高等计算流体力学讲义(4)

高等计算流体力学讲义（4） §5.  Riemann问题的近似求解器(Ⅰ)：HLL方法 一．Godunov格式和Riemann问题 考虑下列Euler方程： （1） 要求在适当的初边值条件下求（1）式的数值解。前面已经讲过，求解(1)式的显式格式可以写为： （2） 在采用Godunov格式时： （3） 其中 是Riemann问题的精确解 在 时的值。而 是下列初值问题（Riemann问题）的解： （4） 在采用零阶重构时： （5） 为了使以后的讨论适用于多维问题，我们考虑多维问题的x-分裂形式，即在（1）中，认为： （6） （这里只考虑二维问题，但容易推广到三维问题）。由于Riemann问题须迭代求解计算量很大；而且一般的非线性双曲型守恒律的Riemann问题可能不存在解析解，所以有必要发展Riemann问题的近似解法。近似解法可以分为两大类（1）在Riemann问题的提法是准确的条件下求近似解；（2）求近似的Riemann问题的精确解。 二．Riemann问题的HLL近似(Harten-Lax-van Leer) Harten等提出，（4）式的解可以近似写为下列形式： （7） 其中 、 是Riemann问题的解中左波和右波运动速度的近似值。 是与 、 有关的常数。（7）称为Riemann问题的HLL近似解。该近似认为Riemann问题左右波之间的区域不存在接触间断，为由左右两波分隔开的三个常数区域。 假定 、 已知，考虑下图所示的控制体 ，其中 。 考虑 的情况。在上述控制体上积分（1）式，有： （8） 考虑（4）式，且 波的左侧、 波的右侧物理量保持其初始值这一事实，上式可以化简为 （9） 其中 。（9）式是精确成立的，一般称为相容条件。把（8）式左侧分解为三个积分的和，即： 则： （10） 比较（10）式和（9）式，有 （11） 所以，左波和右波之间的区域，守恒变量的平均值为： （12） 显然，左右波之间物理量的平均值与T无关。由（7）式知 （13） 这样，我们就得出了HLL近似中中间状态的守恒变量的值。由此，当 时，x=0处的通量 。 事实上，更为合理的方法是直接利用守恒律本身求出 的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式。其方法是，在 积分Euler方程（1）式 即 （14） 同理在 上积分（4）式，有： （15） 由相容条件（11）式，知（14）（15）是等价的，即 。由（14）、（15)式 （16a） （16b） 把（13）代入（16）式得： （17a） 或者等价的 。      （17b） 从（17b）式可以看出， 起着格式粘性的作用。因此，根据守恒律直接确定通量，可以更好的体现格式粘性的影响，且通过选取适当的 、 ，也可以对格式粘性进行直接控制。综上所述，数值通量 可用下式计算： (18) 一般而言，在单元界面（i＋1/2）处， 数值通量为 。 这样，就得到了（2）式中数值通量的一种基于HLL 近似 Riemann 解的计算方法。 三． DL , DR  的确定 上述过程并没有提供确定DL, DR的方法。事实上，我们必须另外构造计算DL, DR 的方法。最简单的一种是： (19) 一种稳定性更好的取法是： 。                    (20) 合理的DL, DR 的取法， 可以使基于 HLL 近似的格式具有正定性，即， 对于 t = tn 时刻任意的物理上可能存在的初始值， 格式（2），（18）可以保证 t = tn1 时 上述格式的另一优点是满足离散熵条件；其缺点是格式粘性较大，对接触间断的分辨率较低（容易证明，只有对于两个因变量的守恒律，HLL格式才可能是准确的）。 § 6. Riemann  问题的近似解法 （II） Roe 方法 一、基本思想 考虑扩张一维守恒型Euler 方程 ： （1） 对应的拟线性形式为： 。                    （2） Roe 把（2）式中的矩阵A 用一个常矩阵 ? 代替 ，即 ，                          （3） 此时，（2）式化为一个线性方程 ，                        （4） 其守恒形式为 ，                        （5） 其中 。这样，第5节（4）式的Riemann问题可用下列近似Riemann 问题所代替： (6) 由于?是常矩阵，容易得到（6）式的精确解。?称为Roe Jacobian Matrix, 它要满足下列条件： （A） 双曲性  即? 的特征值均为实数，且存在完备的左右特征向量； （B） 相容性  （7） （C）  守恒性 （8） 二.数值通量的确定 设 的特征值为 ,m=1,2,3,4;且 。 相应 的左、右特征值向量为 。 下面讨论（4）式的解法。由 的双曲性，可知： (9) 由于 是常矩阵，所以L, L-1也是常矩阵。把（9）式代入（4）式，有： 定义特征变量V=LU,  所以 (10) 令 （11） 则： （j=1,2,…m）            (12) 容易知道，（12）式的精确解为： （13a） 所以，在x=0处， （13b） （13a）式也可以写为 (14) 或 (15) 是单位矩阵。由 ,知： （16a） 在x=0处， （16b） 注意到线性化后的守恒型方程为 ，且 。所以，相应的数值通量为： 。        （17） 必须注意，上述数值通量对应于（5）式，而我们希望得到的是（1）式对应的数值通量 。那么， 如何计算呢？ 我们还记得，在第5节，我们得到了下面的相容性条件： ， 这一条件对于（1）式而言是精确成立的。因此， （18a） 和 （18b） 是等价的，即 。当采用Roe的线性化近似时，我们把 用（16a）式 近似，且 。对于（5）式，我们同样可以得到上述相容条件，即 （19a） （19b） 以及 。比较（18），（19）式，可得： 或 （20） 把（17）式带入（20）式，可得： （21） 这样，就得到了Roe格式中数值通量的表达式。（21）式的最后一项，起着数值粘性的作用。Roe格式，也称通量差分分裂格式。下面，我们把（21）式写成计算中常用的形式。 令 , 则?U可以投影到右特征向量上，即： （22） 其中 。 这个关系可以简要推导如下： 所以          （23） 事实上，对于任意的m维列向量 ，都有： 。 所以， 即（21）式也可以写为： 。              （24） 三． 的构造 具体方法从略，下面只给出结果。设（2）式矩阵 的左右特征向量为 、 ,则： 。 在形式上与 相近，可以写为： （25） 其中 可由下列表达式得到： （26） 上述表达式是对左右状态的一种特殊平均，一般称为 平均。为了方便编程计算，下面列出扩张一维Euler的特征值，右特征向量和（24）式中 的表达式。 特征值： 特征向量： ： 。 基于Roe近似Riemann解的格式对激波和接触间断都有较高分辨率，其缺点是可能得到违反熵条件的非物理解。可以通过采用“熵修正”技术，避免非物理解的出现。 进一步内容（自学）： （1）“熵修正”技术 （2）基于Riemann问题精确解和近似解的格式的激波不稳定现象：Carbuncle phenomenon，Odd-even decouping. （3）解决激波不稳定问题的方法：Rotated Riemann Solvers。（参考Yu-Xin Ren，A robust shock-capturing scheme based on rotated Riemann solvers，Computers & Fluids 32 (2003) 1379–1403）