; (4) x<-1,x-1<0,|x-1|-2<0,x+1<0, ||x-1|-2|+|x+1|=-2x-2
|a||b||c||abc|【例6】 已知有理数a，b，c满足，求的值 ，，,1abcabc
|a||b||c||a| 分析:对于任意的整数a，有，若，则a，b，c中必,,1，，,1aabc
|abc|是两正一负，则abc<0，=-1 abc
【例7】 若a，b，c，d为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d|
分析:从|a-c|=|b-c|我们可以知道，c到a，b的距离都是1，且三者不相等，那么在数轴上就有:
a c b
(b) (a)
因为|d-b|=1，且a，b，c，d为互不相等的有理数，则有:
c b a d
(b) (a) 显然易得|a-d|=3
练习三
71、|m+3 |+|n-|+|2p-1|=0,求p+2m+3n的值 2
77分析:绝对值为非负数，|m+3 |+|n-|+|2p-1|=0,所以m+3=0，n-=0，2p-1=0，即得m=-3，22
7117n=，p=，所以p+2m+3n=-6+3×=5 2222
2、(1)已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y的值为多少,
(2)解方程:|4x-5|=8
分析:(1)x=?2，y=?3，
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当x=2，y=3时，不满足x-y,0;
x=2，y=-3时，满足x-y,0，那么x+y=-1;
x=-2，y=3时，不满足x-y,0;
x=-2，y=-3时，满足x-y,0，那么x+y=-5。
，-5 综上可得x+y的值为-1
133(2)4x-5=?8，x=，x=- 44
3、(1)有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|
a c 0 b
(2)若a,b，求|b-a+1|-|a-b-5|的值
(3)若a,0，化简|a-|-a||
分析:(1)a-b,0，b-c,0，a+b,0
|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|=-(a-b)+(a+b)+(b-c)+c=3b
(2)|b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4
)|a-|-a||=|a+a|=|2a|=-2a (3
23aaa，，4、已知a是非零有理数，求的值 23|a||a||a|
23aaa，，分析:若a,0，那么=1+1+1=3; 23|a||a||a|
23aaa，， 若a,0，那么=-1+1-1=-1 23|a||a||a|
5、化简|x-1|-|x-3|
分析:先找零点。x-1=0,，x=1;x-3=0，x=3，依照零点可以将数轴分成几段。
(1) x?3，x-1,0，x-3?0，|x-1|-|x-3|=x-1-(x-3)=2;
(2) 1?x,3，x-1?0，x-3,0 ，|x-1|-|x-3|=x-1+(x-3)=2x-4;
(3) x,1，x-1,0，x-3,0，|x-1|-|x-3|=-(x-1)+(x-3)=-2 6、设a,b,c，求当x取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值
分析:|x-a|+|x-b|+|x-c|实际表示x到a，b，c三点距离和，画图可知当x=b时，原式有最小
值c-a
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