[转载]图像下采样矩阵的构造
(2012-06-05 15:40:08)
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原文地址：图像下采样矩阵的构造作者：imagine
在图像超分辨重建中经常涉及对图像 I 进行重采样，在所有的原理推导公式中都是对图像I 向量化，然后对向量 I 乘一个下采样矩阵D，现在出现的问题是如何方便的利用matlab生成可以实现任意scale的下采样矩阵D。
这个是曾经困扰我很久的问题，在搞定这个问题之前我在编程实现图像下采样时，我都跳过D，直接对矩阵形式的图像进行滑动窗平滑或者抽值，这种偷懒的行为在需要D的转置的时候却无能为力，后来遇到一个算法必须搞定这个D，因此寄希望于论坛求助，结果帮忙者没有，于是一咬牙把这个小骨头啃了一下，发现其实自己研究一下也没那么复杂，难怪人家不具体描述，可能是要花半页纸讲明白这么个小问题人家觉得掉价，就是苦了我们这些初学者了。
首先分享一下Matlab代码，然后再讲解一下个中原理：
% produce the down-scaling matrix A
m = 64; n = 64; % the colume and row of HR image
As = (1/s^2).*ones(1,s);
BA = DiagonalCat(m/s,As);
CA = repmat(BA,1,s);
A = DiagonalCat(n/s,CA);
function [out] = DiagonalCat(s,A)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% produce block diagonal matrix
% Copyright vvcumt(Liang Weiwei), DUT. 2010-09-27
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% % A =
% % 1 1
% % s =
% % 3
% % out =
% % 1 1 0 0 0 0
% % 0 0 1 1 0 0
% % 0 0 0 0 1 1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
[m,n] = size(A);% A is basic block
out = zeros(s*m,s*n);
for i = 1:s
out((i-1)*m+1:i*m , (i-1)*n+1:i*n) = A;
end
size(A)
原理：
对于一幅图像I尺寸为M*N，对其进行s倍下采样，即得到(M/s)*(N/s)尺寸的得分辨率图像，当然s应该是M和N的公约数才行，如果考虑的是矩阵形式的图像，就是把原始图像s*s窗口内的图像变成一个像素，这个像素点的值就是窗口内所有像素的均值：
那么如果图像按列向量化，变成了1*(MN)的向量之后，这个下采样过程也应当有一个对应的矩阵，这个矩阵的大小为(MN/s^2)*(MN)。
先以一个4*4的图像为例：数字代表像素位置
0 4 8 12
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
向量化的图像大小为16*1，元素为：
【0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15】
2倍下采样之后的新图像具有四个像素，分别是0 1 4 5位置的均值，2 3 6 7位置的均值，8 9 12 13位置的均值，10 11 14 15位置的均值。
这个下采样矩阵为：
0.25 0.25 0 0 0.25 0.25 0 0 ……
0 0 0.25 0.25 0 0 0.25 0.25 0 ……
0 0 …… 0 0.25 0.25 0 0 0.25 0.25 0 0
0 0 …… 0 0 0 0.25 0.25 0 0 0.25 0.25
即一个4*16的矩阵。
理解一下这个4*16的矩阵规律，并引申到M*N的图像中：
1.下采样矩阵中只有两个元素，一个是0，一个跟采样系数s有关：1/s^2;(s=2)
2.矩阵具有很大的自重复性，左上角的2*8的块和右下角的2*8的块是相同的，我们称其为块‘CA’，其他位置为零。对于M*N的图像，整个下采样矩阵中这样的块‘CA’的个数是N/s个，且主对角排列，而块‘CA’的大小是s*(sM)。
3.块‘CA’同样具有重复性，以左上角2*4的块为基块，那么此时块‘CA’可以看作两个基块并肩所得，构成块‘CA’的基块称其为块‘BA’。对于M*N的图像，每个‘CA’由s个块‘BA’并肩排列构成，每隔块‘BA’的大小为s*M。
4.对于这个块‘BA’其重复性更加明显，选择左上角1*2的矩阵为新的基块‘A’，那么‘BA’就是由两个基块‘A’对角累积构成，其他位置为零。对于M*N的图像，这个块‘BA’由M/s个块‘A’对角排列构成，每隔块‘A’大小为1*s，块‘A’内的元素则都是1/s^2。
大家可以根据这个规律写一写6*6图像的3倍下采样矩阵（4*36）。
这个规律倒过来看就是之前的Matlab代码的实现规则。
其中DiagonalCat(s,A)函数的作用是将s个块‘A’主对角排列。
东西很简单，就是表述起来很罗嗦，博客里也算终于有了一篇原创技术文章啦。
另外发个图像处理QQ群：134518254
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