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求下列幂级数的收敛半径与收敛区域

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求下列幂级数的收敛半径与收敛区域求下列幂级数的收敛半径与收敛区域 ????? 第一节 幂级数 1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛区域: 2nx(n!)nn(1)x; (2); (3); nx,,,2n(2n)!n,2 2n,1nn23,(,2)(x,2)nnn(4)(x,1); (5); (6); (0,r,1)rx,,,(2n,1)!n 2nx11n(7); (8) (1,,?,)x,,n22n n 解:(1)由于n,1,所以收敛半径,即收敛区间为,但当时,(,1,1)limR,1x,,1n,, nn有均发散,所以级数在时也发散,于是这...

求下列幂级数的收敛半径与收敛区域
求下列幂级数的收敛半径与收敛区域 ????? 第一节 幂级数 1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛区域: 2nx(n!)nn(1)x; (2); (3); nx,,,2n(2n)!n,2 2n,1nn23,(,2)(x,2)nnn(4)(x,1); (5); (6); (0,r,1)rx,,,(2n,1)!n 2nx11n(7); (8) (1,,?,)x,,n22n n 解:(1)由于n,1,所以收敛半径,即收敛区间为,但当时,(,1,1)limR,1x,,1n,, nn有均发散,所以级数在时也发散,于是这个级数的收敛区域为(,1)nnxx,,1,, (,1,1)。 n(2)1,11n(2)由于,,所以收敛半径,但当时,,由于级limR,2,x,,2n2222n,,22nn2n nx1数收敛,所以级数在也收敛,于是这个级数的收敛区域为[,2,2]。 x,,2,,2n2n,2n 22a1[(n,1)!](2n)!(n,1)a,1n,1(3)由于n==,所以,收敛半径,lim,R,4,2n,,(2n,2)(2n,1)[2(n,1)]!(n!)aa4nn 2(n!)n但当,u时,这个级数为,通项记为,则有 x,,4(4),n(2n)! 2n22n2,4,6?2n(n!)4(n!)2 ,,,,2n,1===,于是,所以当limuunnn,,(2n)!(2n)!1,3,5?(2n,1) 2(n!)nx(,4,4)时级数发散,从而可知这个级数的收敛区域为。 x,,4,(2n)! 2nn(4)由于(,,,,,),所以收敛半径,这个级数的收敛区域为。 limR,,,r,0n,, 1n(5)由于na=,所以收敛半径,于是这个级数的收敛区limlimR,,,,0nn,,n,,(2,1)!n 域为(,,,,,)。 nn3,(,2)1nn=,所以收敛半径,因而级数 alimlim,3R,nn,,n,,3n (6)由于nn3,(,2)1424n(x,1)的收敛区间为,即,当时,级数为x,1,(,,,)x,,,n3333 nnnn,,2,,3(2)1n,,112,,=收敛,当时,级数为 x,,,(1),,,,,,,,,,nn33n3,,,,,,,, nn22,,,,,,1,,1,,,,1133,,,,,而由于~且发散,故此时原级数发散,于是(n,,),,nnnn nn3,(,2)41,,n可得级数(x,1),,,的收敛区域为。 ,,,33n,, 111nn(7)因为nn,n,1n,1,1,又,所以 limn,,1,,?,n,,n2n 11n1,,,,1,从而收敛半径,又当时, limR,1x,,1?n,,2n 1111nnlim(1,,,)(,1)?,可见级数在时发散,故这个级(1,,?,)x,0x,,1,,,n2n2n数的收敛区域为(,1,1)。 ,0,x,1 2n,1,2(n,1)nx2a1,xn,1(8)因为= limlimlim,,,x,1,,2n,1nn,,n,,n,,2a22xn, ,,,,x,1,所以收敛半径[,1,1],收敛区域为。 R,1 2. 应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数(应同时指出它们的定义域): 352n,1xxx(1),,,?,,?x; 352n,1 23n(2)x,2x,3x,?,nx,?; 2n(3)1,2x,2,3x,?,n,(n,1)x,? ,,,2n11(,1)1n2n,1,1=,且时,与都是alimlimx,,1,,nn,,n,,,,2,1n2n,12n,1n0n0 解:(1)因为发散级数,所以幂级数的收敛区域为,设其和函数为,于是当时,逐项(,1,1)f(x)x,1 1'242n求导数可得f(x),所以,,,1,x,x,?,nx,?21,xx111,x () f(x),dt,lnx,12,021,x1,t nn(2)由于an,1,1=,且当时,这个幂级数发散,所以幂级数的收敛limlimx,,1nn,,n,, 区域为,设其和函数为,则 (,1,1)f(x)(,1,1),x, ,,,,23nn1n1x,nxg(x),nx=== f(x)x,g(x)x,2x,3x,?,nx,?,,,,n1n1 ,,xx,xn1n 因为当,ntdt时,= x,1g(t)dtx,,,,,00,,n1,x1n1 xx1'所以,g(x),=,从而f(x) () ()x,1221,x(1,x)(1,x) (n,1)(n,2)an,2n,1(3)因为,且当时,这个级数发散,,lim,1limlim,x,,1n,,n,,n,,n(n,1)nan 所以幂级数的收敛区域为(,1,1)f(x),设其和函数为,则 ,n n(n,1)xf(x)=,(,1,1) ,x,,,n1 ,1xxxnn因而 n(n,1)tdt,n(n,1)tdt f(t)dt,,,0,,0,01,n1n, ,2nx =xnx () x,1,,2n,1(1,x) 2222xx(1,x)2x,x2(1,x)'所以 ,[],f(x) () x,1,243(1,x)(1,x)(1,x) ,,a,n1nn3. 证明:设,axRf(x)在内收敛,若也收敛,则 x,R,,n,,n,1n0n0 ,Ra,n1nR f(x)dx,,,0,n,1n0 ,111,n1(1),. dx,lnt,,,0,n1,xn0 ,应用这个结果证明: n证: 因为当,ax时, 收敛,则有 f(x)x,R,n,n0 ,,xxan,n1natdtx= (x,(,R,R))f(t)dt,n,,0,,0n,0,n,1n0 ,,aa,,n1n1nn 已知当Rx时, 收敛,从而可知, 在左连续,于是 x,Rx,R,,,,nn,1,1n0n0 ,,Raa,,n1n1nnxR()= limf(x)dx,,,,,0x,R,,nn,1,1n0n0 ,1,,n1n1 应用这个结果,取(,1)xf(x),,当时,有f(x),,又级数 x,1,,1,xn1 ,,,n11(,1)11,n1(1),收敛,所以 . dx,lnt,,,,0,,nn1,xn1n0 4,nx(4)4.证明: (1)y,y ,满足方程 ; y,,,0(4n)!n ,nx"' (2) xy,y,y,0 满足方程 y,2,,0(n!)n 1n证: (1)因为na=,故这个幂级数的收敛区间为(,,,,,),所以它可以limlim,0nn,,n,,(4)!n ,,,,4n14n2xx'''在区间yy(,,,,,)逐项微分任意次,从而=,= ,,,,(4n,1)!(4n,2)!n1n1 ,,,4,,,,4n34n44(n1)nxxxx'''(4)yy,=,=== y,,,,,,,,0(4n,3)!(4n,4)![4(n,1)]!(4n)!n1n1n1n 1(2) 因为n(,,,,,),故这个幂级数的收敛区间为,所以它可以在区间lim,0n,,()!n (,,,,,)逐项微分任意次,注意到 ,,,,nnn1xxx =1+=1+ y,22,,,2,0,1,(n!)(n!)[(n,1)!]nnn2 ,,,,,,n1n1n2xxx'''yy=1+=1+, =, ,,,,,,n!(n,1)!n!(n,1)!n!(n,2)!n1n2n2 可得, ,111n,1"'所以 ,,[]xxy,y,y, ,2n,2,,,n!(n2)!n!(n1)![(n1)!] ,(n,1)!(n,1),(n,1)!,n!n,1 =[]x,0 ,2n![(n,1)!]n,2 5.证明:设为幂级数(2)在上的和函数,若为奇函数,则级数(2)仅出现奇次幂的项, f(,R,R)f若为偶函数,则级数(2)仅出现偶次幂的项. f ,,nnn证: 因为,ax,(,1)ax,(),所以有,(),当为奇f(x)f(,x)f(x)x,Rx,R,,nn,,n0n0 n函数时,有a,(,1)a,0f(x)+f(,x)=0(),从而(n,0,1,?)而此式当且仅当x,Rnn ,,2k1,axa,0,故这时必有,(),当为偶函数时,有(k,0,1,2,?)f(x)f(x)x,R,,2k2k1,n1 na,(,1)a,0f(x),f(,x)(n,0,1,?)=0(),从而而此式当且仅当x,Rnn ,2k,axa,0(k,1,2,?),故这时必有f(x),()。 x,R,2k,12k,n1 6.求下列幂级数的收敛域: n21xnn(1)(a,0,b,0); (2) (1,)x,,nna,bn 1an解:记max{a,b}max{a,b}a,,则,所以收敛半径,由于mil,R,x,Rnnnn,,a,ban,1 1,,a,bR,时,,故这个幂级数在处发散,从而此幂级数的收敛区lim,x,,R2,nnn,,a,b,1,a,b, 域为(,R,R)。 2111nnnn(2)因为 (1,)ea==(1,)=,所以收敛半径为,又因为limlimlimR,nn,,n,,n,,nne 21111nn(1,)(,),0时,有 所以这个幂级数在处发散,故这个幂级数limx,,x,,n,,enee 11。 (,,)ee 7.证明定理并求下列幂级数的收敛半径: 14.3 的收敛区域为nn,,[3(1)]n(1)x; ,n 23(2) (0,a,b)a,bx,ax,bx,? ,nn定理ax 对于幂级数,设, 为收敛半径,则当 limaR,,14.3nn,n,,n,0 1 (i),时,; 0,,,,,R, (ii),,,0时,; R,, (iii),,时,=0 R,, nnnnn证:对任意x,ax(ax),ax,因此lima== lim,xnnnnn,,n,, ,n 于是根据正项级数axCauchy判别法的推论2知:当时,收敛,从而,1,xn,n,0,nnnaxax收敛;当时,可知ax(n,,)不趋于零,于是(n,,)不趋于零,,1,xnn,nn,0 ,n从而可知ax发散,因此 n,n,0 ,1n(i)当,ax0,,,,,时,幂级数的收敛半径; Rn,n,0,(ii)当,,,x0时,对任何皆有,所以; ,1R,,,x (iii)当,,x时,则除外,对任何皆有,所以可知=0。 ,1R,,,xx,0 nnnnn[3,(,1)][3,(,1)]4nnn解:(1)对于x,因为上极限lim=lim=4 ,n,,n,,nnn 1 所以。 R,4 23nn(2)对于(0,a,b)limaa,bx,ax,bx,?,因为,limb=1 nn,,,,n 所以=1。 R ,,nnxx ;(2) ,,8.求下列函数的收敛半径及其和函数: ,,n(n,1)n(n,1)(n,2)n1n1 (1),11解:(1)因为n =1,所以收敛半径=1,当时级数与limRx,,1,n,,,n(n,1)n(n,1)n1 ,n(,1)都收敛,故这个幂级数的收敛区域是,设 [,1,1],,n(n,1)n1 ,,,nn1xx = g(x),x,,,,n(n,1)n(n,1)n1n1 ,,n1,x'"n1则当,,xg(x)g(x)时, , , ,x,1,,,,n1,xn1n1 x1'从而可得 g(x),,ln(1,x) ,dt,01,t xx,tx因此 g(x),,tln(1,t) ,dt,,ln(1,t)dt0,,001,t ,,xln(1,x),x,ln(1,x) ,(1,x)ln(1,x),x 1,x,ln(1,x),1,,1,x,1,且x,0,x,n,x 故 ,1,x,1,,,n(n,1)n1,0,x,0, , 1(2)因为n =1,所以收敛半径=1,当时级数为limRx,,1n,,n(n,1)(n,2) ,n(,1)[,1,1]收敛,故这个幂级数的收敛区域是,设 ,,n(n,1)(n,2)n1 ,,,nn2xx2 f(x)= (x,1),x,,,,n(n,1)(n,2)n(n,1)(n,2)n1n1 ,,n1x'则当f(x),(1,x)ln(1,x),x时, x,1,,,n(n,1)n1 x1x322因此 f(x),,(1,x)ln(1,x),,x ,[(1,t)ln(1,t),t]dt(x,1),0224 ,nx的和函数是,则当时 s(x)0,x,1,,n(n,1)(n,2)n1 设,nf(x)x= s(x),,2,n(n,1)(n,2)xn1 2(1,x)13 ,,,x,,ln(1) 222x4x 因为该幂级数在时收敛,从而它在收敛域的端点处右,左连续, x,,1x,,1 151所以 当时,; 当时, ; s(x)s(x),2ln,x,1x,,1,244 当 时,=0 s(x)x,0 故和函数为 2,(1,x)13,ln(1,x),,,0,x,1,22x42x,1,,x,1, s(x) ,4, ,152ln,,x,,1,24, ,0,x,0, 9.设a,a,a,?(a,0)为等差数列,试求: 0120 ,n(1)幂级数ax的收敛半径; n,n,0 ,an(2)数项级数的和数。 ,n,02n 解:(1)设等差数列,,a,a,(n,1)da,a,nda的公差为,则,, dn,10n0n adn,1 从而 =1 , 所以 。 limlim,1R,1,n,,n,,aa,ndn0 ,,,aa,ndan0n0(2)易见 (,d)==, ,,,nnnn,0,,2222nn0n0 ,,,,aannn00nn dxxf(x),,,2a,对于可考虑幂级数,设, ,,,,0nnnn,0,0,012222nnnn0,1,2 ,f(x)n,1nx ,(x,2),n,02xn 则 ,,,xxf(t)12n,1x1nnn从而 tdtx,()== dt,,,,,0,,nn0,0,0,x222t2,xnnn01,2 '2xf(x)2x,,2 其中 (,2),所以=, f(x),,,,222(2,x)(2,x)x2,x,, ,,n2n令 ,2d ,可得,所以 =, ,f(1),x,12d,,2nn,0,022(2,1)nn ,,,aan0n从而 ,d,2a,2d= 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售,,,0nnn,0,0,2220nnn 平台,面向世界范围提供便捷、安全、专业、有效的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北 美、欧洲等在内的豆丁全球分站,将面向全球各地的文档拥有者和代理商提供服务,帮助他们把 文档发行到世界的每一个角落。豆丁正在全球各地建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道,为 每一位用户提供优质的文档交易和账务服务。
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分类:生活休闲
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