飞行管理问题的非线性优化模型

飞行管理问题的非线性优化模型 飞 行 管 理 问 题 的 非 线 性 优 化 模 型 摘要 本文研究了飞行管理问题的非线性优化模型。在约10000米高空的某边长160公里的正方形区域内～经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位臵和速度向量均由计算机记录其数据～以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时～记录其数据后～要立即计算并判断是否会与区域内的其它飞机发生相撞。如果发生相撞～则应计算如何调整各架,包括新进入的,飞机的飞行方向角～以避免碰撞。 借鉴物理学中质点的概念～我们在空域平面建立了二维直角坐标系,我们讨论飞机不相撞的的条件时～将每一个飞机看作半径4km的圆～任意两架飞机不相撞的条件为两圆外切,进一步讨论约束条件～我们利用点的速度合成定理～任意两架飞机不相撞的条件化为两架飞机的相对速度和相对位移的夹角不小于两飞机相撞的临界角,模型求解过程中～我们结合多种数学软件,AutoCAD、MATLAB、SPSS、lingo,的特点～简化了算法。用Lingo数学软件～我们求得了最优解～各个飞机的调整角均不大于17?～调整幅度平方和为9.46 ?～检验后比较符合实际情况～每架飞机的初始方向角和调整角及调整幅度如下表: 表1 每架飞机的初始方向角和调整角及调整幅度 A初始方向角 4.241000 4.118900 3.848300 2.775000 4.014100 0.9075000 i B调整后的方向角 4.240999 4.118899 3.619195 2.858334 3.722626 1.051778 i BA调整幅度- -0.0000 -0.0000 -0.2291 0.0833 -0.2915 0.1443 ii 调整的角度 0? 0? -13.13? 4.77? -16.7? 8.27? 飞行管理问题的非线性优化模型 一、问题的重述 在约10000米高空的某边长160公里的正方形区域内～经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位臵和速度向量均由计算机记录其数据～以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时～记录其数据后～要立即计算并判断是否会与区域内的其它飞机发生相撞。如果发生相撞～则应计算如何调整各架,包括新进入的,飞机的飞行方向角～以避免碰撞。现假设条件如下: 1( 不相撞的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 为任意两架飞机的距离大于8公里, 2( 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度, 3( 所有飞机的飞行速度均为每小时800公里, 4( 进入该区域的飞机在到达区域边缘时～与区域内飞机的距离应在60公里以上, 5( 最多需考虑6架飞机, 6( 不必考虑飞机离开此区域后的情况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型～列出计算步骤～对以下数据进行计算,方向角误差不超过0.01度,～要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。 二、符号说明 符号 含义 第i架飞机的初始方向角 A i 第i架飞机调整后的方向角 B i 第i架飞机与第j架飞机初始位臵的距离 D ij 第i架飞机的初始位臵 V00V11,,, ii 调整后第i架飞机相对于第j架飞机的速度 V0V1(,) ijij 调整后第i架飞机相对于第j架飞机的位移 XY(,) ijij 调整后第i架飞机相对于第j架飞机的速度与位移之间的夹角 H ij 调整后第i架飞机与第j架飞机不相撞的临界角 G ij 备注:,1,i=1,2,…～6 ,2,j=1,2,…～6 (3)i?j (4)角度均采用弧度值 三、模型的假设 ,1,不相撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里, ,2,飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度, ,3,所有飞机的飞行速度均为每小时800公里, ,4,进入该区域的飞机在到达区域边缘时～与区域内飞机的距离应在60公里以上, ,5,最多需考虑6架飞机, ,6,不必考虑飞机离开此区域后的情况, ,7,计算机从记录新进入飞机数据到给飞机发指令的间隔时间忽略不计, ,8,新飞机进入时～每架飞机,包括新飞机,立即改变方向角～且至多改变一次, ,9,新飞机进入空域时～在空域中飞行的飞机,包括新飞机,方向已调合适～之后不 会相撞。 四、模型的建立 1、模型分析 该模型是基于假设条件的非线性规划模型,参考文献一,。 飞机飞行的整个空域可以看成是一个二维平面～我们可以建立直角坐标系～顶点是,0～0,～,160～0,～,160～160,～,0～160,～飞机飞行的方向角是飞行方向与x轴正方向的夹角。 eVe，Vee我们可以用向量、分别表示横纵坐标～则V可以表示成V=～S可以表示成jxiyji Se，SeS=。 xiyj 每架飞机的位臵都是时间T的 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ～直接研究比较困难～为此我们引入相对运动。我们根据点的速度合成定理,参考文献二,:动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和～即动点的相对速度可以由绝对速度与牵连速度的矢量差来确定。 V,V，VVVV,是绝对速度～是相对速度～是相对速度,。 ereraa 任意两架飞机不相撞的条件是其距离大于8千米～因此我们考虑将每架飞机视为半径4千米的圆心～在相对运动的情形下～两架飞机不相撞的条件就为两圆相离～不相撞的临界条件是在它们之间的距离最小的时候～两圆相切。如图1: y P B j C P A x 图1 i PPPP飞机相对飞机运动～图中虚线所示的位臵既是与不相撞的临界位臵。这里我jjii 用到了解析几何中的向量夹角定理,参考文献三,求解两个向量之间的夹角: 2222COS(A,B)=(x1*x2+y1*y2)/(x，y*x，y) (其中A={x1,y1},B={x2,y2}) 1122 要使两架飞机不相撞～我们只需满足 HG>=。 ijij 由飞机飞行角度调整幅度不超过30度,即π/6,～我们得到约束: BA|-|<=π/6 ii 根据决策目标飞机飞行方向角调整的幅度尽量小～得到目标函数,参考文献四,: 62(B,A)min ,ii1i, 2、总的目标函数与约束条件: 62(B,A)目标函数min ,ii1i, HGS.T. >= (i=1,2,…～6 j=1,2,…～6 i?j) ,1, ijij BA |-|<=π/6 (i=1,2,…～6) ,2, ii H 0<=<=π (i=1,2,…～6 j=1,2,…～6 i?j) ,3, ij 五、模型的求解 为了简化求解过程～我们采用多种数学软件相结合的思路～分别用合适的软件计算不同的数据～从而减少计算时间～简化算法。我们用到的数学软件有MATLAB、SPSS、AutoCAD和lingo～具体的模型求解过程如下: G1.用MATLAB求解任意两架飞机不相撞的临界角 ij ,1,求解分析 GDGDG如图1所示～RT?ABC中～sin =8/, =arcsin(8/)～故要求解,须先求得ijijijijij 22DDX，Y的大小。由两点间的距离公式(参考文献2):= ～很容易求其大小～公ijijijij XV00YV11V00V00V11V11式中的=-, = -～而每个飞机的初始位臵(～)问题ijjijjiiii中已给出～见下表: 表2 每个飞机的初始位臵坐标 V00V11/km /km 飞机编号 ii 1 150 140 2 85 85 3 150 155 4 145 50 5 130 150 6 0 0 ,2,MATLAB编程源代码见附录1 ,3,MATLAB运行结果整理后如下表 G表3 第i架飞机与第j架飞机不相撞的临界角 (弧度制) ij 1 2 3 4 5 6 1 0 0.0941 0.5625 0.0889 0.3659 0.0390 2 0.0941 0 0.0838 0.1154 0.1014 0.0666 3 0.5625 0.0838 0 0.0762 0.3985 0.0371 4 0.0889 0.1154 0.0762 0 0.0792 0.0522 5 0.3659 0.1014 0.3985 0.0792 0 0.0403 6 0.0390 0.0666 0.0371 0.0522 0.0403 0 2.用MATLAB求解相对位移的横纵坐标值 由相对运动～我们先求得两架飞机的相对速度和相对位移～然后利用两向量的夹角公式 2222HV0XV1YV0，V1X，Y=arcos((*+*)/(*)),即可求得第i架飞机ijijijijijijijijij H相对于第j架飞机的速度与位移之间的夹角。为此～我们分别计算它们的相对速度和相ij 对位移。 相对速度的求解: V0V0V0相对速度的横坐标=- ijji V1,V1V1相对速度的纵坐标= ijij V0V1相对速度,～, ijij 相对位移的求解: XV00V00相对位移的横坐标=- ijji YV11V11相对位移的纵坐标= - ijji XY相对位移,, , ijij 我们可以得到相对位移的X及Y 表4 相对位移的横坐标X(km) X 1 2 3 4 5 6 1 0 65 0 5 20 150 2 -65 0 -65 -60 -45 85 3 0 65 0 5 20 150 4 -5 60 -5 0 15 145 5 -20 45 -20 -15 0 130 6 -150 -85 -150 -145 -130 0 表5 相对位移的纵坐标Y(km) Y 1 2 3 4 5 6 1 0 55 -15 90 -10 140 2 -55 0 -70 35 -65 85 3 15 70 0 105 5 155 4 -90 -35 -105 0 -100 50 5 10 65 -5 100 0 150 6 -140 -85 -155 -50 -150 0 B3.lingo编程求解调整后每架飞机的方向角 i ,1,求解分析 H 由约束条件知～第i架飞机相对于第j架飞机的速度与位移之间的夹角需不小于 ij HGG任意两架飞机不相撞的临界角～即>=,同时～调整后的方向角与初始方向角的差ijijij 值不超过π/6,即|B-A|<=π/6。 ii ,2,lingo编程源代码见附录2 ,3,由lingo编程即可得最优解,见附录3,～运行结果整理后如下 表6 调整前后的方向角及调整幅度(弧度制) 飞机的编号 1 2 3 4 5 6 4.241000 4.118900 3.848300 2.775000 4.014100 0.9075000 A初始方向角 i 4.240999 4.118899 3.619195 2.858334 3.722626 1.051778 B调整后的方向角 i -0.0000 -0.0000 -0.2291 0.0833 -0.2915 0.1443 BA调整幅度- ii 调整的角度 0 0 -13.13? 4.77? -16.7? 8.27? 总的平方代价为:0.1652067(弧度制)。 六、模型的检验及分析 1、模型的检验 我们对调整前的方向角度与调整的角度进行比较: 初始方向角 243? 235? 22.5? 159? 230? 52? 调整角度 0 0 -13.139? 4.77? -16.7? 8.27? 用SPSS做出调整角度的变化曲线～见图2 0.20000 0.10000 Mean of bianhua0.00000 -0.100001.002.003.004.005.006.00bianhao -0.20000 图2 从结果中我们就可以看出～第一架和第二架调整的幅度为0～其它几架飞机调整的幅度-0.30000 <17?。另外～我们得到的总的平方代价是9.46?～所以调度 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 基本还是较令人满意的。 另外我们可以大致的作出调整后的飞机在区域内的路线图～见图3: y 0 x 图3 2、模型的灵敏度分析 Lingo编程的松弛变量和对偶价格如下: Row Slack or Surplus Dual Price A1 0.1652067 -1.000000 A2 0.000000 0.000000 A3 0.000000 0.000000 A4 0.000000 -0.4134526E-03 A5 0.000000 0.2162726E-02 A6 0.000000 -0.1717582E-02 B1 0.000000 -0.3169153E-04 B2 0.000000 0.000000 B3 0.000000 0.000000 B4 0.000000 0.4309379E-03 B5 0.000000 -0.8465206E-03 B6 0.000000 -0.2561077E-03 飞机2、3调整角的变化～对最优化结果影响为零～即飞机无需调整角度,飞机4、5、6调整角的变化对最优化的结果的影响最大～需要找到合适的调整角,飞机1调整角的变化对最优化结果影响较小:与我们所得到的最优化调整角幅度相一致～所得结果较符合实际。 八、模型的评价 本文建立了关于飞行管理问题的非线性优化模型～针对区域内任意6架飞机给出了调整策略～比较符合实际情况～具有计算时间短、精确度高和实用性强的特点～而且非线性规划模型具有一般性～便于推广。在模型的建立和求解过程中～巧妙引入了物理学中的质点概念～并将每架飞机看作半径4千米的圆,接着运用点的速度合成定理、向量的夹角公式～进一步优化模型～从而简化了约束条件,编程求解过程中～综合运用多种数学软件,AutoCAD、MATLAB、SPSS、lingo,,最终模型简单～算法良好～同时又比较接近真实情况。 由于时间有限等因素～模型中也存在一些不足之处。当飞机的数目增多时～非线性规划的规模增大～计算时间将也增加～计算难度会加大。 九、参考文献 【1】《运筹学导论 初级篇,第8版,》 Hamdy A.Taha,美, 著 人们邮电出版社 【2】《理论力学I第六版》 哈尔滨工业大学理论力学教研室 编 高等教育出版社 【3】《解析几何,第三版,》 吕林根 许子道 等编 高等教育出版社 【4】《数学模型,第三版,》 姜启源 等编 高等教育出版社 十、附录 附录1、MATLAB程序 A0=[243 236 220.5 159 230 52];%初始方向角 X0=[150 85 150 145 130 0];%初始的x坐标 Y0=[140 85 155 50 150 0];%初始的y坐标 for i=1:6 A(i)=A0(i)*pi/180;%初始方向角转化成弧度值 end for i=1:6 for j=1:6 D(i,j)=sqrt((Y0(j)-Y0(i))^2+(X0(j)-X0(i))^2);%任意两架飞机初始的距 离 end end for i=1:6 for j=1:6 G(i,j)=asin(8/D(i,j));%临界角 end end for i=1:6 for j=1:6 X(i,j)=X0(j)-X0(i); end end for i=1:6 for j=1:6 Y(i,j)=Y0(j)-Y0(i); end end A D G X Y 附录2、LINGO代码 model: sets: row/1..6/; col/1..6/:A,B,V00,V11; matrix(row,col):G,H,V0,V1,X,Y;!H是两飞机t时刻的相对飞行角度; endsets min=@sum(col:(B-A)^2);!目标函数; @for(col:@bnd(A-0.5236,B,A+0.5236)); !限制调整角度小于30度; @for(col:V00=800*@cos(B)); @for(col:V11=800*@sin(B)); @for(row(i):@for(col(j)|i#NE#j:V0(i,j)=V00(i)-V00(j)));!求相对速度的横坐标; @for(row(i):@for(col(j)|i#NE#j:V1(i,j)=V11(i)-V11(j)));!求相对速度的纵坐标; @for(row(i):@for(col(j)|i#NE#j:(@cos(H(i,j)))^2*(V0(i,j)^2+V1(i,j)^2)*(X(i,j)^2 +Y(i,j)^2)=(V0(i,j)*X(i,j)+V1(i,j)*Y(i,j))^2));!求两向量的夹角; @for(row(i):@for(col(j)|i#NE#j:@bnd(0,H(i,j),3.14159))); @for(row(i):@for(col(j)|i#NE#j:H(i,j)>=G(i,j)));!约束相对飞行角度大于临界角 (即两圆恰好相切的角度); @for(row(i):@for(col(j)|i#EQ#j:H(i,j)=0)); @for(row(i):@for(col(j)|i#EQ#j:V0(i,j)=0)); @for(row(i):@for(col(j)|i#EQ#j:V1(i,j)=0)); @for(row(i):@for(col(j):@free(V1(i,j))));!取消非零约束; @for(row(i):@for(col(j):@free(V0(i,j))));!取消非零约束; @for(row(i):@for(col(j):@free(X(i,j))));!取消非零约束; @for(row(i):@for(col(j):@free(Y(i,j))));!取消非零约束; @for(col:@free(V00));!取消非零约束; @for(col:@free(V11));!取消非零约束; data: A=4.2410 4.1189 3.8483 2.7750 4.0141 0.9075;!初始方向角; X = 0 65 0 5 20 150 -65 0 -65 -60 -45 85 0 65 0 5 20 150 -5 60 -5 0 15 145 -20 45 -20 -15 0 130 -150 -85 -150 -145 -130 0; Y = 0 55 -15 90 -10 140 -55 0 -70 35 -65 85 15 70 0 105 5 155 -90 -35 -105 0 -100 50 10 65 -5 100 0 150 -140 -85 -155 -50 -150 0; G = 0 0.0941 0.5625 0.0889 0.3659 0.0390 0.0941 0 0.0838 0.1154 0.1014 0.0666 0.5625 0.0838 0 0.0762 0.3985 0.0371 0.0889 0.1154 0.0762 0 0.0792 0.0522 0.3659 0.1014 0.3985 0.0792 0 0.0403 0.0390 0.0666 0.0371 0.0522 0.0403 0; enddata end 附录3、lingo结果 Local optimal solution found at iteration: 915 Objective value: 0.1652067 Variable Value Reduced Cost A( 1) 4.241000 0.000000 A( 2) 4.118900 0.000000 A( 3) 3.848300 0.000000 A( 4) 2.775000 0.000000 A( 5) 4.014100 0.000000 A( 6) 0.9075000 0.000000 B( 1) 4.240999 0.000000 B( 2) 4.118899 0.000000 B( 3) 3.619195 0.000000 B( 4) 2.858334 0.000000 B( 5) 3.722626 0.000000 B( 6) 1.051778 0.000000 V00( 1) -363.3001 0.000000 V00( 2) -447.4061 0.000000 V00( 3) -710.4796 0.000000 V00( 4) -768.1198 0.000000 V00( 5) -668.7167 0.000000 V00( 6) 396.8225 0.000000 V11( 1) -712.7503 0.000000 V11( 2) -663.1951 0.000000 V11( 3) -367.7210 0.000000 V11( 4) 223.5889 0.000000 V11( 5) -439.1105 0.000000 V11( 6) 694.6451 0.000000 G( 1, 1) 0.000000 0.000000 G( 1, 2) 0.9410000E-01 0.000000 G( 1, 3) 0.5625000 0.000000 G( 1, 4) 0.8890000E-01 0.000000 G( 1, 5) 0.3659000 0.000000 G( 1, 6) 0.3900000E-01 0.000000 G( 2, 1) 0.9410000E-01 0.000000 G( 2, 2) 0.000000 0.000000 G( 2, 3) 0.8380000E-01 0.000000 G( 2, 4) 0.1154000 0.000000 G( 2, 5) 0.1014000 0.000000 G( 2, 6) 0.6660000E-01 0.000000 G( 3, 1) 0.5625000 0.000000 G( 3, 2) 0.8380000E-01 0.000000 G( 3, 3) 0.000000 0.000000 G( 3, 4) 0.7620000E-01 0.000000 G( 3, 5) 0.3985000 0.000000 G( 3, 6) 0.3710000E-01 0.000000 G( 4, 1) 0.8890000E-01 0.000000 G( 4, 2) 0.1154000 0.000000 G( 4, 3) 0.7620000E-01 0.000000 G( 4, 4) 0.000000 0.000000 G( 4, 5) 0.7920000E-01 0.000000 G( 4, 6) 0.5220000E-01 0.000000 G( 5, 1) 0.3659000 0.000000 G( 5, 2) 0.1014000 0.000000 G( 5, 3) 0.3985000 0.000000 G( 5, 4) 0.7920000E-01 0.000000 G( 5, 5) 0.000000 0.000000 G( 5, 6) 0.4030000E-01 0.000000 G( 6, 1) 0.3900000E-01 0.000000 G( 6, 2) 0.6660000E-01 0.000000 G( 6, 3) 0.3710000E-01 0.000000 G( 6, 4) 0.5220000E-01 0.000000 G( 6, 5) 0.4030000E-01 0.000000 G( 6, 6) 0.000000 0.000000 H( 1, 1) 0.000000 0.000000 H( 1, 2) 1.906896 0.000000 H( 1, 3) 2.353088 0.000000 H( 1, 4) 2.678020 0.000000 H( 1, 5) 2.874664 0.000000 H( 1, 6) 0.3246630 0.000000 H( 2, 1) 1.906896 0.000000 H( 2, 2) 0.000000 0.000000 H( 2, 3) 1.665760 0.000000 H( 2, 4) 2.445895 0.000000 H( 2, 5) 1.756878 0.000000 H( 2, 6) 0.2291439 0.000000 H( 3, 1) 2.353088 0.000000 H( 3, 2) 1.665760 0.000000 H( 3, 3) 0.000000 0.000000 H( 3, 4) 2.996838 0.000000 H( 3, 5) 1.286457 0.000000 H( 3, 6) 0.3710000E-01 0.000000 H( 4, 1) 2.678020 0.000000 H( 4, 2) 2.445895 0.000000 H( 4, 3) 2.996838 0.000000 H( 4, 4) 0.000000 0.000000 H( 4, 5) 3.141590 -1.485291 H( 4, 6) 0.5220000E-01 0.000000 H( 5, 1) 2.874664 0.000000 H( 5, 2) 1.756878 0.000000 H( 5, 3) 1.286457 0.000000 H( 5, 4) 3.141590 0.000000 H( 5, 5) 0.000000 0.000000 H( 5, 6) 0.4030000E-01 0.000000 H( 6, 1) 0.3246630 0.000000 H( 6, 2) 0.2291439 0.000000 H( 6, 3) 0.3710000E-01 0.000000 H( 6, 4) 0.5220000E-01 0.000000 H( 6, 5) 0.4030000E-01 0.000000 H( 6, 6) 0.000000 0.000000 V0( 1, 1) 0.000000 0.000000 V0( 1, 2) 84.10597 0.000000 V0( 1, 3) 347.1795 0.000000 V0( 1, 4) 404.8197 0.000000 V0( 1, 5) 305.4165 0.000000 V0( 1, 6) -760.1227 0.000000 V0( 2, 1) -84.10597 0.000000 V0( 2, 2) 0.000000 0.000000 V0( 2, 3) 263.0735 0.000000 V0( 2, 4) 320.7137 0.000000 V0( 2, 5) 221.3106 0.000000 V0( 2, 6) -844.2286 0.000000 V0( 3, 1) -347.1795 0.000000 V0( 3, 2) -263.0735 0.000000 V0( 3, 3) 0.000000 0.000000 V0( 3, 4) 57.64018 0.000000 V0( 3, 5) -41.76292 0.000000 V0( 3, 6) -1107.302 0.000000 V0( 4, 1) -404.8197 0.000000 V0( 4, 2) -320.7137 0.000000 V0( 4, 3) -57.64018 0.000000 V0( 4, 4) 0.000000 0.000000 V0( 4, 5) -99.40311 0.000000 V0( 4, 6) -1164.942 0.000000 V0( 5, 1) -305.4165 0.000000 V0( 5, 2) -221.3106 0.000000 V0( 5, 3) 41.76292 0.000000 V0( 5, 4) 99.40311 0.000000 V0( 5, 5) 0.000000 0.000000 V0( 5, 6) -1065.539 0.000000 V0( 6, 1) 760.1227 0.000000 V0( 6, 2) 844.2286 0.000000 V0( 6, 3) 1107.302 0.000000 V0( 6, 4) 1164.942 0.000000 V0( 6, 5) 1065.539 0.000000 V0( 6, 6) 0.000000 0.000000 V1( 1, 1) 0.000000 0.000000 V1( 1, 2) -49.55518 0.000000 V1( 1, 3) -345.0293 0.000000 V1( 1, 4) -936.3392 0.000000 V1( 1, 5) -273.6398 0.000000 V1( 1, 6) -1407.395 0.000000 V1( 2, 1) 49.55518 0.000000 V1( 2, 2) 0.000000 0.000000 V1( 2, 3) -295.4741 0.000000 V1( 2, 4) -886.7840 0.000000 V1( 2, 5) -224.0847 0.000000 V1( 2, 6) -1357.840 0.000000 V1( 3, 1) 345.0293 0.000000 V1( 3, 2) 295.4741 0.000000 V1( 3, 3) 0.000000 0.000000 V1( 3, 4) -591.3099 0.000000 V1( 3, 5) 71.38947 0.000000 V1( 3, 6) -1062.366 0.000000 V1( 4, 1) 936.3392 0.000000 V1( 4, 2) 886.7840 0.000000 V1( 4, 3) 591.3099 0.000000 V1( 4, 4) 0.000000 0.000000 V1( 4, 5) 662.6994 0.000000 V1( 4, 6) -471.0562 0.000000 V1( 5, 1) 273.6398 0.000000 V1( 5, 2) 224.0847 0.000000 V1( 5, 3) -71.38947 0.000000 V1( 5, 4) -662.6994 0.000000 V1( 5, 5) 0.000000 0.000000 V1( 5, 6) -1133.756 0.000000 V1( 6, 1) 1407.395 0.000000 V1( 6, 2) 1357.840 0.000000 V1( 6, 3) 1062.366 0.000000 V1( 6, 4) 471.0562 0.000000 V1( 6, 5) 1133.756 0.000000 V1( 6, 6) 0.000000 0.000000 X( 1, 1) 0.000000 0.000000 X( 1, 2) 65.00000 0.000000 X( 1, 3) 0.000000 0.000000 X( 1, 4) 5.000000 0.000000 X( 1, 5) 20.00000 0.000000 X( 1, 6) 150.0000 0.000000 X( 2, 1) -65.00000 0.000000 X( 2, 2) 0.000000 0.000000 X( 2, 3) -65.00000 0.000000 X( 2, 4) -60.00000 0.000000 X( 2, 5) -45.00000 0.000000 X( 2, 6) 85.00000 0.000000 X( 3, 1) 0.000000 0.000000 X( 3, 2) 65.00000 0.000000 X( 3, 3) 0.000000 0.000000 X( 3, 4) 5.000000 0.000000 X( 3, 5) 20.00000 0.000000 X( 3, 6) 150.0000 0.000000 X( 4, 1) -5.000000 0.000000 X( 4, 2) 60.00000 0.000000 X( 4, 3) -5.000000 0.000000 X( 4, 4) 0.000000 0.000000 X( 4, 5) 15.00000 0.000000 X( 4, 6) 145.0000 0.000000 X( 5, 1) -20.00000 0.000000 X( 5, 2) 45.00000 0.000000 X( 5, 3) -20.00000 0.000000 X( 5, 4) -15.00000 0.000000 X( 5, 5) 0.000000 0.000000 X( 5, 6) 130.0000 0.000000 X( 6, 1) -150.0000 0.000000 X( 6, 2) -85.00000 0.000000 X( 6, 3) -150.0000 0.000000 X( 6, 4) -145.0000 0.000000 X( 6, 5) -130.0000 0.000000 X( 6, 6) 0.000000 0.000000 Y( 1, 1) 0.000000 0.000000 Y( 1, 2) 55.00000 0.000000 Y( 1, 3) -15.00000 0.000000 Y( 1, 4) 90.00000 0.000000 Y( 1, 5) -10.00000 0.000000 Y( 1, 6) 140.0000 0.000000 Y( 2, 1) -55.00000 0.000000 Y( 2, 2) 0.000000 0.000000 Y( 2, 3) -70.00000 0.000000 Y( 2, 4) 35.00000 0.000000 Y( 2, 5) -65.00000 0.000000 Y( 2, 6) 85.00000 0.000000 Y( 3, 1) 15.00000 0.000000 Y( 3, 2) 70.00000 0.000000 Y( 3, 3) 0.000000 0.000000 Y( 3, 4) 105.0000 0.000000 Y( 3, 5) 5.000000 0.000000 Y( 3, 6) 155.0000 0.000000 Y( 4, 1) -90.00000 0.000000 Y( 4, 2) -35.00000 0.000000 Y( 4, 3) -105.0000 0.000000 Y( 4, 4) 0.000000 0.000000 Y( 4, 5) -100.0000 0.000000 Y( 4, 6) 50.00000 0.000000 Y( 5, 1) 10.00000 0.000000 Y( 5, 2) 65.00000 0.000000 Y( 5, 3) -5.000000 0.000000 Y( 5, 4) 100.0000 0.000000 Y( 5, 5) 0.000000 0.000000 Y( 5, 6) 150.0000 0.000000 Y( 6, 1) -140.0000 0.000000 Y( 6, 2) -85.00000 0.000000 Y( 6, 3) -155.0000 0.000000 Y( 6, 4) -50.00000 0.000000 Y( 6, 5) -150.0000 0.000000 Y( 6, 6) 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.1652067 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 -0.4134526E-03 5 0.000000 0.2162726E-02 6 0.000000 -0.1717582E-02 7 0.000000 -0.3169153E-04 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 0.4309379E-03 11 0.000000 -0.8465206E-03 12 0.000000 -0.2561077E-03