指数因子法100122
浅谈应用微分中值定理解证明题时构造辅助函数的指数因子法
中国矿业大学(北京) 理学院
摘要:本文通过典型例子讨论了应用微分中值定理解证明题时构造辅助函数的一种常用的方法:指数因子法。
微分中值定理是高等数学中的一个重要定理，它建立了函数与导数之间的联系，有着十分广泛的应用。在证明含有抽象函数及其导数值的等式中，微分中值定理，特别是罗尔中值定理，常常发挥着重要的作用。
[1]《高等数学》中的罗尔中值定理是这样叙述的:
定理:若函数在上连续，在内可导，且，则至少存F(x)[a,b](a,b)F(a),F(b)
'在一点，使。 ,,(a,b)F(,),0
微积分中,许多与函数及其导数有关的证明题都可用罗尔中值定理证明，关键在于正确构造辅助函数。而在实践中，学生遇到的困难往往是:如何构造辅助函数，使得它满足罗尔定理的条件，从而推得结论成立,我们知道，构造F(x)
辅助函数的方法很多，辅助函数也不唯一。一般而言，构造辅助函数的方法是根据要证明的等式为突破口，其中指数因子法就是一种简单且易掌握的方法。
[2]xx'x众所周知，，这表明，指数函数是“求导”运算的“不动点”。()ee,e
x正是由于指数函数的这种特性，使得它在解决很多高等数学问题中发挥了重e
要的作用。我们假定函数可导，由复合函数求导法则，有 f,,
,(x)',(x)'' [ef(x)],e[,(x)f(x)，f(x)]
再由指数函数恒正，知下面两式等价:
''(1)()()()0,xfxfx，, ,x()'(2)[()]0efx,
因此，凡是欲证明的等式具有的形式或者可以通过恒等变形转化为的形(1)(1)式，我们都可以考虑用指数因子法构造辅助函数:即欲证明式成立，只需证(1)
,(x)明(2)式成立。因此，通常可将辅助函数取成:。 F(x),ef(x)
例一( 设在上连续，在内可导，，为正实数。 fx()[0,1](0,1)f(0)0,k
''试证明: 使。 ，,,(0,1),,,,,fkff()()()，,
分析:要证的等式等价于
k' ff()()0,,，,,1,
k，，'即 ()()0fxfx，,,,1x,，，x,,
k'k所以， ，从而知。因此，辅助函数可取成 ,()x,,()ln(1)xx,,x,1
kln(1)xk, Fxefxxfx()()(1)(),,,
kn(1)lxk,证明:令，则在上连续，在Fx()[0,1](0,1)Fxefxxfx()()(1)(),,,
'内可导，且。所以，由罗尔定理知， 使。 FF(0)0(1),,，,,(0,1),F()0,,
kk,1,,Fkxfxxfx()(1)()(1)(),,,，,,x,即 kk,1,,,，,,kff(1)()(1)()0,,,,
''因此 。 ,,,,fkff()()()，,
例二( 设函数在上连续，在内可导，， fx()[,]abfafb()()0,,(,)ab
,证明:至少存在一点使得。 ,,(,),abff()()0,,,，,
2x2x'2分析:应使，所以，辅助函数可取为。 ,()xx,,()x,Fxefx()(),2
2x2证明:取，则在上连续，在内可导，并且Fx()[,]ab(,)abFxefx()(),
,，由罗尔中值定理得:至少存在一点，使得:，FaFb()()0,,,,(,)abF()0,,
22,,22,即 ,,,efef()()0，,
,因此 ff()()0,,,。 ，,
''例三(设fx()在[0,1]上有二阶导数，且 ffff(1)(0)(1)(0)0,,,,,
"证明:存在,,(0,1)，使得。 ff()(),,,
"分析:欲证，等价于证明: ff()()0,,,,
''"。 (()())(()())0ffff,,,,,，,,
''若令，则问题归结为证明 。 gxfxfx()()(),,gg()()0,,，,
'于是，应使，所以。 ,()xx,,()1x,
x'证明:令，则在上可导，必然连续，且Fx()[0,1]Fxefxfx()(()()),,
'。所以由罗尔定理，存在，使得。 FF(0)(1)0,,,,(0,1)F()0,,
,,''"即 effeff(()())(()())0,,,,,，,,
"因此 。 ff()(),,,
参考文献
《高等数学》同济大学数学系，高等教育出版社。 [1]
《泛函分析讲义》张恭庆，北京大学出版社。 [2]
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