江苏初中数学竞赛-乘法公式与因式分解

江苏初中数学竞赛-乘法公式与因式分解江苏初中数学竞赛-乘法公式与因式分解乘法公式及其逆用一竞赛基础知识乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于特殊形式的多项式相乘，得出既有特殊性，又有实用性的具体结论，其中将许多乘法公式的逆用就是因式分解，这些乘法公式在复杂的数值计算，代数式的化简求值，代数式的恒等变形，代数式的证明，因式分解等方面有着广泛的运用，本讲就探讨这一系列问题. ()()abab+-= 1、平方差公式 22 2、完全平方公式 ()ab+=()ab-= 22 3、立方差与立方和公式 ()()a...

江苏初中数学竞赛-乘法公式与因式分解乘法公式及其逆用一竞赛基础知识乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于特殊形式的多项式相乘，得出既有特殊性，又有实用性的具体结论，其中将许多乘法公式的逆用就是因式分解，这些乘法公式在复杂的数值计算，代数式的化简求值，代数式的恒等变形，代数式的证明，因式分解等方面有着广泛的运用，本讲就探讨这一系列问题. ()()abab+-= 1、平方差公式 22 2、完全平方公式 ()ab+=()ab-= 22 3、立方差与立方和公式 ()()abaabb+-+= 22 ()()abaabb-++= 34、完全立方公式 ()ab+= 3 ()ab-= ()()xpxq++=5、 26、 ()abc++= 222abcabbcca++---=7、 333abcabc++-=38、 axy，bx，cy，d,09、对于形如(其中a,0，，y为未知数)的二元二次方程x (ax，c)(ay，b),bc,ad通过以下步骤可变形为. bcd(a,0)xy，x，y,,先对原方程两边同时除以，得， aaaa bc再在方程两边同时加上，并对方程左边进行因式分解，得 2a cbbcdx，y，,,， ()()2aaaa 2(ax，c)(ay，b),bc,ada 最后对方程两边同时乘以，便得到. 由于变形后的方程左边部分为因式的乘积，右边部分为常数，故该变形在解决与整数相关的问题中应用广泛. nnnnnn----112210、 ababababab+=++++()()() 第 1 页共 5 页二赛题精讲 2233xy+例1 用含，的代数式表示，; xy-xyxyxy++, 拓展练习 223344xyxy+==3,1,1、如果求的值. xyxyxyxy+++-,,, 3322ab+、已知求的值. 2abab+=+=1,2, 222220102010201020103、若求证: xyabxyab+=++=+,,xyab+=+ 22、,2008年全国初中数学联赛试题 ,设4且ab?，求代数式aabb+=+=13,13, 11的值. +22ab 例2 计算骣骣骣骣1111鼢鼢珑珑1111----1)( 鼢鼢珑珑2222鼢鼢珑珑桫桫桫桫2320092010 224488512512102410243232323232+++++(2) ()()()()() 220102010(3) 2220102009201020112+- 拓展练习 2222135991、计算 ++++22221100500033005000550050009999005000-+-+-+-+ 第 2 页共 5 页 3222003200162003241001--? 2、计算 222例3 已知，试求多项式的值. xymyzn-=-=,xyzxyyzzx++--- 拓展训练 23222abb++1、如果，求的值. abcabcabbcca++=++=++2312, 4322xxxx-+-5652、已知求的值. xx-+=410, 222444abc++=4abc++3、已知abc++=0，,求的值. 1111114、已知abc?0，且abc++=0，求的值 abc()()()+++++bccaab 222222例4 证明恒等式 ()()()()axbyaybxabxy++-=++ 拓展训练 2abc==1、已知，求证: ()3()abcabbcca++=++ 第 3 页共 5 页 333222 2、证明恒等式 abcabcabcabcabbcca++-=++++---3()() 322xxxa-++35xx-+3例5 已知多项式能被多项式整除，求常数的值. a 拓展训练 32ab,xaxbx-+-5、若能被与整除，求的值. 1x-1x-2 64970xyxy+--=例6 求方程的整数解. 拓展训练 113+=1、求方程的正整数解. xy5 1111++=2、求方程的正整数解. 222xyz8 练习题 ,1，5题为填空题～每道12分～6，9每道20分, 第 4 页共 5 页 22221、计算 2010201020112011+?= 42aa++112、已知，则 =a+=32aa 2222xxyyxxyy++-+=3、化简 ()() 22224、若，那么 abcd+=abcdadbc+=+=+=1,0 2xy+-25、已知是二元二次式的一个因式，则 ab=xaxybyxy++-++56 (1)(2)(3)(4)1xxxx+++++6、证明:不论取何值，代数式是非负数. x xaxbcxxx+++-=-+(10)(11)(1)7、对于任意的均成立，求的值. xc()() 222333abcabcabc++=++=++=18、已知，求abc的值. 1313xyxy-==1,19、已知，求的值. xy- 第 5 页共 5 页

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