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极力推荐的一套几何符号——让立体几何表达更加流畅

极力推荐的一套几何符号——让立体几何表达更加流畅极力推荐的一套几何符号——让立体几何表达更加流畅倾情打造五个空间符号——让立体几何表达更加流畅江西省乐安县第一中学黄绍荣 344300 《立体几何》，向来是最令学生和老师都头痛的章节，除了因其本身所特需的空间抽象、空间图示和空间思维颇有难度之外，我想，还有一点很令人不快的就是，许多常用的空间元素(如平面、二面角等)、空间度量(如各种空间距离、空间角度等)、空间关系(如直线在平面上的射影)的表达不够简约，以致表达跟不上思路——清晰的思路也或多或少地会被此类表达的烦躁而中断，立体几何的枯燥也便由此衍生～无论...

极力推荐的一套几何符号——让立体几何表达更加流畅倾情打造五个空间符号——让立体几何表达更加流畅江西省乐安县第一中学黄绍荣 344300 《立体几何》，向来是最令学生和老师都头痛的章节，除了因其本身所特需的空间抽象、空间图示和空间思维颇有难度之外，我想，还有一点很令人不快的就是，许多常用的空间元素(如平面、二面角等)、空间度量(如各种空间距离、空间角度等)、空间关系(如直线在平面上的射影)的表达不够简约，以致表达跟不上思路——清晰的思路也或多或少地会被此类表达的烦躁而中断，立体几何的枯燥也便由此衍生～无论是老师还是学生，有时省写一个字都觉得是件愉快的事情，比如在表达“平面ABC”的时候，我们总爱写成“面ABC”，虽然曾有文章批评这样写有违数学的严谨，可是，我们依然这样写着，高考时也不会因这样写而被扣分。不是因为我们懒，实在是因为过于频繁使用的东西就可以而且也有必要有一个简化表达的规范。数学，需要严谨的表达;数学，更需要表达的简约～只有当简约而明了的表达不再令人幽怨，思维流的纵横驰骋方无后顾之忧。像 “?”、“?”、“?”等元素符号，“?”、“?”、“?”、“?”等表达元素关系的符号，还有求导的“,”以及求积分的“”等,运算符号，都是先人们为我们创造的简约而又实用的数学符号。任何一个数学符号，只要易写、易读(即可读性强)、易懂、易排版打印，且在不易给((((((((((((((((((((((((((( 么它就有存在的理由和被推行人们造成混乱的前提下能够大大提高表达和解读效率，那((((((((((((((((((((((( 的必要了。基于以上思考，我精心设计了五个空间符号，下面我将力求对每个符号作出详尽的解说，希望能引起人们的广泛关注，更衷心地希望能与同行权威商榷，对之改进,并将之推广以获公认,最终让这些可爱的符号服务于为立体几何思维表达而困扰的广大师生. 1.1(平面，[ P ] ，读作“平面P”，与传统读法相同，其中“P”是所要表达的平面的标签，可以是一个希腊字母，也可以是三个或多个大写英文字母，与我们现行的传统写法相比，只是把指定属性的“平面”二字改成了一对象形的符号“[ ]”。如:把“平面ABC”写成“[ABC]”。通常我们用一个矩形框"口"表示平面，把它左右拉开便得“[ ]”，这个符号能在一定程度上反映平面的“无限延展”性。符号成对封闭，可以避免标签过长的不良干扰。示例: E D 符号表达: 符号表达: C 图2 ,,]或 [,]?[β]=AD或 [ D F ,A B [ABCD]或 [AC]?[AE] =AD C ,图1 [AC] A B 甚至，“?O所在的平面”，也可以表示为 “[?O]”。由标签的结构和属性，完全避免了[AC]与闭区间的混淆。 1.2(二面角，< P >，读作“二面角P”，与传统读法相同，其中“P”是所要表达的二面角的标签，与我们现行的写法相比，只是把指定属性的“二面角”三个字改成了一对象形的符号“< >”。看到“ X ”我们可以想象出两相交平面，将之截成两半即得两个同样大小的二面角“> < ”，再调整位置便得“< >”，这一符号能在一定程度上反映二面角的外貌。符号成对封闭，可以避免标签过长的不良干扰。示例: 符号表达: 传统表达: E 图3 D l<--> a,l表示: 二面角-- a,F ,C , l表示: 二面角F-AD-C A B 表示: 二面角EF-AD-BC P2.1. 射影, ，读作“P在Q上的射影”，与传统读法相同，其中P、Q是两个可,Q 建立射影关系的元素(或元素的标签)，表示“元素P在元素Q上的射影”，结果的属性由P、Q的属性来决定，书写时P、Q的上下位置不可倒置。示例: 符号表达: 传统表达: C'D',,,,,,,,,,, ,,,,,,B',,,,,,,,,,,A'AC''ACAB''', ,,,,,,:'''ACAB表示在方向的射影,"="后的是结果,,,,,,AB'AB' CA'DA,AAABCD,:'表示点A是点在平面上的射影 ,[]ABCDB图4 AB',ABABAC,:'表示直线在平面上的射影是直线AB ,[]AC ?BAD'',?表示?在平面上的射影是?BBCBADBCBBC'',:''''' , [']BC 2.2(距离，,读作“之间的距离”，其中是待度量距离且可度量dPQ(,)PQ,PQ, 距离的两个元素(或元素的标签)，表示“元素之间的距离”，的书写顺序不PQ、PQ、影响度量结果，即。这里，“d”是英文“distance”的首字母，而dPQdQP(,)(,),dPQ(,)本身，既有函数的影子，又有运算的味道。示例: C'D'符号表达: 传统表达: BD'B'dABD(,'), 表示: 点A到直线的距离 A' BAD''dABAD(,['']), 表示: 点,到平面的距离简写为dABAD(,'') AC''dABACAA(,'')',, 表示: (异面)直线,,、间的距CD AAA'离等于线段的长 B 图5 2.3(角度，，表示“所成的角的大小”，其中是待度量角度且PQ与,,PQ,PQ,可度量角度的两个元素(或元素的标签)。的书写顺序不影响度量值，即 PQ,,,,, 。这是由传统的两向量所成角推广而来，既符合习惯，,,,,,PQQP,,ab,,,ab, 又便于理解。同时“<”、“>”也能反映角的外观，而整体，既有函数的影子，,,PQ, ll又有运算的味道。特别地，对于元素二面角--，即<-->，它本身又可以被度aa,, ll量角度，此时可用<-->表示“二面角--的角度值”。即一般地“”既,,Paa,, 可表示“二面角P”这个图形元素，又可用以表示“二面角P的大小”。其他情况下，由标签的结构和属性的不同，完全避免了

与的混淆。示例: 符号表达: 传统表达: ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, C'D',表示:向量所成的角 ,,BDAC',''BDAC','' B',表示:直线所成的角(相交时则指夹角) ,,BDAC',''BDAC',''A' BDBAC'''与平面,表示:直线所成的角 ,,BDBAC',[''] 简写为,,BDBAC','' 表示:平面A'D'B与平面B'C'B所成角的大小 CDA ,,,,BADC'''BADC,,''', 表示:二面角的大小 B 图6 ,,,,,,，,BADCBAB''''', 4 ,BADC,,'''，BAB'' 表示:是二面角的平面角,大小为 4 ,, ，AAB'，,AAB'在平面几何里,元素 “” 的大小等于,我们用“”表示,类似地,22在立体几何中,我们也可以有如下表示法: ,,,,BADC''',,,,BADC'''，BAB''，BAB'' =,表示:的平面角是 , ,,,,,,BADC''',,,,BADC''' =,表示: 的大小为 44 ? 两个命题的符号表示法(约定:单个小写字母表示直线,单个大写字母表示点.) ,,aa且?,a,,,,,, 命题1.若,则三垂线定理及其逆定理bab(),,,2,,, ,b,,, aPa//[],,,, 命题2( 若则dabdadP(,)(,)(,),,,,,bba,[],//, , 命题2揭示了线线距、线面距，最终向点面距的转化，这在求异面直线间的距离时，可起着重要的作用。对比解题范例1(已知在四面体ABCD中，AB?CD、AC?BD，求证AD?BC 证明住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 (新符号表示法):作AH?[BCD]于H，连结HB、HC、HD A AB,AH[BCD]H,,,于HB,,[]BCD,,CDHB, CDBCDCDAB,,,[],,BD 同理由得BDACBDHC,, H？,,,点是的垂心HBCDBCHD,,,,BCADAD,HD,,,[]BCDC, ================================================================ 证明(传统表示法): 作垂直平面于连结AHBCDH,HB,HC,HD AHBCDH,,平面于在平面ABHBBCD上的射影是,,,CDHB,CDBCDCDAB,,平面,, 同理由得BDACBDHC,, ？,,,点是的垂心HBCDBCHD,,,BCAD,HDADBCD是在平面上的射影, 解题范例2(已知边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，GC?平面ABCD于C，GC=2(?求二面角G-EF-C的大小，?求点B到平面GEF的距离解?(新符号表示法)(令EF?AC=M,在正方形ABCD中由条件易得EF?MC„„„? MGGCABCDCMC,,,[]于 „„„„„„„„„„? ,[]ABCDG 由??得EF?MG„„„„„„„„„? 由??得 =?GMC 正方形的边长为4 3D,,,,,ACMCAC4232 4CH 在Rt?GMC中,GC=2, F O MA EB GC222tanarctan，,,,,，,GMCGMCMC3332 2?G-EF-C,arctan3 解?(传统表示法)(令EF?AC=M,在正方形ABCD中由条件易得EF?MC„„„? GCABCDCMCMGABCD,,平面于是在平面上的射影 „„„„„? 由??得EF?MG„„„„„„„„„? 由??得?GMC 是二面角G-EF-C的平面角正方形的边长为4 G3 ,,,,,ACMCAC42324 在Rt?GMC中,GC=2, D GC22Ctan，,,,GMCHMC332F 2O,，,GMCarctan3MA 即二面角G-EF-C的大小为 EB 2 arctan3 解?(新符号表示法)(在正方形ABCD中由已知条件易得BD?EF BD?[EFG], , ？,,dBEFGdBDEFGdOEFG,[],[],[] ，，，，，， EFMCEFMGEFGMC,,,,,,[],,,[][]EFGGMC,,EFEFG,[] ,,,[][]EFGGMCMG,,, ,在内作?于[]GMCOHMGH, ,,,,,OHEFGdOEFGOH[],(,[]即,计算得 211211OHdBEFG,,,,[]即，，1111 解?(传统表示法)(在正方形ABCD中由已知条件易得BD?EF BD?平面EFG , 点B到平面EFG的距离等于直线BD到平面EFG的距离等于点O到平面EFG的距离下面求点O到平面EFG的距离 ,EFMCEFMGEFGMC,,,,,平面,,,平面平面EFGGMC,,EFEFG,平面 ,,,平面平面EFGGMCMG,,, ,在平面内作?于GMCOHMGH, ,, ,计算得 ,,OHEFGOHOEFG平面即就是点到平面的距离, 211211 OHOEFG,,即点到平面的距离为1111 对比结果: 以上两个例题是从手边资料中随意摘录的，我对每个问题解答的提供两种表达方式的对比:“传统表示法”中的下划虚线部分就是被“新符号表示法”所优化的部分。我们(( 不然预见，随着图形和问题的复杂化，“传统表示法”中被“虚线”掉的书写将会越来越(( 多，而对这些文字的机械书写，将无情地打扰着我们的思路、吞蚀着我们的时间和精力，可是，为了规范地表达，在“传统表示法”中师生们都不得不接受这万般无奈。在此，我只想以我开篇的那句话来结束本文:“数学，需要严谨的表达;数学，更需要表达的简约～只有当简约而明了的表达不再令人幽怨，思维流的纵横驰骋方无后顾之忧。

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