初升高数学衔接
现有初
高中
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数学知识存在以下“脱节”
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作
要求
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，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要
内容
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。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的
应用题
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型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
1.1 数与式的运算
1.1.1. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
；
（2）完全平方公式
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
；
（2）立方差公式
；
（3）三数和平方公式
；
（4）两数和立方公式
；
（5）两数差立方公式
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：
．
例2 已知
，
，求
的值．
练 习
1．填空：
（1）
（ ）；
（2）
；
（3）
．
2．选择题：
（1）若
是一个完全平方式，则
等于 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）不论
，
为何实数，
的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
1.1.3．二次根式
一般地，形如
的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如
，
等是无理式，而
，
，
等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如
与
，
与
，
与
，
与
，等等． 一般地，
与
，
与
，
与
互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式
；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式
的意义
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）
； （2）
； （3）
．
解：
例2 计算：
．
例3 试比较下列各组数的大小：
（1）
和
； （2）
和
.
解：
例4 化简：
．
例 5 化简：（1）
； （2）
练 习
1．填空：
（1）
＝__ ___；
（2）若
，则
的取值范围是_ _ ___；
（3）
__ ___；
（4）若
，则
______ __．
2．选择题：
等式
成立的条件是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．比较大小：2－ －（填“＞”，或“＜”）．
1.1.４．分式
1．分式的意义
形如
的式子，若B中含有字母，且
，则称
为分式．当M≠0时，分式
具有下列性质：
；
．
上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式
像
，
这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
例1 （1）试证：
（其中n是正整数）；
（2）计算：
；
（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
．
（1）证明：∵
，
∴
（其中n是正整数）成立．
例2 设
，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
练 习
1．填空题：
对任意的正整数n，
(
)；
2．选择题：
若
，则
＝ （ ）
（A）１ （B）
（C）
（D）
3．正数
满足
，求
的值．
4．计算
．
习题1．1
A 组
1．填空：
（1）
＝________；
（2）若
，则
的取值范围是________；
（3）
________．
B 组
1．填空：
（1）
，
，则
____ ____；
（2）若
，则
__ __；
2．已知：
，求
的值．
1．2 分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；
（3）
； （4）
．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有
x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
图1．2－4
图1．2－3
图1．2－2
图1．2－1
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得
x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得
图1．2－5
＝
（4）
＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）
； （2）
．
解：
3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于x的方程
的两个实数根是
、
，则二次三项式
就可分解为
.
例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）
； （2）
．
练 习
1．选择题：
多项式
的一个因式为 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．分解因式：
（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；
（3）x2－2x－1； （4）
．
习题1．2
1．分解因式：
（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
．
2．在实数范围内因式分解：
（1）
； （2）
；
3．
三边
，
，
满足
，试判定
的形状．
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
． ①
因为a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x1，2＝
；
（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－
；
（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边
一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
x1，2＝
；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－
；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0；
（3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．
解：
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
浙公网安备 33021202002483